(共33张PPT)
温故知新
1.勾股定理的内容是什么？
2.勾股定理公式有哪几种变形？
求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长：
①
a＝3，b＝4；
②
a＝2.5，b＝6；
③
a＝4，b＝7.5.
c=5
c=6.5
c=8.5
想一想：以前我们已经学过了通过角的关系来确定直角三角形，可不可以通过边来确定直角三角形呢？
导入新课
17.2 勾股定理逆定理
人教版八年级数学
下册
第1课时
勾股定理的逆定理
学习目标
1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数。
2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形。
a
b
c
C
B
A
勾股定理：
如果直角三角形的两直角边为a，b，斜边长为c
，那么a2+b2=c2.
反过来，如果一个三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2
.那么这个三角形的形状怎样？
思考：
目标导学一：勾股定理的逆定理
古埃及画直角的方法：如图所示，他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处.
1
4
8
(13)
新知学习
工匠
助手
助手
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,
b,
c:
①5,12,13;
②7,24,25;
③8,15,17.
问题
这三组数在数量关系上有什么相同点？
①
5,12,13满足52+122=132,
②
7,24,25满足72+242=252,
③
8,15,17满足82+152=172.
问题
古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？
∵32+42=52，∴满足.
a2+b2=c2
我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差.
我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体.
问题
据此你有什么猜想呢?
由上面几个例子，我们猜想：
命题2
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
△ABC≌
△
A′B′C′
？
∠C是直角
△ABC是直角三角形
A
B
C
a
b
c
已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证：△ABC是直角三角形．
构造两直角边分别为a,b的Rt△A′B′C′
一起来证明
证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，
∴△ABC≌
△A′B′C′(SSS)，
∴∠C=
∠C′=90°
，
即△ABC是直角三角形.
则
A
C
a
B
b
c
如果三角形的三边长a
、b
、c满足
a2+b2=c2
那么这个三角形是直角三角形。
A
C
B
a
b
c
作用：判断三角形是否为直角三角形
注意：不要拘泥于a2+b2=c2的形式
核心：只要满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形
，最长边所对应的角为直角。
勾股定理的逆定理:
知识归纳
例1
下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？
(1)
a=15
，
b=8
，c=17;
解：(1)∵152+82=289，172=289，∴152+82=172，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，
且∠C是直角.
(2)
a=13
，b=14
，c=15.
(2)∵132+142=365，152=225，
∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，
∴这个三角形不是直角三角形.
根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
规律
若△ABC的三边a,b,c满足
a:b:
c=3:4:5，是判断△ABC的形状.
解：设a=3k,b=4k,c=5k(k＞0),
∵(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,
∴(3k)2+(4k)2=(5k)2,
∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角.
已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形.
规律
变式练习
例2
古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2－1，c＝m2＋1，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？
【解答】 对．
因为a2＋b2＝(2m)2＋(m2－1)2＝4m2＋m4－2m2＋1＝m4＋2m2＋1＝(m2＋1)2，
而c2＝(m2＋1)2，所以a2＋b2＝c2，即a，b，c是勾股数．
m＝2时，勾股数为4，3，5；m＝3时，勾股数为6，8，10；m＝4时，勾股数为8，15，17.
精典例题
判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：
（1）a=15，b=8，c=17；
（2）a=m2-n2，b=m2+n2，c=2mn（m＞n，m、n是正整数）
解；（1)∵a2
=
225，
b2
=
64，
c2
=
289
又∵
225
+
64
=
289
∴
a2
+
b2
=
c2
即:
三角形是直角三角形
(2)∵a2
=
(m2
-
n2
)2
=
m4
-
2m2n2
+
n4,
b2
=
(m2
+
n2
)2
=
m4
+
2m2n2
+
n4,
c2
=
(2mn
)2
=
4m2n2
又∵m4
-
2m2n2
+
n4
+
4m2n2
=
m4
+
2m2n2
+
n4
∴
a2
+
c2
=
b2
即:
三角形是直角三角形
即学即练
下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？
(1)
a=25
b=20
c=15
____
_____
;
(2)
a=13
b=14
c=15
____
_____
;
(4)
a:b:
c=3:4:5
_____
_____
;
是
是
不是
是
∠
A=900
∠
B=900
∠
C=900
(3)
a=1
b=2
c=
____
_____
;
像25,20,15,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
目标导学二：勾股数
常见勾股数：
3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.
勾股数拓展性质：
一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
下列各组数是勾股数的是
(
)
A.6，8，10
B.7，8，9
C.0.3，0.4，0.5
D.52，122，132
A
规律总结：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.
即学即练
勾股定理的逆命题
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么
a2
+
b2
=
c2
勾股定理
如果三角形的三边长a、b、c满足
那么这个三角形是直角三角形。
a2
+
b2
=
c2
互逆命题
目标导学三：互逆命题与互逆定理
互逆命题:
两个命题中,
如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,
而第一个命题的结论又是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题.
如果把其中一个叫做原命题,
那么另一个叫做它的逆命题.
互逆定理:
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,
那么它也是一个定理,
这两个定理叫做互逆定理,
其中一个叫做另一个的逆定理.
