18.2.2菱形（2） 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
人教版
八年级数学上
18.2.2菱形（2）
学习目标
　1.经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理．（重点）
2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算.（难点）
回顾旧知
一组邻边相等
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
平行四边形
菱形的性质
菱形
两组对边分别平行
四条边都相等
两组对角分别相等
两条对角线互相垂直平分
每一条对角线平分一组对角
边
角
对角线
思考
菱形的定义是什么？性质有哪些？
合作探究---菱形的判定
类别平行四边形、矩形，由菱形的定义,可得菱形的判定方法：
AB=AD，
∵
□ABCD中，
∴
□ABCD是菱形.
符号语言：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
A
B
C
D
下面我们一起探究菱形的其他判定方法。
合作探究---菱形的判定
前面我们用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个平行四边形.那么转动木条,这个平行四边形什么时候变成菱形?对此你有什么猜想？
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
你能证明这一猜想吗？
合作探究---菱形的判定
A
B
C
O
D
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O
，AC⊥BD.求证：□ABCD是菱形.
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形.
∴OA=OC.
又∵AC⊥BD,
∴BD是线段AC的垂直平分线.
∴BA=BC.
∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.
合作探究---菱形的判定
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
符号语言：
∵在□ABCD中，AC⊥BD,
∴
□ABCD是菱形.
菱形的判定定理：
A
B
C
O
D
典例精析
例1
如图，
ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AO=4，BO=3.
求证：四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
O
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∵
OA=4,OB=3,AB=5，
证明：
即AC⊥BD，
∴
AB2=OA2+OB2，
由勾股定理的逆定理知：
△AOB是直角三角形
∴四边形ABCD是菱形.
小试牛刀
1、在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是
（
　
）
A．∠ABC=90°
B．AB∥CD
C．AB=CD
D．AC⊥BD
D
A
B
C
D
O
小试牛刀
2、如图,矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形．
A
B
C
D
E
F
O
1
2
证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AE∥FC，∴∠1=∠2.
∵EF垂直平分AC，∴AO
=
OC
.
又∠AOE
=∠COF，
∴△AOE≌△COF，∴EO
=FO.
∴四边形AFCE是平行四边形.
又∵EF⊥AC
∴
四边形AFCE是菱形.
合作探究---菱形的判定
思考
上节课我们研究了菱形的四条边相等，它的逆命题是什么？成立吗？
逆命题：四条边相等的四边形是菱形.
你能证明出来吗？
成立
合作探究---菱形的判定
证明：∵AB=BC=CD=AD;
∴AB=CD
,
BC=AD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
合作探究---菱形的判定
四条边都相等的四边形是菱形
符号语言：
∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，
∴四边形
ABCD是菱形.
菱形的判定定理：
A
B
C
D
典例精析
证明：
∵
∠1=
∠2,
又∵AE=AC,AD=AD,
∴
△ACD≌
△AED
(SAS).
同理△ACF≌△AEF(SAS)
.
∴CD=ED,
CF=EF.
又∵EF=ED,∴CD=ED=CF=EF,
∴四边形ABCD是菱形.
2
例2
如图,在△ABC中,
AD是角平分线,点E、F分别在AB、
AD上,且AE=AC,EF
=
ED.
求证：四边形CDEF是菱形.
A
C
B
E
D
F
1
小试牛刀
1、下列命题中正确的是（
）
A.一组邻边相等的四边形是菱形
B.三条边相等的四边形是菱形
C.四个角相等的四边形是菱形
D.四条边相等的四边形是菱形
D
小试牛刀
H
G
F
E
D
C
B
A
证明：连接AC、BD.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD.
∵点E、F、G、H为各边中点，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形.
2、如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，
求证：四边形EFGH是菱形.
如果顺次连接平行四边形、菱形各边中点围成的是什么图形呢？
综合演练
1.判断下列说法是否正确
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；
(2)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；
(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形；
(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．
√
╳
╳
╳
综合演练
2.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（　　）
A．AB=BC
B．
∠ACB=60°
C．∠B=60°
D．AC=BC
D
3.一边长为10cm平行四边形的两条对角线的长分别为12cm和16cm，那么平行四边形的面积是
.
96cm2
综合演练
4、
如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF.
(1)求证：四边形BCFE是菱形；
(1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC且2DE＝BC.
又∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形．
又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形；
综合演练
(2)解：∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴菱形的边长为6，高为
，
∴菱形的面积为
.
(2)若CE＝6，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
知识点拨：判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证出这个四边形是平行四边形．
综合演练
证明：∵MN是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，AD=CD，OA=OC，∠AOD=∠EOC=90°.
∵CE∥AB，∴∠DAO=∠ECO，
∴△ADO≌△CEO（ASA）．
∴AD=CE，OD=OE，
∵OD=OE，OA=OC，
∴四边形ADCE是平行四边形
又∵∠AOD=90°，∴四边形ADCE是菱形．
5.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD.求证：四边形ADCE是菱形.
B
C
A
D
O
E
M
你还有别的证明方法吗？
综合演练
（1）证明：由尺规作∠BAF的平分线的过程可得：
AB=AF，∠BAE=∠FAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠FAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，
∴BE=FA，∴四边形ABEF为平行四边形，
∵AB=AF，∴四边形ABEF为菱形；
6.如图,在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E，连接EF（1）求证：四边形ABEF为菱形；
综合演练
（2）AE，BF相交于点O，若BF=12，AB=10，求AE的长．
解：∵四边形ABEF为菱形，
∴AE⊥BF，BO=
FB=6，AE=2AO，
在Rt△AOB中，由勾股定理得AO
=8，
∴AE=2AO=16．
课堂小结
本节课你有哪些收获？
菱形的判定有哪些？
课后作业
教材60页习题18.2第6、10题．
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