第二章 匀变速直线运动的研究 第4节 自由落体运动

匀变速直线运动的研究
自由落体运动
重难点
题型
分值
重点
自由落体运动的基本性质和基本规律
选择
计算
6-10分
难点
匀变速直线运动的基本规律和推论在自由落体中的应用
自由落体运动的基本性质
1. 定义：物体只在重力作用下，从静止开始下落的运动。
2. 特点：受力：物体只受重力。
运动：v0=0，a=g
3. 运动性质：初速度为0的匀加速直线运动
自由落体运动的基本规律
1. 速度公式：v＝gt
2. 位移公式：x＝gt2
3. 速度位移关系式：v2＝2gx
4. 匀变速直线运动的推论的应用：三个推论和四个比例关系
一名宇航员在某星球上完成自由落体运动实验，让一个质量为2 kg的小球从一定的高度自由下落，测得在第5 s内的位移是18 m，则（　　）
A. 物体在2 s末的速度是20 m/s
B. 物体在第5 s内的平均速度是3.6 m/s
C. 物体自由下落的加速度是5 m/s2
D. 物体在5 s内的位移是50 m
【答案】D
【解析】第5 s内的位移是18m，有：gt－gt＝18m，t1＝5s，t2＝4s，解得：g＝4m/s2.所以2 s末的速度：v＝gt＝8m/s.故A、C错误；第5 s内的平均速度：＝＝m/s＝18 m/s.故B错误；物体在5 s内的位移：x＝gt2＝×4×25m＝50 m。故D正确。
一竖直的墙壁上AE被分成四个相等的部分，一物体由A点从静止释放做自由落体运动，如图所示，下列结论正确的是（　　）
A. 物体到达各点的速率vB：vC：vD：vE＝1∶2∶3∶4
B. 物体通过每一部分时，其速度增量vB－vA＝vC－vB＝vD－vC＝vE－vD
C. 物体从A到E的平均速度＝vB
D. 物体从A到E的平均速度＝vC
【答案】C
【解析】根据运动学公式v2－v＝2ax得：物体由A点从静止释放，所以v2＝2ax，所以物体到达各点的速率之比vB：vC：vD：vE＝1∶∶∶，A错误；物体做加速运动，物体通过每一部分时，所用时间逐渐减少，速度增量逐渐减小，B错误；根据自由落体运动的前两段相等时间内的位移比为1∶3，则下落到B点时的时间为总时间的一半，由中间时刻的瞬时速度等于此段时间的平均速度可知，C正确，D错误。
1. 自由落体运动为初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动。
2. g的取值：地球表面不同的地方，g的大小一般是不同的。G随纬度的增加而增加，随高度的增加而减小。
3. 匀变速直线运动的基本公式和所有推论都适用。
（答题时间：30分钟）
1. 滴水法测重力加速度的过程是这样的：让水龙头的水一滴一滴地滴在其正下方的盘子里，调整水龙头，让前一滴水滴到盘子里听到声音时，后一滴水恰离开水龙头，测出n次听到水击盘声的总时间t，用刻度尺量出水龙头到盘子的高度差为h，即可算出重力加速度，设人耳能区别两个声音的时间间隔为0.1 s，已知声速为340 m/s，则（　　）
A. 水龙头距人耳的距离至少为34 m
B. 水龙头距盘子的距离至少为34 m
C. 重力加速度的计算式为
D. 重力加速度的计算式为
2. 一个自由下落的物体，前3 s内下落的距离是第1 s内下落距离的（　　）
A. 2倍
B. 3倍
C. 6倍
D. 9倍
3. 甲、乙两物体分别从10 m和20 m高处同时自由落下，不计空气阻力，下面描述正确的是（　　）
A. 落地时甲的速度是乙的倍
B. 落地的时间甲是乙的倍
C. 下落1 s时甲的速度与乙的速度相同
D. 甲、乙两物体在最后1 s内下落的高度相等
4. 关于自由落体运动及重力加速度的说法，正确的是（　　）
A. 竖直向下的运动一定是自由落体运动
B. 熟透的苹果从树枝开始自由下落的运动可被视为自由落体运动
C. 同一地点，轻重物体的g值一样大
D. g值在赤道处大于在北极处
