2021年九年级数学中考复习—— 圆的专题：解答题压轴专项训练（十）（含答案）

2021年九年级数学中考复习——
圆的专题：
解答题压轴专项训练（十）
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过点B作BE⊥AD，垂足为点E，AB平分∠CAE．
（1）判断BE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ACB＝30°，⊙O的半径为4，请求出图中阴影部分的面积．
2．如图，已知△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交
BC于点D，过D作DE⊥AC于E．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若CD＝2，∠ACB＝30°，分别求AB，OE的大小．
3．如图，⊙O的直径AB＝26，P是AB上（不与点A、B重合）的任一点，点C、D为⊙O上的两点，若∠APD＝∠BPC，则称∠CPD为直径AB的“回旋角”．
（1）若∠BPC＝∠DPC＝60°，则∠CPD是直径AB的“回旋角”吗？并说明理由；
（2）若的长为π，求“回旋角”∠CPD的度数；
（3）若直径AB的“回旋角”为120°，且△PCD的周长为24+13，直接写出AP的长．
4．如图，已知△ABC内接于⊙O，P是圆外一点，PA为⊙O的切线，且PA＝PB，连接OP，线
段AB与线段OP相交于点D．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若tan∠BCA＝，⊙O的半径为10，求线段PD的长．
5．（1）【学习心得】
于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝　
　°．
（2）【问题解决】
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的数．
（3）【问题拓展】
如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是　
　．
6．如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C．
（1）若点A（0，6），N（0，2），∠ABN＝30°，求点B的坐标；
（2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线．
7．如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB，⊙O交直线OB于E，D，连接EC，CD．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若tan∠CED＝，⊙O的半径为3，求OA的长．
8．如图，已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直，垂足为点E．⊙O的切线BF与弦AC的延长线相交于点F，且AC＝10，tan∠BDC＝．
（1）求⊙O的半径长；
（2）求线段CF长．
9．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（3，4），P为线段OA上一动点，过O，P，B三点的圆交x轴正半轴于点C，连结AB，PC，BC，设OP＝m．
（1）求证：当P与A重合时，四边形POCB是矩形．
（2）连结PB，求tan∠BPC的值．
（3）记该圆的圆心为M，连结OM，BM，当四边形POMB中有一组对边平行时，求所有满足条件的m的值．
（4）作点O关于PC的对称点O'，在点P的整个运动过程中，当点O'落在△APB的内部（含边界）时，请写出m的取值范围．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．
（1）求证：AE为⊙O的切线；
（2）当BC＝4，AC＝6时，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，求线段BG的长．
参考答案
1．解：（1）BE与⊙O相切，
理由：连接BO，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵AB平分∠CAE，
∴∠OAB＝∠BAE，
∴∠OBA＝∠BAE，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABE+∠BAE＝90°，
∴∠ABE+∠OBA＝90°，即∠EBO＝90°，
∴BE⊥OB，
∴BE与⊙O相切；
（2）∵∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠OBA＝60°，OA＝OB＝AB＝4，
