5.2比较线段的长短 课件（共27张PPT）

第五章 基本平面图形
2 比较线段的长短
知识点一 线段的基本性质
如图所示，在A、B两点之间的所有连线中，线段AB的长度最短，即在两点之间的所有连线中，线段最短，可简记成“两点之间线段最短”.
知识点一 线段的基本性质
如图所示，在A、B两点之间的所有连线中，线段AB的长度最短，即在两点之间的所有连线中，线段最短，可简记成“两点之间线段最短”.
提示：
（1）连接两点的线有无数条，线段最短；
（2）连线是指以两个点为端点的任意线，包括线段、折线和曲线；
（3）连接AB是指画线段AB.
例1
图中三条通往落马村的路线，哪条路线最短？请在图中设计一条去落马村的最短的路线，并说明理由.

解析：
①、②、③三条路线中，路线②最短如图，设计的最短路线是路线④，理由是两点之间，线段最短.
知识点二 两点之间的距离
连接两点的线段的长度叫做这两点之间的距离.
知识点二 两点之间的距离
连接两点的线段的长度叫做这两点之间的距离.
提示：
（1）“线段”是图形，可以画出来；“距离”是指连接两点的线段的长度，可以量出来，是数量，不是线段本身.
（2）我们通常用刻度尺度量线段的长度.
例2
如图，小亮家、学校和超市在一条直线上，小亮家距离学校2 km，学校距离超市1 km，那么小亮家到超市的距离为___________.


例2
如图，小亮家、学校和超市在一条直线上，小亮家距离学校2 km，学校距离超市1 km，那么小亮家到超市的距离为___________.


解析
小亮家到超市的距离为2+1=3（km）.
答案 3 km
知识点三 比较线段的长短
比较线段的长短
度量法
叠合法
用刻度尺量出线段的长度，再进行比较（注意单位要统一）
把其中的一条线段移到另一条线段上，将其中的一个端点重合在一起，使另一个端点分别在重合点的同侧，再进行比较
比较的结果
线段AB与CD比较后，有下列三种结果:AB＝CD，AB＞CD，AB＜CD
例3
比较图中各线段的长短.




例3
比较图中各线段的长短.




解析 线段AC＜线段BC＜线段AB
点拨 解答这类问题，可以利用叠合法，也可以利用度量法.
知识点四 线段的和、差及尺规作图
1.线段的和差:如图所示，点B在线段AC上，AB＝a，BC＝b，AC＝c，则线段AC可表示为线段AB与BC的和，即AC＝AB＋BC（或c＝a＋b）；BC可表示为线段AC与AB的差，即BC＝AC-AB（或b＝c-a）；AB可表示为线段AC与BC的差，即AB＝AC-BC（或a＝c-b）.
2.尺规作图的定义:仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫做尺规作图.
例4
如图，已知线段a和b，用尺规作一条线段使其长度等于3a＋b.
解析
作法:
（1）作射线AN；
（2）在射线AN上顺次截取AB＝BC＝CD＝a；
（3）在射线DN上截取DE＝b.
如图所示点拨，线段AE即为所求作的线段.
知识点五 线段的中点
线段的中点
内容
图例
把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点

点M是线段AB的中点，AM＝BM＝ AB，即AB＝2AM＝2BM
注意
（1）一条线段的中点一定在这条线段上；
（2）一条线段只有一个中点.
例5
如图所示，C、D是线段AB上的两点，若AB＝10cm，BC＝4cm，且D是线段AC的中点，求线段BD的长.
解析
因为AB＝10cm，BC＝4cm，所以AC＝AB-BC＝10-4＝6cm.因为D是线段AC的中点，所以CD＝AC＝ ×6＝3cm.所以BD＝BC＋CD＝4＋3＝7cm.
点拨
本题在线段和差的基础上，加入了中点的知识，解题的关键是根据条件将待求线段拆开成与已知（或可计算）线段成和差或者倍分的关系的线段.
经典例题
题型一 线段基本事实的应用
例1
如图所示，AB＋CD________AC＋BD.
（填“＜”“＞或“＝”）
解析
解法一:可以通过度量得出.
解法二:设AC、BD的交点为O，由“两点之间线段最短”可得AB＜AO＋BO，CD＜CO＋DO，所以AB＋CD＜AO＋BO＋CO＋DO，即AB＋CD＜AC＋BD.
答案 ＜
解析
解法一:可以通过度量得出.
解法二:设AC、BD的交点为O，由“两点之间线段最短”可得AB＜AO＋BO，CD＜CO＋DO，所以AB＋CD＜AO＋BO＋CO＋DO，即AB＋CD＜AC＋BD.
答案 ＜
点拨
利用“两点之间线段最短”解决，为以后学习“三角形的两边之和大于第三边”作铺垫.
题型二 与线段的比有关的计算
例2
如图所示，某立柱AB＝6m，底座BD与中段CD的比为2:3，中段CD是上段AC的3倍.求AC，CD，BD的长.
解析
解法一:因为底座BD与中段CD的比为2:3，中段CD是上段AC的3倍，所以BD:CD:AC＝2:3:1，因为AB＝6m，所以AC＝6× ＝1m，CD＝6× ＝3m，BD＝6× ＝2m.
解法二:因为底座BD与中段CD的比为2:3，中段CD是上段AC的3倍，所以BD:CD:AC＝2:3:1，所以设BD＝2x m，CD＝3x m，AC＝x m.因为AB＝6 m，所以2x＋3x＋x＝6，所以x＝1.所以AC＝1m，CD＝3m，BD＝2m.
解析
解法一:因为底座BD与中段CD的比为2:3，中段CD是上段AC的3倍，所以BD:CD:AC＝2:3:1，因为AB＝6m，所以AC＝6× ＝1m，CD＝6× ＝3m，BD＝6× ＝2m.
解法二:因为底座BD与中段CD的比为2:3，中段CD是上段AC的3倍，所以BD:CD:AC＝2:3:1，所以设BD＝2x m，CD＝3x m，AC＝x m.因为AB＝6 m，所以2x＋3x＋x＝6，所以x＝1.所以AC＝1m，CD＝3m，BD＝2m.
点拨
这种根据线段的比设出未知数，建立方程解决问题的思想方法，数学中称为方程思想.
易错易混
易错点 忽视“直线”条件而导致漏解
例
已知点B在直线AC上，AB＝6，AC＝10，点P、Q分别是AB、AC的中点，求PQ的长.
解析
有点B在线段AC上或在线段CA的延长线上两种可能.由点P、Q分别为AB、AC的中点可知
AP＝
AB＝3，AQ＝
AC＝5.
如下图所示，当点B在线段AC上时，PQ＝AQ－AP＝2.


如下图，当点B在线段CA的延长线上时，PQ＝AQ＋AP＝8.
所以PQ的长为2或8.
易错警示：
“无图有陷阱”，时刻要牢记.这是一道典型的数形结合题，用几何的思想、代数的方法进行计算即可.