5. 从不同高度做自由落体运动的甲、乙两物体，所受的重力之比为2∶1，下落高度之比为1∶2，则（　　）
A. 下落时间之比是1∶2
B. 落地速度之比是1∶1
C. 落地速度之比是1∶
D. 下落过程中的加速度之比是1∶1
6. 如图所示是某晚报报道香港新建成的一种让人体验自由落体的跳楼机，其中列出了一些数据供参考：（A）总高度60 m；（B）限载12人；（C）最大时速45英里（1英里＝1609 m，此速度相当于20 m/s），g取10 m/s2，根据以上信息估算：
（1）跳楼机下落的总时间至少为多少？
（2）跳楼机先做自由落体运动，紧接着做匀减速运动，则减速过程的最大加速度是多少？
1.【答案】D
【解析】由于人耳能区分两个声音的时间差为0.1 s，因此两滴水落到盘子的时间差必须不小于0.1 s，则水龙头距盘子的距离至少为h＝gt2＝0.05m。人耳听到水击盘声的时间差与水龙头距人耳的距离无关。
当听到n次声音时，时间间隔为。
h＝g（）2，则g＝。
2.【答案】D
【解析】自由落体运动是初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动，相同时间位移之比为1∶3∶5∶……所以前3秒下落的距离是第1秒下落距离的9倍，D正确。
3.【答案】ABC
【解析】甲、乙的落地速度之比为：＝＝＝＝，A正确；甲、乙的落地时间之比为：＝＝＝＝，B正确；由v＝gt得下落1 s时的瞬时速度相同，C正确；甲在最后1 s内的平均速度小于乙在最后1 s内的平均速度，故最后1 s内甲下落的高度小于乙下落的高度，D错误。
4.【答案】BC
【解析】物体做自由落体运动的条件是初速度为零且只受重力作用，A错；熟透的苹果在下落过程中虽受空气阻力作用，但该阻力远小于它的重力，可以忽略该阻力，故可将该过程视为自由落体运动，B对；同一地点，重力加速度都相同，与质量无关，C对；赤道处g值小于北极处，D错。
5.【答案】CD
【解析】由自由落体运动的规律知，自由落体运动快慢与物体的质量无关，高度h＝gt2，故t＝，故下落时间之比是1∶，选项A错误；由v＝知落地速度之比是1∶，选项B错误，C正确；自由落体运动的加速度与物体的质量无关，与高度无关，选项D正确。
6.【答案】（1）6 s　（2）5 m/s2
【解析】（1）跳楼机先做自由落体运动至最大时速后立即做匀减速运动，落地时速度恰好减为零，此种情况对应的时间最短。全程的平均速度＝vm＝10m/s，最短时间tmin＝＝s＝6s。
（2）自由下落时间t1＝＝s＝2s，故减速过程的最短时间t2＝tmin－t1＝4s，最大加速度am＝=5 m/s2。
竖直上抛运动
重难点
题型
分值
重点
竖直上抛运动基本性质和基本规律
选择
计算
6-10分
难点
匀变速直线运动的基本规律在竖直上抛中的应用
1. 竖直上抛运动基本性质和基本规律
（1）定义：将物体以一定的初速度沿竖直方向向上抛出去，物体只在重力作用下的运动。
（2）运动特点：加速度为g，上升阶段做匀减速运动，下降阶段做自由落体运动。
（3）运动性质：匀变速直线运动。规定向上为正方向，则加速度为负，即a=-g。
（4）基本规律
①速度公式：v＝v0－gt
②位移公式：x＝v0t－gt2
③速度位移关系式：v2-v02=-2gx
④最高点v=0，a=-g
⑤抛出点到最高点用时
⑥最大高度
2. 竖直上抛运动的处理方法
分段法
上升阶段：匀减速直线运动
下降阶段：自由落体运动
全程法
初速度v0向上，加速度g向下的匀变速直线运动，v＝v0－gt，
h＝v0t－gt2（向上方向为正方向）
若v>0，物体上升，若v<0，物体下落；若h>0，物体在抛出点上方，若h<0，物体在抛出点下方。


竖直上抛运动的重要特性（如图）

1. 对称性
a. 时间对称：物体上升过程中从A→C所用时间tAC和下降过程中从C→A所用时间tCA相等，同理tAB＝tBA.