知识归纳
(1)两条直线平行，内错角相等．
(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．
(3)全等三角形的对应角相等．
(4)角的内部到角的两边距离相等的点在角平分线上．
说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗?
逆命题:
内错角相等，两条直线平行.
成立
逆命题:角平分线上的点到角的两边距离相等．成立
逆命题:如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等.
不成立
逆命题:对应角相等的两个三角形是全等三角形.
不成立
感悟:
原命题成立时,
逆命题有时成立,
有时不成立
一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题
即学即练
(1)
同旁内角互补，两条直线平行．
(2)如果两个角是直角，那么它们相等．
(3)全等三角形的对应边相等．
(4)
如果两个实数相等，那么它们的平方相等．
说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗?
逆命题:
两条直线平行，同旁内角互补．
成立
逆命题:如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等.
不成立
逆命题:
如果两个角相等，那么它们是直角．
不成立
逆命题:对应边相等的两个三角形是全等三角形.
成立
即学即练
(1)两条直线平行，同位角相等．
(2)如果两个实数是正数，那么它们的积是正数．
(3)全等三角形是锐角三角形．
(4)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等
说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗?
逆命题:
同位角相等，两条直线平行.
成立
逆命题:到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．成立
逆命题:如果两个实数的积是正数，那么这两个实数是正数.
不成立
逆命题:锐角三角形是全等三角形.
不成立
即学即练
探索
猜想
归纳
验证
应用
拓展
知识源于探索
逻辑思维
勾股定理
的逆定理
内容
作用
从三边数量关系判定一个三角形是
否是直角形三角形.
如果三角形的三边长a
、b
、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
注意
最长边不一定是c，
∠C也不一定是直角.
勾股数一定是正整数
课堂小结
1.下列各命题的逆命题成立的是(
)
A．对顶角相等
B．若a＝b，则|a|＝|b|
C．两直线平行，内错角相等
D．全等三角形的对应角相等
检测目标
C
A
检测目标
2.将下列长度的三木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（
）
A.
15,12,
9
B.
4,
6,
8
C.
5,
5,
4
D.
1,
2,
3
3.如果线段a、b、c能组成直角三角形,
则它们的比可能是（
）
A.3:4:7;
B.1:2:4;
C.5:12:13;
D.1:3:5.
C
检测目标
检测目标
4.将直角三角形的三边的长度扩大同样的倍数,则得到的三角形是
(
)
A.是直角三角形;
B.
可能是锐角三角形;
C.
可能是钝角三角形;
D.
不可能是直角三角形.
A
5.在很久很久以前，古埃及人把一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉如图那样钉成一个三角形，你知道
这个三角形是什么形状吗？并说明理由.
检测目标
解:这个三角形是直角三角形.
理由:设两个结的距离为a,则三边分别为3a,4a,5a.
课堂总结
同学们，本节课你收获了什么？
课后作业
1.整理本节知识点
2.选做题：
同步检测题(共26张PPT)
温故知新
1.勾股定理的逆定理是什么？
2.勾股定理内容？
3.什么叫互逆命题？
我们学会了用勾股定理解决生活中的很多问题，那么勾股定理的逆定理可以解决哪些实际问题呢？我们一起来探究吧。
导入新课
17.2 勾股定理逆定理
人教版八年级数学
下册
第2课时
勾股定理的逆定理的应用
学习目标
1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数。
2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形。
3.灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题。
在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而常需要使用一些数学知识和方法，其中勾股定理的逆定理经常会被用到。
1
2
例1
如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.
“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
N
E
P
Q
R
目标导学一：勾股定理的逆定理的应用
思考1
认真审题，弄清已知是什么？要解决的
问题是什么？
1
2
N
E
P
Q
R
16×1.5=24
12×1.5=18
30
“远航”号的航向、两艘船的一个半小时后的航程及距离已知，如图.
思考2
由于我们现在所能得到的都是线段长，要求角，由此你联想到了什么？
实质是要求出两艘船航
向所成角.
勾股定理逆定理
解：根据题意得
PQ=16×1.5=24(海里),
PR=12×1.5=18(海里),
QR=30海里.
∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,∴∠QPR=90°.
由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°.
∴∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.
N
E
P
Q
R
1
2
解决实际问题的步骤：?构建几何模型(从整体到局部)；?标注有用信息,明确已知和所求；?应用数学知识求解.
规律
例2.如图，在一次夏令营中，小明从营地A出发，沿北偏东53°方向走了400m到达点B，然后再沿北偏西37°方向走了300m到达目的地C.求A、C两点之间的距离．
解：如图，过点B作BE∥AD.
∴∠DAB＝∠ABE＝53°.
∵37°＋∠CBA＋∠ABE＝180°，
∴∠CBA＝90°，
∴AC2＝BC2＋AB2＝3002＋4002＝5002，
∴AC＝500m，
即A、C两点间的距离为500m.
