5.3 角 课件（共34张PPT）

第五章 基本平面图形
3 角
知识点一 角的概念及表示方法
1.角的认识

静态定义
动态定义
角
重要 提示
知识点一 角的概念及表示方法
1.角的认识

静态定义
动态定义
角
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边
角可以看做由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.旋转开始时的射线叫做角的始边，旋转终止时的射线叫做角的终边，在角的形成过程中，射线旋转时经过的平面部分是角的内部，未经过的部分是角的外部
重要 提示
（1）我们平时画角时，只画角的一部分来研究角，角的定义中边是两条射线，也就是说这两条边可以无限延伸.（2）角的大小只与构成角的两条射线张开的幅度大小有关.（3）角的符号是“∠”，不能写成“＜”.（4）没有特殊说明时，所说的角都是指小于180°的角.
例1
下列说法正确的有（ ）
①两条射线组成的图形是角；②角的大小与边的长短有关；③角的两边可以画得一样长，也可以一长一短；④角的两边是两条射线.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
例1
下列说法正确的有（ ）
①两条射线组成的图形是角；②角的大小与边的长短有关；③角的两边可以画得一样长，也可以一长一短；④角的两边是两条射线.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解析
若两条射线无公共端点，则组成的图形不是角，故①错误；角的大小与边的长短无关，故②错误；③④中的说法是正确的，故选C.
答案 C
2.角的表示
表示方法
图示
记法
适用范围




2.角的表示
表示方法
图示
记法
适用范围
用三个大写英文字母表示

∠AOB或∠BOA
任何情况都适用，表示顶点的大写英文字母必须写在中间
用一个大写英文字母表示

∠O
以这一点为顶点的角只有一个
用数字表示

∠1
任何情况都适用，在靠近顶点处加上弧线，注上数字或小写希腊字母
用小写希腊字母表示

∠a
牢记
（1）当以某一点为顶点的角有两个或两个以上时，其中任意一个角都不能只用一个大写英文字母表示；（2）用三个大写英文字母表示时，一定要把表示顶点的大写英文字母写在中间，同时注意角的书写格式
例2
（1）写出下图中能用一个大写英文字母表示的角；
（2）写出图中以B为顶点的角；
（3）图中共有几个角（小于180°）？
例2
（1）写出下图中能用一个大写英文字母表示的角；
（2）写出图中以B为顶点的角；
（3）图中共有几个角（小于180°）？
解析
（1）能用一个大写英文字母表示的角:∠A、∠C.
（2）以B为顶点的角:∠ABE、∠ABC、∠CBE.
（3）题图中共有7个角.
方法技巧：
（1）当以某一点为顶点的角只有一个时，可以用一个大写英文字母表示该角；
（2）以B为顶点的角有∠ABE、∠CBE、∠ABC；
（3）一般数角的个数时不包括平角和大于平角的角.
知识点二 角的单位及度量制
1.平角与周角
定义
平角
周角
图示


数量关系
角的分类

注意
知识点二 角的单位及度量制
1.平角与周角
定义
平角
周角
一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角
一条射线绕它的端点旋转，当终边旋转到和始边重合时，所成的角叫做周角
图示


数量关系
1平角＝180°
1周角＝360°
角的分类
角按度数可分为五类:其中，大于0°而小于90°的角叫做锐角，如图（1）；等于90°的角叫做直角，如图（2）；大于90°而小于180°的角叫做钝角，如图（3）；等于180°的角叫做平角，如图（4）；等于360°的角叫做周角，如图（5）.
注意
平角与直线不同，平角是一个角，直线是一条线，这是不同的概念.同样，射线与周角也是不同的概念
2.角的单位及度量制
角的度量单位
角的
换算
角度制
知识
拓展
2.角的单位及度量制
角的度量单位
把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1＇；把1＇的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1 "
角的
换算
1°＝60＇，1＇＝60 "；1周角＝360°，1周角＝2平角＝4直角；1平角＝180°，1平角＝2直角
角度制
以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制
知识
拓展
（1）把“度”换算为“度、分、秒”时，先把不足1度的部分化为分，再把不足1分的部分化为秒；（2）把“度、分、秒”换算为“度”时，先把以秒为单位的部分化为分，再把以分为单位的部分化为度
例3
计算:
（1）1.25°等于多少分？等于多少秒？
（2）2880 "等于多少分？等于多少度？
例3
计算:
（1）1.25°等于多少分？等于多少秒？
（2）2880 "等于多少分？等于多少度？
解析
（1）60＇×1.25＝75′，60＂×75＝4500＂，即1.25°＝75′＝4500＂.
（2）
×2880＝48′，
×48＝0.8°，
即2880＂＝48′＝0.8°.
例4
（1）把2.45°换算成用度、分、秒表示的形式；
（2）（2）把33°24′36″换算成用度表示的形式.
例4
（1）把2.45°换算成用度、分、秒表示的形式；
（2）（2）把33°24′36″换算成用度表示的形式.
解析（1）2.45°＝2°＋0.45°＝2°＋0.45×60′＝2°27′.
（2）33°24′36″＝33°＋24′＋36×
＝33°＋24′＋0.6′＝33°＋24.6×
＝33°＋0.41°＝33.41°
例4
（1）把2.45°换算成用度、分、秒表示的形式；
（2）（2）把33°24′36″换算成用度表示的形式.
解析（1）2.45°＝2°＋0.45°＝2°＋0.45×60′＝2°27′.
（2）33°24′36″＝33°＋24′＋36×
＝33°＋24′＋0.6′＝33°＋24.6×
＝33°＋0.41°＝33.41°
点拨：
（1）是由高级单位向低级单位化；
（2）是由低级单位向高级单位化，计算时必须逐级进行，不要“越级”.
知识点三 用角表示方向
以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向，旋转到目标方向所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）××度，被称为方向角.
如图所示，射线OA表示的方向:北偏东45°（或东北方向）；射线OB表示的方向:南偏西30°；射线OC表示的方向:南偏东45°（或东南方向）.
注意：
描述方向角时，一般先说南北，后说东西，如:南偏西50°，不说成西偏南40°.
例5
7月以来，南方多地暴雨，刚处理完某处险情的某部队官兵满身泥水，在大堤上短暂休息.从晚晚家看部队的方向是南偏东30°，则从部队所在地看晚晚家的方向是_______________.
解析：
如图所示，∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC，∵∠BAC＝30°，∴∠ACD＝30°，
∴从部队所在地看晚晚家的方向是北偏西30°.