b. 速度对称：物体上升过程经过A点的速度与下降过程经过A点的速度大小相等。
2. 多解性：当物体经过抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，造成多解，在解决问题时要注意这个特性。
将某物体以30 m/s的初速度竖直上抛，不计空气阻力，g取10 m/s2。5 s内物体的 （　　）
A. 路程为65 m
B. 位移大小为25 m，方向向上
C. 速度改变量的大小为10 m/s
D. 平均速度大小为13 m/s，方向向上
【答案】AB
【解析】物体的初速度v0＝30 m/s，g＝10 m/s2，其上升时间t1＝＝3s，上升高度h1＝＝45m；下降时间t2＝5 s－t1＝2 s，下降高度h2＝gt＝20 m。末速度vt＝gt2＝20 m/s，向下，故5 s内的路程s＝h1＋h2＝65 m；位移x＝h1－h2＝25 m，向上；速度改变量Δv＝vt－v0＝（－20－30）m/s＝－50 m/s，负号表示向下；平均速度＝＝5 m/s.综上可知只有A、B正确。


如图所示是一种较精确测重力加速度g值的方法：将下端装有弹射装置的真空玻璃直管竖直放置，玻璃管足够长，小球竖直向上被弹出，在O点与弹簧分离，上升到最高点后返回。在O点正上方选取一点P，利用仪器精确测得OP间的距离为H，从O点出发至返回O点的时间间隔为T1，小球两次经过P点的时间间隔为T2，求：

（1）重力加速度g；
（2）当O点距离管底部的距离为L0时，玻璃管的最小长度。
【答案】（1）　（2）L0＋
【解析】（1）小球从O点上升到最大高度的过程中
h1＝g（）2
小球从P点上升到最大高度的过程中
h2＝g（）2
依据题意得h1－h2＝H，
联立解得g＝。
（2）玻璃管的最小长度L＝L0＋h1，
故L＝L0＋.

1. 运动性质：初速度为 v0 ，加速度为 -g 的匀变速直线运动。
2. 分段法：上升和下落；全程法：匀变速直线运动（注意各矢量的方向性）。
3. 对称性：全过程是匀变速直线运动，上下两个过程是对称的。
（答题时间：30分钟）
1. 如图所示，将小球a从地面以初速度v0竖直上抛的同时，将另一相同质量的小球b从距地面h处由静止释放，两球恰在处相遇（不计空气阻力）。则以下说法正确的是（　　）
A. 球a竖直上抛的最大高度为h
B. 相遇时两球速度大小相等
C. 相遇时球a的速度小于球b的速度
D. 两球同时落地
2. 将一个物体在t＝0时刻以一定的初速度竖直向上抛出，t＝0.8 s时刻物体的速度大小变为8 m/s，（g取10 m/s2）则下列说法正确的是（　　）
A. 物体一定是在t＝3.2 s时回到抛出点
B. t＝0.8 s时刻物体的运动方向可能向下
C. 物体的初速度一定是20 m/s
D. t＝0.8 s时刻物体一定在初始位置的下方
3. 关于竖直上抛运动，下列说法正确的是（　　）
A. 在最高点速度为零，加速度不为零
B. 上升的时间小于下落过程的时间
C. 从上升到下降的整个过程中加速度保持不变
D. 上升到某一高度时速度小于下降到此高度时的速度
4. 在20 m高处以初速度15 m/s竖直上抛一物体，不计空气阻力，g取10 m/s2，则物体离抛出点10 m时，所经历的时间可能是（　　）