∴∠ABE＝30°，
∴AE＝2，BE＝2，
∴S阴影＝S四边形AEBO﹣S扇形AOB＝×（2+4）×2﹣＝6﹣．
2．解：（1）连接OD，则OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠ODB＝∠C．
∴OD∥AC，
∴∠ODE＝∠DEC＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）连接AD，
∵AB为直径
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC∠ACB＝30°
∴BD＝DC∠B＝∠ACB＝30°，
∵CD＝2，
∴BD＝2，
在Rt△ABD中，cos∠B＝，
∴AB＝＝＝4，
∴OD＝OB＝AB＝2，
在Rt△CDE中，sin∠C＝，
∴DE＝DCsin∠C＝2×＝，
在Rt△ODE中，OE2＝OD2+DE2＝22+（）2＝7，
∴OE＝．
3．解：∠CPD是直径AB的“回旋角”，
理由：∵∠CPD＝∠BPC＝60°，
∴∠APD＝180°﹣∠CPD﹣∠BPC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠BPC＝∠APD，
∴∠CPD是直径AB的“回旋角”；
（2）如图1，∵AB＝26，
∴OC＝OD＝OA＝13，
设∠COD＝n°，
∵的长为π，
∴，
∴n＝45，
∴∠COD＝45°，
作CE⊥AB交⊙O于E，连接PE，
∴∠BPC＝∠OPE，
∵∠CPD为直径AB的“回旋角”，
∴∠APD＝∠BPC，
∴∠OPE＝∠APD，
∵∠APD+∠CPD+∠BPC＝180°，
∴∠OPE+∠CPD+∠BPC＝180°，
∴点D，P，E三点共线，
∴∠CED＝∠COD＝22.5°，
∴∠OPE＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠APD＝∠BPC＝67.5°，
∴∠CPD＝45°，
即：“回旋角”∠CPD的度数为45°，
（3）①当点P在半径OA上时，如图2，过点C作CF⊥AB交⊙O于F，连接PF，
∴PF＝PC，
同（2）的方法得，点D，P，F在同一条直线上，
∵直径AB的“回旋角”为120°，
∴∠APD＝∠BPC＝30°，
∴∠CPF＝60°，
∴△PCF是等边三角形，
∴∠CFD＝60°，
连接OC，OD，
∴∠COD＝120°，
过点O作OG⊥CD于G，
∴CD＝2DG，∠DOG＝∠COD＝60°，
∴DG＝ODsin∠DOG＝13×sin60°＝，
∴CD＝13，
∵△PCD的周长为24+13，
∴PD+PC＝24，
∵PC＝PF，
∴PD+PF＝DF＝24，
过O作OH⊥DF于H，
∴DH＝DF＝12，
在Rt△OHD中，OH＝＝5，
在Rt△OHP中，∠OPH＝30°，
∴OP＝10，
∴AP＝OA﹣OP＝3；
②当点P在半径OB上时，
同①的方法得，BP＝3，
∴AP＝AB﹣BP＝23，
即：满足条件的AP的长为3或23．
4．（1）证明：连接OA、OB，如右图所示，
∵PA＝PB，OA＝OB，OP＝OP，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴∠OAP＝∠OBP，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∴∠OBP＝90°，
∴PB为⊙O的切线；
（2）解：∵△OAP≌△OBP，
∴∠AOP＝∠BOP，
又∵∠AOB＝2∠BCA＝∠AOP+∠BOP，
∴∠BCA＝∠AOP，
∵tan∠BCA＝，⊙O的半径为10，
∴tan∠AOP＝，OA＝10，
∴AP＝OA?tan∠AOP＝10×＝，OD＝6，
∴OP＝，
∴PD＝OP﹣OD＝．
5．解：（1）如图1，∵AB＝AC，AD＝AC，
∴以点A为圆心，点B、C、D必在⊙A上，
∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，
∴∠BDC＝∠BAC＝45°，
故答案是：45；
（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴点A、B、C、D共圆，
∴∠BDC＝∠BAC，
∵∠BDC＝25°，
∴∠BAC＝25°，
（3）如图3，在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1＝∠2，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，
∴∠1+∠BAH＝90°，
∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，
