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平面几何中的向量方法及向量在物理中的应用举例
一、单选题
1．已知点，，，则下列结论正确的是（
）
A．三点共线
B．
C．是锐角三角形的顶点
D．是钝角三角形的顶点
2．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则=
A．2
B．4
C．5
D．10
3．人骑自行车的速度是，风速为，则逆风行驶的速度为（
）
A．
B．
C．
D．
4．一条河的宽度为，一只船从处出发到河的正对岸处，船速为，水速为，则船行到处时，行驶速度的大小为（
）
A．
B．
C．
D．
5．如图，在重的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
6．设是内部一点，且，则与的面积之比为________________.
7．一条两岸平行的河流，水速为，小船的速度为，为使所走路程最短，小船应朝____________的方向行驶.
8．在水流速度为的河流中，有一艘船正沿与水流垂直的方向以的速度航行，则船自身航行速度大小为____________.
9．一个重20
N的物体从倾斜角30°，斜面长1
m的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是________．
三、解答题
10．如图，在中，，，点在线段上，且.
（1）求的长；
（2）求的大小.
11．如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度，一艘船从点出发航行到河对岸，船航行速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角.
（1）当多大时，船能垂直到达对岸？
（2）当船垂直到达对岸时，航行所需时间是否最短？为什么？
12．已知力与水平方向的夹角为（斜向上），大小为，一个质量为的木块受力的作用在动摩擦因数的水平平面上运动了.力和摩擦力所做的功分别为多少？（取重力加速度大小为）
答案解析
1．
【详解】
由题意，点，，，
可得，则，所以是钝角.
故选：D.
2．
【详解】
将直角三角形的直角顶点与原点重合，设，，那么，那么，故选D．
3．
【详解】
由题意，根据向量的加法法则，可得逆风行驶的速度为，注意速度是有方向和大小的，是一个向量.故选：B.
4．
【详解】
如图所示，由平行四边形法则和解直角三角形的知识，
可得船行驶的速度大小为.
故选：D.
5．
【详解】
作，使.在中，，，，.选C.
6．
【详解】
设为的中点，如图所示，连接，则.又，所以，即为的中点，且，即与的面积之比为.
7．
【详解】
如图所示，为使小船所走路程最短，应与岸垂直，
又，，，
所以.所以小船应朝与水速成角的方向行驶.
故答案为：与水速成角.
8．
【解析】如下图，代表水流速度，代表船自身航行的的速度，而代表实际航行的速度，所以有，所以船自身航行的速度大小为.
9．
【解析】
由力的正交分解知识可知沿斜面下滑的分力大小
|F|＝×20
N＝10
N，
∴W＝|F|·|s|＝10
J.
或由斜面高为m，W＝|G|·h＝20×J＝10
J.
10．
【详解】
（1）设，，
则，
，
故；
（2）设，则为向量与的夹角.
，，即.
11．
【详解】
（1）船垂直到达对岸，即与垂直，即.
所以，即.
所以，解得.
（2）设船航行到对岸所需的时间为，
则.
故当时，船的航行时间最短，而当船垂直到达对岸，所需时间并不是最短.
12．
【详解】
如图所示，设木块的位移为，则.
将力分解成竖直向上的分力和水平方向的分力，则.
所以.
因此.
故力和摩擦力所做的功分别为和.
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平面几何中的向量方法及向量在物理中的应用举例二
一、单选题
1．在边长为的菱形中，为的中点，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知三个力，，同时作用于某物体上一点，为使该物体保持平衡，需再加上一个力，则（
）
A．
B．
C．
D．
3．两个大小相等的共点力,当它们的夹角为90°时,合力大小为20N,当它们的夹角为120°时,合力大小为(
)
A．40N
B．
C．
D．
4．长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为（），北岸的点在的正北方向，游船正好到达处时，（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知非零向量与满足且，则的形状是（
）
A．三边均不相等的三角形
B．等腰直角三角形
C．等边三角形
D．以上均有可能
6．已知所在平面内的一点满足，则（
）
A．1∶2∶3
B．1∶2∶1
C．2∶1∶1
D．1∶1∶2
8．如右图,“六芒星”是由两个全等正三角形组成,中心重合于点且三组对边分别平行.点,
是“六芒星”（如图1）的两个顶点,动点在“六芒星”上（内部以及边界）,若,
则的取值范围
(
)
A．
B．
C．
D．
二、填空题
9．四边形的两条对角线与相交于点，且，，过点作，垂足为，若，则四边形的面积为_______．
10．已知四边形ABCD中，AB＝2，AC＝4，∠BAC＝60°，P为线段AC上任意一点，则的取值范围是______________．
11．河水的流速为2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s
的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为_______m/s．
三、解答题
12．已知为坐标原点，向量，，，．
（1）求证：；
（2）若是等腰三角形，求的值．
13．两个力，作用于同一质点，使该质点从点移动到点（其中，分别是轴正方向、轴正方向上的单位向量，力的单位：N，位移的单位：m）.求：
（1），分别对该质点做的功；
（2），的合力对该质点做的功.