A. 1 s
B. 2 s
C. 3 s
D. 3.56 s
5. 小球从空中自由下落，与水平地面相碰后弹到空中某一高度，其速度随时间变化的关系如图所示，取g＝10 m/s2，则（　　）
A. 小球是从5 m的高处自由落下的
B. 小球能弹起的最大高度为0.45 m
C. 小球第一次落地时速度的大小为3 m/s
D. 第一次与地面碰撞前后小球速度改变量的大小为8 m/s
6. 小球从空中h＝20 m处自由下落，与水平地面碰撞后以碰前速度的60%竖直反弹到某一高度。取g＝10 m/s2，不计空气阻力求：
（1）反弹的高度是多少？
（2）从开始下落到第二次落地，经过多长时间？
1.【答案】C
【解析】ab两个球在相等的时间内，运动距离都是，加速度大小也相等，根据运动的对称性得，在处相遇时a球的速度刚好为0，故a球上升的最大高度为，A、B错误，C正确；对球a：＝gt2，得运动时间t＝，ta＝2；对球b：h＝gt，运动的时间tb＝，t a＞tb，即b球先落地，D错误。
2.【答案】A
【解析】物体做竖直上抛运动，在0.8 s内的速度变化量Δv＝gt＝10×0.8m/s＝8m/s，由于初速度不为零，可知t＝0.8s时刻速度的方向一定竖直向上，不可能竖直向下，物体处于抛出点的上方，B、D错误；由速度公式v＝v0－gt，代入数据解得v0＝16m/s，则上升到最高点的时间t1＝＝s＝1.6s，回到抛出点的时间t＝2t1＝2×1.6s＝3.2 s，A正确，C错误。
3.【答案】AC
【解析】竖直上抛运动上升到下降的整个过程中，加速度保持不变，加速度为g，到最高点时速度为零，加速度仍为g，A、C正确；竖直上抛运动上升和下落过程具有对称性，上升的时间等于下落过程的时间，经过同一位置时速度大小相等，方向相反，B、D错误。
4.【答案】ABD
【解析】取竖直向上方向为正方向，当物体运动到抛出点上方离抛出点10 m时，位移为x＝10 m.
由竖直上抛运动的位移公式得：
x＝v0t－gt2
解得t1＝1 s，t2＝2 s.
当物体运动到抛出点下方离抛出点10 m时，位移为
x′＝－10 m，
由x′＝v0t－gt2
解得t≈3.56 s（负值舍去），
故选项A、B、D正确。
5.【答案】BD
【解析】由图像可知：前0.5 s内物体自由下落，后0.3s物体反弹，根据v－t图像中速度图像与时间轴围成的面积表示位移可得：小球下落的高度h1＝×0.5×5m＝1.25 m，A错误；小球能弹起的最大高度对应图中0.5 s～0.8s内速度图像的面积，h2＝×0.3×3m＝0.45 m，B正确；由图可知，第一次落地速度为5 m/s，C错误；碰撞过程速度的改变量为Δv＝－3 m/s－5m/s＝－8 m/s，大小为8 m/s，D正确。
6.【答案】（1）7.2m　（2）4.4 s
【解析】（1）小球第一次落地时有v＝2gh，
得v1＝＝m/s＝20 m/s，
反弹的速度v2＝60%v1＝12m/s，
则反弹的高度h2＝＝m＝7.2m.
（2）小球第一次落地的时间t1＝＝s＝2s，反弹后做竖直上抛运动，运用整体法有h′＝v2t2－gt
落地时h′＝0，得t2＝＝s＝2.4s，
故从开始下落到第二次落地的时间
t＝t1＋t2＝2 s＋2.4 s＝4.4s.