18.2.3正方形（1） 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
人教版
八年级数学上
18.2.3正方形（1）
学习目标
1.理解正方形的概念.
2.探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的
联系和区别.(重点、难点)
3.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.
（难点）
回顾旧知
平行四边形
矩形
有一个角
是直角
平行四边形
菱形
邻边相等
平行四边形与矩形和菱形之间的关系是什么？
小试牛刀
观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在.
合作探究---正方形的性质
矩
形
〃
〃
思考1：矩形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？
正方形
邻边相等的矩形是正方形
合作探究---正方形的性质
思考2：
菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？
正方形
有一个直角的菱形是正方形
合作探究---正方形的性质
正方形定义：
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.
A
B
C
D
思考3：可以看出正方形既是矩形也是菱形，它具有矩形、菱形的所有性质，你能总结一下正方形的性质吗？
性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等.
2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.
思考4：
你能用图形表示平行四边形、矩形、菱形、正方形它们之间的关系吗？
合作探究---正方形的性质
菱形
正
方
形
平行四边形
矩形
合作探究---正方形的性质
思考
正方形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?
对称性：
.
对称轴：
.
轴对称图形
4条
A
B
C
D
典例精析
例1
求证:
正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
A
D
C
B
O
已知:
如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O.
求证:
△ABO、
△BCO、
△CDO、
△DAO是全等的等腰直角三角形.
证明:
∵
四边形ABCD是正方形,
∴
AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.
∴
△ABO、
△BCO、
△CDO、
△DAO都
是等腰直角三角形,并且
△ABO≌
△BCO
≌
△CDO
≌
△DAO.
小试牛刀
2.一个正方形的对角线长为4cm，则它的面积是（　　）
A.2cm2
B.4cm2
C.6cm2
D.8cm2
D
1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（　
）
A．对角线互相平分
B．对角线相等
C．对角线互相垂直
D．对角线互相垂直且相等
A
小试牛刀
3．在正方形ABC中,∠ADB=
,∠DAC=
,
∠BOC=
.
4.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，
且AE=AB，则∠EBC的度数是
.
A
D
B
C
O
A
D
B
C
O
E
45°
90°
22.5°
45°
小试牛刀
5.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，AO＝6，求正方形的周长与面积．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OD＝6.
在Rt△AOD中，由勾股定理，得
∴正方形的周长为4AD＝
，
面积为AD2＝72.
综合演练
1、如图，在正方形ABCD中，
ΔBEC是等边三角形，
求证：
∠EAD＝∠EDA＝15°
.
证明：∵
ΔBEC是等边三角形，
∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，
∵
四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，
∴AB=BE=CE=CD,
∠ABE=
∠DCE=30°，
∴△ABE，△DCE是等腰三角形，
∴∠BAE=
∠BEA=
∠CDE=
∠CED=75°，∴∠EAD=
∠EDA=90°-75°=15°.
综合演练
2.如图，正方形ABCD的边长为2cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长．
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝2cm.
∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.
又∵∠ECF＝45°，∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC.
∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，
∴△ABE≌△AFE，
∴AB＝AF＝2cm，BE＝EF.∴FC＝BE.
在Rt△ABC中，
∴FC＝AC－AF＝(
－2)cm，∴BE＝(
－2)cm．
综合演练
3、如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD．（1）求证：△APB≌△DPC；
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠DCB=90°．
∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB．
∴∠ABC-∠PBC=∠DCB-∠PCB，
即∠ABP=∠DCP．
又∵AB=DC，PB=PC，
∴△APB≌△DPC．
综合演练
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠DAC=45°．
∵△APB≌△DPC，∴AP=DP．
又∵AP=AB=AD，∴DP=AP=AD．
∴△APD是等边三角形．
∴∠DAP=60°．
∴∠PAC=∠DAP-∠DAC=15°．
∴∠BAP=∠BAC-∠PAC=30°．
∴∠BAP=2∠PAC．
（2）求证：∠BAP=2∠PAC．
综合演练
4、如图，在正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E，
PF⊥DC于F.试说明：AP=EF.
A
B
C
D
P
E
F
解:
连接PC，AC.
又∵PE⊥BC
，
PF⊥DC,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠FCE=90°,
AC垂直平分BD,
∴四边形PECF是矩形,
∴PC=EF.
∴AP=PC.
∴AP=EF.
综合演练
5、如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF.
BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.
解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：
∵四边形ABCD是正方形.
∴BC=DC,∠BCE
=90°
.
∴∠DCF=180°-∠BCE=90°.
∴∠BCE=∠DCF.
又∵CE=CF.
∴△BCE≌△DCF.
∴BE=DF.
A
B
D
C
F
E
综合演练
延长BE交DE于点M,
∵△BCE≌△DCF
,
∴∠CBE
=∠CDF.
∵∠DCF
=90°
,
∴∠CDF
+∠F
=90°,
∴∠CBE+∠F=90°
,
∴∠BMF=90°.∴BE⊥DF.
A
B
D
F
E
C
M
课堂小结
本节课你有哪些收获？
正方形的性质有哪些？
课后作业
教材59页练习1、2．
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php