垂径定理
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
如图，的直径，AB是的弦，，垂足为M，OM：：5，则AB的长为
A.
8
B.
12
C.
16
D.
如图，AB为的直径，弦于E，已知，，则的直径为
A.
8
B.
10
C.
15
D.
20
如图，的直径CD为26，弦AB的长为24，且，垂足为M，则CM的长为
A.
25
B.
8
C.
5
D.
13
如图，的直径CD为26，弦AB的长为24，且，垂足为M，则CM的长为
A.
25
B.
8
C.
5
D.
13
下列语句，错误的是
A.
直径是弦
B.
相等的圆心角所对的弧相等
C.
弦的垂直平分线一定经过圆心
D.
平分弧的半径垂直于弧所对的弦
如图，在中，AB是弦，半径，垂足为要使四边形OACB为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是?
?
A.
B.
C.
D.
如图，AB是的直径，若沿着AB将折叠，圆上点C与点D是对应点，连接CD与AB交于点M，则，下列结论不成立的是?
?
A.
B.
C.
D.
如图所示，的半径为13，弦AB的长度为24，，垂足为N，则ON的长为
A.
5
B.
7
C.
9
D.
11
如图，AB是的直径，，弦于点E，若，则弦CD的长为
A.
3
B.
4
C.
6
D.
8
如图，AB是的直径，弦CD交AB于点P，，，，则CD的长为
A.
B.
C.
D.
8
二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）
如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是______．
如图，在平面直角坐标系中，的半径为4，弦AB的长为3，过点O作于点C，则OC的长度是________；内一点D的坐标为，当弦AB绕点O顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是________．
的直径为10cm，弦，，，则AB和CD的距离是______cm．
已知的半径为10cm，AB，CD是的两条弦，，，，则弦AB和CD之间的距离是______cm．
如图，舞台地面上有一段以点O为圆心的，某同学要站在的中点C的位置上．于是他想：只要从点O出发，沿着与弦AB垂直的方向走到上，就能找到的中点?老师肯定了他的想法．
请按照这位同学的想法，在图中画出点C；
这位同学确定点C所用方法的依据是______．
如图，AB是的直径，弦CD交AB于点P，，，，则CD的长为____．
如图，在中，于E，若，且，则______．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：连接OA，
的直径，OM：：5，
，，
，
，
．
故选：C．
连接OA，先根据的直径，OM：：5求出OC及OM的长，再根据勾股定理可求出AM的长，进而得出结论．
本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：连接OC，
为的直径，弦于E，
，
设的半径为r，则，
，即
解得，
的直径，
故选：D．
连接根据垂径定理和勾股定理求解．
此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握定理是解本题的关键．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查垂径定理和勾股定理．
连接OA，根据垂径定理可知，在中，利用勾股定理求出OM，即可求得答案．
【解答】
解：
连接OA，
为的直径，且，
，
在中，由勾股定理可得：
，
，
故选B．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
此题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握定理是解本题的关键．
连接OA，由垂径定理得到M为AB中点，求出AM的长，在直角三角形AOM中，利用勾股定理求出OM的长，即可解答．
【解答】
解：连接OA．
直径，，，
，，
在中，，，
根据勾股定理得：，
则，
故选：B．
5.【答案】B
【解析】解：直径是弦，A正确，不符合题意；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，B错误，符合题意；
弦的垂直平分线一定经过圆心，C正确，不符合题意；
平分弧的半径垂直于弧所对的弦，D正确，不符合题意；
故选：B．
根据圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，圆的有关概念判断即可．
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，掌握圆的有关概念、垂径定理是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
此题主要考查了菱形的判定以及垂径定理、等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定方法是解题关键．
先证明是等边三角形，得出，利用对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，进而求出即可．
【解答】
解：理由如下：
在中，AB是弦，半径，
，
，
是等边三角形，
，
，，，
四边形OACB为菱形，
故选B．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查垂径定理，由，利用垂径定理得到M为CD的中点，点B为劣弧的中点，点A为优弧的中点，可得出A，B，C选项成立，而OM不一定等于BM，得出选项D不成立．
【解答】
解：是的直径，弦，垂足为M，
点M为CD的中点，即，选项A成立；
点B为劣弧?的中点，即，选项B成立；
点A为优弧的中点，即，选项C成立；
而OM与BM不一定相等，选项D不成立．
故选D．
8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查垂径定理，解题的关键是明确垂径定理的内容，利用垂径定理解答问题．
根据的半径为13，弦AB的长度是24，，可以求得AN的长，从而可以求得ON的长．
【解答】
解：由题意可得，
，，，
，
，
故选A．
9.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查的是垂径定理，勾股定理的有关知识，根据AB是的直径，，得到，根据得到OE的值，然后利用勾股定理求出CE，进而求出CD．
【解答】
解：是的直径，，
，
：：3，
，
在中，，
，
则，
故选D．
10.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理以及含30度的直角三角形的性质．
作于H，连结OC，如图，根据垂径定理由得到，再利用，可计算出半径，则，接着在中根据含30度的直角三角形的性质计算出，然后在中利用勾股定理计算出，所以．
【解答】
解：作于H，连结OC，如图，
，
，
，，
，
，
，
在中，
，
，
，
在中，
，，
，
．
故选C．
11.【答案】
【解析】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是．
故答案为：．
根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分线”．
12.【答案】?