答案 北偏西30°
经典例题
题型一 角的加减乘除运算
例1
计算:（1）54°28′36″＋26°50′28＂；
（2）180°-76°46′23＂；
（3）15°32′20″×5；
（4）54°20′÷6.
解析：
（1）54°28＇36＂＋26°50＇28＇＝81°19＇4＂.
（2）180°-76°46＇23＂
＝179°59＇60＇－76°46＇23＂
＝(179°-76′)＋(59′-46′)＋(60″-23″)
＝103°13′37″.
（3）15°32＇20＂×5
＝15°×5＋32′×5＋20＂×5
＝75°160＇100＂
＝77°41＇40＂.
（4）54°20＇÷6
＝9°＋20＇÷6
＝9°＋3＇＋120＂÷6
＝9°＋3＇＋20＂
＝9°3′20＂.
题型二 钟表上的角度
例2
愉快的暑假开始了，小红和小兰约好上午9:10去游泳馆，此时时针与分针之间的夹角是多少度？
解析：
9:10时，时针与分针之间的夹角的度数为
5×30°-0.5°×10＝145°.

提示：
时针与分针的夹角指小于平角的角
题型三 与角的个数有关的规律性问题
例3
观察下图，回答下列问题:
（1）在图①中有几个角？
（2）在图②中有几个角？
（3）在图③中有几个角？
（4）若一个角内有n条射线，则共有多少个角？
分析：
解答此题首先要弄清楚题目的规律:当图中有n条射线时，每条射线都与其他（n-1）条射线构成（n-1）个角，则共有n（n-1）个角，由于两条射线构成一个角，因此角的总数为 ，
可根据这个规律，直接得出（1）（2）（3）的结论.在解答第（4）问时，要弄清图中共有多少条射线，结合规律即可得出所求的结论.
解析
（1）题图①中有2条射线，则角的个数为 .
（2）题图②中有3条射线，则角的个数为 .
（3）题图③中有4条射线，则角的个数为 .
（4）由前三问类推，当一个角内有n条射线时，共有（n＋2）条射线，则角的个数为 .
解析
（1）题图①中有2条射线，则角的个数为 .
（2）题图②中有3条射线，则角的个数为 .
（3）题图③中有4条射线，则角的个数为 .
（4）由前三问类推，当一个角内有n条射线时，共有（n＋2）条射线，则角的个数为 .
归纳与类比
从一个顶点出发有n条射线，可以形成 个角；平面内有不在同一直线上的n个点，可以形成 条直线；一条直线上有n个点可以形成 条线段.
易错易混
易错点 对度、分、秒换算掌握不到位
例 下列换算错误的是（ ）
A.0.25°＝900″ B.16°5′24″＝16.09°
C.47.28°＝47°16′48″ D.80.5°＝80°50′
解析
0.25×60′＝15′，15×60″＝900″，所以0.25°＝900″；24× ＝0.4′，5.4× ＝0.09°，所以16°5′24″＝16.09°；47.28°＝47°＋0.28×60′＝47°＋16.8′＝47°16′＋0.8×60″＝47°16′48＂；80.5°＝80°＋0.5×60′＝80°30′，故D错误，符合题意.故选D.

答案 D
解析
0.25×60′＝15′，15×60″＝900″，所以0.25°＝900″；24× ＝0.4′，5.4× ＝0.09°，所以16°5′24″＝16.09°；47.28°＝47°＋0.28×60′＝47°＋16.8′＝47°16′＋0.8×60″＝47°16′48＂；80.5°＝80°＋0.5×60′＝80°30′，故D错误，符合题意.故选D.

答案 D
易错警示
度、分、秒之间的转化是60进制，在由大单位化成下一级的小单位时应乘60，由小单位化成上一级的大单位时应除以60.