14．如图，已知正方形ABCD中,E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF交于点P.求证：
（1）BE⊥CF;
（2）AP=AB.
15．已知，，一动点从开始，沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度的大小为m／s.另一动点从开始，沿着与向量相同的方向做匀速直线运动，速度的大小为，设P，Q在时分别在，处，问当时，所需的时间t为多少？
四、双空题
16．如图所示，两根绳子把质量为1kg的物体吊在水平杆AB上（绳子的质量忽略不计，g=10m/s2），绳子在A，B处与铅垂方向的夹角分别为，，则绳子AC和BC的拉力的大小分别为______，______.
答案解析
1．
【详解】
选择向量为基底，则，
所以
．
故选A．
2．
【详解】
由物理知识，知物体平衡，则所受合力为，所以，故.
故选：D
3．
【详解】
解：如图，以为邻边作平行四边形，为这两个力的合力．
由题意，易知，∴，
当它们的夹角为120°时，以为邻边作平行四边形，
此平行四边形为菱形，此时合力的大小，
故选：B．
4．
【详解】
设船的实际速度为，船速与河道南岸上游的夹角为，
如图所示，要使得游船正好得到处，
则，即，
又由，所以，故选D.
5．
【详解】
由题的，∵，∴平分线所在的直线与垂直，∴为等腰三角形.又，∴，∴，故为等边三角形.
故选：C
6．
【详解】
延长至，使得，于是有，即点是的重心，依据重心的性质，有.由是的中点，得.
故选：B
8．
【解析】
设，求的最大值，只需考虑图中个顶点的向量即可，讨论如下：
①；
②；
③；
④，
，；
⑤；
⑥，的最大值为，根据其对称性，可知的最小值为，故的取值范围是，故选A.
9．
【详解】
如图所示，作，
设，，，则，
因为，所以
，即，
因为，，,
所以，，
所以．
10．
【详解】
以A为原点，AB为x轴建立直角坐标系，由AB＝2，AC＝4，∠BAC＝60°，则,，又P为线段AC上任意一点，设,
所以
，由，所以.故答案为.
11．
【详解】
为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，即：静水速度v1斜向上游方向，
河水速度v2=2m/s平行于河岸；
静水速度与河水速度的合速度v=10m/s指向对岸．
∴静水速度v1=m/s．
故答案为．
12．
【详解】
（1）∵，∴，∴．
（2）若是等腰三角形，则，
，
∴，整理得：，
解得，或，∵，∴，．
13．
【详解】
（1），，.
做的功，
做的功.
（2），
所以做的功.
14．
【详解】
如图建立平面直角坐标系xOy,其中A为原点,不妨设AB=2,
则A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).
(1)=(1,2)-(2,0)=(-1,2),
=(0,1)-(2,2)=(-2,-1),
∵=(-1)×(-2)+2×(-1)=0,
∴,即BE⊥CF.
(2)设P(x,y),则=(x,y-1),=(-2,-1).
∵,∴-x=-2(y-1),即x=2y-2.
同理由,得y=-2x+4,代入x=2y-2,
解得x=,∴y=,即P.
∴=4=,
∴||=||,即AP=AB.
15．
【详解】
由题得，，其一个单位向量为，；，其一个单位向量为，.
根据题意，画出，的运动示意图，如图所示.
依题意，，，
∴，
由，，得，，
∴，.
∵，∴，即，解得，
∴当时，所需的时间为2s.
16．
【详解】
设绳子AC和BC的拉力分别为，，物体的重力用表示，则，.如图，以C为起点，分别作，，，则，，∴，，
∴绳子AC的拉力大小为，绳子BC的拉力大小为5
N.
故答案为：，5N
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