【解析】
【分析】
本题考查的是垂径定理、勾股定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．连接OB，根据垂径定理求出BC，根据勾股定理计算求出OC，根据勾股定理求出OD，求出点D到AB的距离的最小值．
【解答】
解：连接OB，
，
，
由勾股定理得，，
当时，点D到AB的距离的最小，
由勾股定理得，，
点D到AB的距离的最小值为，
故答案为：；．
13.【答案】7或1
【解析】解：分两种情况考虑：
当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，
过O作，交AB于点F，交CD于点E，连接OA，OC，
，
，
、E分别为AB、CD的中点，
，，
在中，
，，
，
在中，，，
，
；
当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理可得，
综上，弦AB与CD的距离为7或1．
故答案为：7或1．
分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，过O作，交CD于点E，交AB于点F，连接OA，OC，由，得到，利用垂径定理得到E与F分别为CD与AB的中点，在直角三角形AOF中，利用勾股定理求出OF的长，在三角形COE中，利用勾股定理求出OE的长，由即可求出EF的长；当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理由求出EF的长即可．
本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
14.【答案】2或14
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解．分两种情况进行讨论：弦AB和CD在圆心同侧；弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．
【解答】
解：当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，
，，
，，
，
，，
；
当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，
，，
，，
，
，，
．
与CD之间的距离为14cm或2cm．
故答案为2或14．
15.【答案】解：如图所示，点C即为所求．
这位同学确定点C所用方法的依据是：垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧．
【解析】本题主要考查作图应用与设计作图，解题的关键是熟练掌握垂径定理及线段中垂线的尺规作图．
连接AB，作弦AB的垂直平分线即可得；
根据垂径定理可得．
16.【答案】
【解析】解：作于H，连结OC，如图，
，
，
，，
，
，
，
在中，，
，
，
在中，，，
，
．
故答案为：
作于H，连结OC，如图，根据垂径定理由得到，再利用，可计算出半径，则，接着在中根据含30度的直角三角形的性质计算出，然后在中利用勾股定理计算出，所以．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理以及含30度的直角三角形的性质．
17.【答案】
【解析】解：，，
．
，
，，
，
，
．
故答案为：．
先根据圆周角定理求出的度数，再由可知，，由直角三角形的性质求出BC的长，根据勾股定理求出CE的长，进而可得出结论．
本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
第2页，共2页
第1页，共1页垂径定理的应用
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为
A.
8cm
B.
10cm
C.
16cm
D.
20cm
如图是一个隧道的横截面，它的形状是以O为圆心的圆的一部分，，直线MO交圆于E，，则圆的半径为
A.
4
B.
3
C.
D.
九章算术作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的几何原本并称现代数学的两大源泉．在九章算术中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道尺尺寸，则该圆材的直径为
A.
13
B.
24
C.
26
D.
28
九章算术是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其大意为：“如图，CD为的直径，弦于点E，寸，寸，求直径CD的长．”则CD的长是?
?
A.
13寸
B.
20寸
C.
26寸
D.