3
4
12
13
┐
例3
一个零件的形状如图所示，工人师傅量得这个零件各边尺寸如下(单位：dm)：AB=3，AD=4，BC=12，CD=13.且∠DAB=90°.你能求出这个零件的面积吗？
∵CD=13
,
BC=12
∴∠DBC=90°
在△BCD中
解：连接BD
∵AB=3，AD=4
∴BD=
=5
∴CD2=BC2+BD2
∴△BCD是直角三角形
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD
=
×3×4+
×5×12=36
答：这个零件的面积是36
dm2。
在Rt△ABD中
3
4
12
13
┐
5
例4.A、B、C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C在B地的什么方向？
A
B
C
5cm
12cm
13cm
解：∵
BC2+AB2=52+122=169，
AC2
=132=169，
∴BC2+AB2=AC2，
即△ABC是直角三角形，
∠B=90°.
答：C在B地的正北方向．
例5
如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积.
解析：连接AC，把四边形分成两个三角形.先用勾股定理求出AC的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△ACD是直角三角形.
A
D
B
C
3
4
13
12
目标导学二：勾股定理及其逆定理的综合应用
解：连接AC.
A
D
B
C
3
4
13
12
在Rt△ABC中，
在△ACD中，
AC2+CD2=52+122=169=AD2，
∴△ACD是直角三角形，
且∠ACD=90°.
∴S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=6+30=36.
四边形问题对角线是常用的辅助线，它把四边形问题转化成两个三角形的问题.在使用勾股定理的逆定理解决问题时，它与勾股定理是“黄金搭挡”，经常配套使用.
规律
例6.如图：在Δ
ABC中，AB=13㎝，BC=10㎝，BC边上的中线AD=12㎝，求证：AB=AC。
证明：∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD=1/2BC=5㎝
∵在△ABD中，AB=13，BD=5，AD=12
∴
BD2+AD2=52+122=169=AB2
∴
△ABD是直角三角形。
∴
△ACD也是直角三角形。
根据勾股定理得到：
∴AB=AC=13㎝
例7
如图，△ABC中，AB=AC，D是AC边上的一点，CD=1，BC＝
5
，BD=2．
（1）求证：△BCD是直角三角形；
（2）求△ABC的面积．
（1）证明：∵CD=1，BC＝
5
，BD=2，
∴CD2+BD2=BC2，
∴△BDC是直角三角形；
（2）解：设腰长AB=AC=x，
在Rt△ADB中，∵AB2=AD2+BD2，
∴x2=(x-1)2+22，
解得
用到了方程的思想
解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，
∵周长为36cm，即AB+BC+AC=36cm，
∴3x+4x+5x=36，解得x=3.
∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm.
∵AB2+BC2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，
过3秒时，BP=9-3×2=3(cm)，BQ=12-1×3=9(cm)，
在Rt△PBQ中，由勾股定理得
如图，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒2cm的速度移动，点Q从点C沿CB边向点B以每秒1cm的速度移动，如果同时出发，则过3s时，求PQ的长．
即学即练
勾股定理的逆定理的应用
应用
航海问题
方法
认真审题,画出符合题意的图形,熟练运用勾股定理及其逆定理来解决问题
与勾股定理结合解决不规则图形等问题
归纳小结
1.已知a.b.c为△ABC的三边,且满足
a2c2
–
b2c2=a4
–
b4,试判断△ABC的形状.
解
∵
a2c2-
b2c2
=
a4
–
b4
(1)
∴
c2(a2
–
b2)
=
(a2+
b2)
(a2-
b2)
(2)
∴
c2
=
a2
+
b2
(3)
∴
△ABC是直角三角形
问:
(1)
上述解题过程,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号＿＿＿
(2)
错误原因是＿＿＿＿＿＿＿＿＿
(3)
本题正确的结论是＿＿＿＿＿＿＿＿
3
a2-
b2可能是0
直角三角形或等腰三角形
检测目标
2.如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE＝
CB，试判断AF与EF的位置关系，并说明理由．
解：AF⊥EF.理由如下：
设正方形的边长为4a,
则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.
在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2.
在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.
在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.
在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，
∴△AEF为直角三角形，且AE为斜边．
∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.
检测目标
分析：先来判断a,b,c三边哪条最长，可以代m,n为满足条件的特殊值来试，m=5,n=4.则a=9,b=40,c=41,c最大。
∴△ABC是直角三角形
检测目标
4.点A是一个圆形森林公园的中心,在森林公园附近有
B
.C
两个村庄,现要在
B.C
两村庄之间修一条长为
1000
m
的笔直公路将两村连通,经测得AB=600m,AC=800m,问此公路是否会穿过该森林公园?
1000
600
800
B
C
A
公园半径为400m
影响因素：
1.公园的半径
2.点A到公路的距离
检测目标
D
过点A作AD⊥BC交BC于点D.
又∵AB·AC=AD·BC.
∴这条公路不会穿过自然保护区.
∴AD=480
解：在△ABC中
∵AB2+AC2=6002+8002=10002=BC2.
∴△ABC为直角三角形，∠BAC=90°
∵
480>400
1000
600
800
A
B
C
检测目标
课堂总结
同学们，本节课你收获了什么？
课后作业
1.整理本节知识点
2.选做题：
同步检测题
