5 .1.2 垂线(1)
第五章 相交线与平行线
2021年春人教版七年级数学下册
1.如图,直线AB和CD相交于点O,则对顶角有___对, 分别是____________________。∠AOD的邻补角有___个,分别是______________。
B
O
A
D
C
⌒
⌒
⌒
1
⌒
2
3
4
2.如上图:若∠1=2∠2,求∠1,∠2,∠3,∠4的度数
2
∠1与∠3,∠2与∠4
2
∠BOD、∠AOC
∠1=1200,∠2=600,∠3=1200,∠4=600
温故知新
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,
当α =90°时,a与b垂直.
当b的位置变化时,a、b所成的角α也会发生变化.
当α ≠90°时,a与b不垂直,叫斜交.
两条直线相交
斜交
垂直
垂直是相交的特殊情况
)
α
a
b
b
b
b
b
)
α
观察与思考
新课导入
1.垂直定义:当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,这两条直线互相垂直,其中一条直线叫另一条直线的垂线,它们的交点叫垂足。
例如、如图,a、b互相垂直,O叫垂足.a叫b的垂线,b也叫a的垂线。
b
a
O
一、垂直的定义
从垂直的定义可知,
判断两条直线互相垂直的关键:
只要找到两条直线相交时四个交角中一个角是直角。
探究新知
b
a
用“⊥”和直线字母表示垂直
O
α
2.垂直的表示:
例如、如图,a、b互相垂直,
垂足为O,则记为:
a⊥b或b⊥a,
若要强调垂足,则记为:a⊥b, 垂足为O.
A
B
C
D
O
书写形式:
如图,当直线AB与CD相交于O点,∠AOD=90°时,AB⊥CD,垂足为O。
∵∠AOD=90°(已知)
∴AB⊥CD(垂直的定义)
书写形式:
反之,若直线AB与CD垂直,垂足为O,那么,∠AOD=90°。
∵ AB⊥CD (已知)
∴ ∠AOD=90° (垂直的定义)
应用垂直的定义:
∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°
3.垂直的书写形式:
日常生活中,两条直线互相垂直的情形很常见,说出下图中的一些互相垂直的线条。
你能再举出其他例子吗?
针对练习
A
C
E
B
D
O
1
∴ ∠EOB=90°(垂直的定义)
∴ ∠ EOD= ∠ EOB+ ∠ BOD
=90 °+55 °=145 °
(
解:
∵ AB⊥OE (已知)
∵ ∠BOD= ∠1=55°
例1 如图,直线AB、CD相交于点O,OE⊥AB,∠1=55°,求∠EOD的度数.
(对顶角相等)
例题讲解
A
C
E
B
D
O
∴ ∠EOB=90°(垂直的定义)
∴ ∠COF=∠COD-∠DOF=180°-80°=100°
解:
∵ AB⊥OE (已知)
∴ ∠AOC= ∠DOB=40°(对顶角相等)
F
∵ ∠DOE= 50° (已知)
∴ ∠DOB=40°(互余的定义)
又∵OB平分∠DOF
∴ ∠BOF= ∠DOB=40°(角平分线定义)
∴ ∠EOF= ∠EOB+ ∠BOF=90°+40°=130°
例2.如图,直线AB、CD相交于点O,OE⊥AB于O,OB平分∠ DOF,∠DOE=50°,求∠AOC、 ∠ EOF、 ∠ COF的度数.
(邻补角定义)
例题讲解
1、放
2、靠
3、画线
l
O
如图,已知直线 l,作l 的垂线。
工具:直尺、三角板。
A
无数条
垂线的画法
问题:这样画l的垂线可以画几条?
探究新知
l
A
如图,已知直线l和l上的一点A,作l 的垂线。
B
则所画直线AB是过点A的直线l的垂线。
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上;3移:移动三角板到已知点;4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
探究新知
l
A
如图,已知直线l 和l外的一点A,作l的垂线。
B
则所画直线AB是过点A的直线l的垂线。
请同学们画一下。
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上;3移:移动三角板到已知点;4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
结论:
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
能作一条,而且只能作一条.
问题:过已知直线 l 和l上(或外)的一点A ,作l的垂线,可以作几条?
注意:
过一点画已知线段(或射线)的垂线,就是画这条线段(或射线)所在直线的垂线.
垂线的性质(1)
E
E
E
注意:画线段(或射线)的垂线时,有时要将线段延长(或将射线反向延长)后再画垂线.
针对练习
1.选择题
过点 向线段 所在直线引垂线,正确的是( ).
A B C D
C
课堂练习
2.两条直线相交所成的四个角中,下列条件中能断定两条直线垂直的是( )
(A)有一个角为90° (B)有两个角相等
(C)有三个角相等 (D)有两对角相等
(E)有一对对顶角互补 (F)有一对邻补角相等
A C E F
O
A
B
C
D
)
(
1
3
4
2
)
(
3.如图,已知直线AB、CD都经过O点,OE为射线,
若∠1=35°, ∠2=55°,则OE与AB的位置关系
是 .
C
D
A
B
O
E
1
2
OE⊥AB
4.如图 ,已知AB. CD相交于O, OE⊥CD
于O,∠AOC=36°,则∠BOE= 。
(A)36° (B) 64°
(C)144° (D) 54°
A
B
O
C
D
E
D
5.如图,直线AB、CD相交于点O,OE⊥AB,∠1=75°,求∠EOD的度数.
∴ ∠EOB=90°(垂直的定义).
∴ ∠EOD=∠EOB+∠BOD
=90°+75°=165°.
A
C
E
B
D
O
1
(
解:
∵ AB⊥OE (已知),
∵∠BOD=∠1=75°(对顶角相等),
1、垂线的定义
2、垂线的画法
3、垂线的性质(1)
在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,这两条直线互相垂直,其中一条直线叫另一条直线的垂线,它们的交点叫垂足。
画线段(或射线)的垂线,就是画线段(或射线)所在直线的垂线。
画线段(或射线)的垂线时,有时要先将线段延长(或将射线反向延长),然再画垂线.
课堂小结
教科书9页,习题 5.1,4、6题
布置作业
再见