取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH＝AO＝AB＝1，
在Rt△AOD中，OD＝＝＝，
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
最小值＝OD﹣OH＝﹣1．
（解法二：可以理解为点H是在Rt△AHB，AB直径的半圆上运动当O、H、D三点共线时，DH长度最小）
故答案为：﹣1．
6．解：（1）∵A的坐标为（0，6），N（0，2），
∴AN＝4，
∵∠ABN＝30°，∠ANB＝90°，
∴AB＝2AN＝8，
∴由勾股定理可知：NB＝，
∴B（，2）．
（2）连接MC，NC
∵AN是⊙M的直径，
∴∠ACN＝90°，
∴∠NCB＝90°，
在Rt△NCB中，D为NB的中点，
∴CD＝NB＝ND，
∴∠CND＝∠NCD，
∵MC＝MN，
∴∠MCN＝∠MNC，
∵∠MNC+∠CND＝90°，
∴∠MCN+∠NCD＝90°，
即MC⊥CD．
∴直线CD是⊙M的切线．
7．（1）证明：连结OC，如图，
∵OA＝OB，CA＝CB，
∴OC⊥AB，
∴直线AB是⊙O的切线；
（2）解：作DH⊥OC于H，如图，
∵DE为直径，
∴∠DCE＝90°，
在Rt△DCE中，tan∠CED＝＝，
设CD＝x，则CE＝2x，
∴DE＝＝x，
∴x＝6，解得x＝，
∴CD＝，
∵∠ECO+∠OCD＝90°，
而OE＝OC，
∴∠E＝∠ECO，
∴∠E+∠OCD＝90°，
∵∠HCD+∠CDH＝90°，
∴∠CDH＝∠E，
在Rt△CDH中，tan∠CDH＝＝，
设CH＝t，则DH＝2t，
∴CD＝t，
∴t＝，解得t＝，
∴CH＝，
∴OH＝OC﹣CH＝，
∵DH∥BC，
∴＝，即＝，
∴OB＝5，
∴OA＝5．
8．解：（1）如图，连接BC，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝∠BDC，
∴tanA＝，
在Rt△ACB中，tanA＝＝，
设BC＝3x，AC＝4x，
∴AB＝5x，
而4x＝10，
∴x＝，
∴AB＝5x＝，
∴⊙O的半径长为；
（2）∵BF为切线，
∴AB⊥BF，
在Rt△ABF中，∵tanA＝＝，
∴BF＝×＝，
∴AF＝＝，
∴CF＝AF﹣AC＝﹣10＝．
9．解：（1）∵∠COA＝90°
∴PC是直径，
∴∠PBC＝90°
∵A（0，4）B（3，4）
∴AB⊥y轴
∴当A与P重合时，∠OPB＝90°
∴四边形POCB是矩形
（2）连结OB，（如图1）
∴∠BPC＝∠BOC
∵AB∥OC
∴∠ABO＝∠BOC
∴∠BPC＝∠BOC＝∠ABO
∴tan∠BPC＝tan∠ABO＝
（3）∵PC为直径
∴M为PC中点
①如图2，当OP∥BM时，延长BM交x轴于点N
∵OP∥BM
∴BN⊥OC于N
∴ON＝NC，四边形OABN是矩形
∴NC＝ON＝AB＝3，BN＝OA＝4
设⊙M半径为r，则BM＝CM＝PM＝r
∴MN＝BN﹣BM＝4﹣r
∵MN2+NC2＝CM2
∴（4﹣r）2+32＝r2
解得：r＝
∴MN＝4﹣
∵M、N分别为PC、OC中点
∴m＝OP＝2MN＝
②如图3，当OM∥PB时，∠BOM＝∠PBO
∵∠PBO＝∠PCO，∠PCO＝∠MOC
∴∠OBM＝∠BOM＝∠MOC＝∠MCO
在△BOM与△COM中
∴△BOM≌△COM（AAS）
∴OC＝OB＝＝5
∵AP＝4﹣m
∴BP2＝AP2+AB2＝（4﹣m）2+32
∵∠ABO＝∠BOC＝∠BPC，∠BAO＝∠PBC＝90°
∴△ABO∽△BPC
∴
∴PC＝
∴PC2＝BP2＝[（4﹣m）2+32]
又PC2＝OP2+OC2＝m2+52
∴[（4﹣m）2+32]＝m2+52
解得：m＝或m＝10（舍去）
综上所述，m＝或m＝
（4）∵点O与点O'关于直线对称
∴∠PO'C＝∠POC＝90°，即点O'在圆上
当O'与O重合时，得m＝0
当O'落在AB上时，则m2＝4+（4﹣m）2，得m＝
当O'与点B重合时，得m＝
∴0≤m≤或m＝
10．（1）证明：连接OM，如图1，
∵BM是∠ABC的平分线，
∴∠OBM＝∠CBM，
∵OB＝OM，
∴∠OBM＝∠OMB，
∴∠CBM＝∠OMB，
∴OM∥BC，
∵AB＝AC，AE是∠BAC的平分线，
∴AE⊥BC，
∴OM⊥AE，
∴AE为⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为r，
∵AB＝AC＝6，AE是∠BAC的平分线，
∴BE＝CE＝BC＝2，
∵OM∥BE，
∴△AOM∽△ABE，
∴＝，即＝，解得r＝，
即设⊙O的半径为；
（3）解：作OH⊥BE于H，如图，
∵OM⊥EM，ME⊥BE，
∴四边形OHEM为矩形，
∴HE＝OM＝，
∴BH＝BE﹣HE＝2﹣＝，
∵OH⊥BG，
∴BH＝HG＝，
∴BG＝2BH＝1．