28寸
九章算术总共收集了246个数学问题，这些算法要比欧洲同类算法早1500多年，对中国及世界数学发展产生过重要影响．在九章算术中有很多名题，下面就是其中的一道．原文：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”翻译：如图，CD为的直径，弦于点寸，寸，则可得直径CD的长为
A.
13寸
B.
26寸
C.
18寸
D.
24寸
往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为?
???
A.
B.
C.
D.
将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径图中小圆的直径是，水的最大深度是，则杯底有水面AB的宽度是．
A.
6
B.
C.
D.
小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为了到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，不能选择的应该是
A.
第块
B.
第块
C.
第块
D.
第块
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
往直径为的圆柱形油槽内注入一些油以后，截面如图所示若油面宽，则油的最大深度为________．
如图，小强为了帮助爸爸确定残破轮子的直径，先在轮子上画出一个弓形如图中阴影部分，然后量得弦AB的长为4cm，这个弓形的高为1cm，则这个轮子的直径长为______cm．
“圆材埋壁”是我国古代数学名著九章算术中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言就是：如图，CD为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，那么直径CD的长为________寸．
“圆材埋壁”是我国古代数学名著九章算术中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言就是：如图，CD为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，那么直径CD的长为________寸．
某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽AB为24m，AB离地面的高度，拱顶最高处C离地面的高度CD为18m，在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等都等于17m，则______
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
连接OB，过点O作于点D，交于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而可得出CD的长．
【解答】
解：连接OB，过点O作于点D，交于点C，如图所示：
，
，
的直径为52cm，
，
在中，，
，
故选：C．
2.【答案】C
【解析】解：连接OC，
是的弦CD的中点，
根据垂径定理：，
设圆的半径是x，
在中，有，
即：，
解得：，
所以圆的半径长是．
故选：C．
因为M是的弦CD的中点，根据垂径定理，，在中，有，进而可求得半径OC．
此题主要考查了垂径定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
3.【答案】C
【解析】解：设圆心为O，过O作于C，交于D，连接OA，如图所示：
，
设的半径为r寸，
在中，，，
则有，
解得，
的直径为26寸，
故选：C．
设的半径为r寸．在中，，，，则有，解方程即可．
本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
此题考查了垂径定理的应用，注意利用圆的半径，弦的一半及弦心距所构成的直角三角形来解决实际问题，做此类题时要多观察，多分析，才能发现线段之间的联系．
连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DE垂直AB得到点E为AB的中点，由寸可求出AE的长，再设出圆的半径OA为x寸，表示出OE，根据勾股定理建立关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为圆的半径，把求出的半径代入即可得到答案．
【解答】
解：连接OA，
，且寸，
寸，
设圆O的半径OA的长为x寸，则寸，
寸，
寸，
在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：
，化简得：，
即，
解得：
所以寸．
故选C．
5.【答案】B
【解析】解：连接OA，，
由垂径定理知，点E是AB的中点，，，
设半径为r，由勾股定理得，，
即，
解得：，
所以，
即圆的直径为26寸．
故选：B．
根据垂径定理得出AE的长，再利用勾股定理求解．
本题利用了垂径定理和勾股定理，正确构造直角三角形求出半径长是解题关键．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了垂径定理、勾股定理等知识；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
连接OB，过点O作于点D，交于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而可得出CD的长．
【解答】
解：连接OB，过点O作于点D，交于点C，如图所示：
，
，
的直径为52cm，
，
在中，，
，
故选C．
7.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查垂径定理的应用及勾股定理．
作于C，交小圆于D，则，由垂径定理可知，利用勾股定理求出AC的值即可．
【解答】
解：作于C，交小圆于D，则，，
，，
，
，
．
故选C．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了垂径定理的应用有关知识，要确定圆的大小需知道其半径，根据垂径定理知第块均可确定半径的大小．
【解答】
解：第块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长，
第块有三点在圆上，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选B．
9.【答案】200mm
【解析】
【分析】
本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．连接OB，过点O作于点D，交于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而可得出CD的长．?
【解答】
解：连接OB，过点O作于点D，交于点C，
，
，
的直径为650mm，
，
在中，，
．
故答案为200mm．
10.【答案】5
【解析】
【分析】
本题考查了垂径定理的应用，这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
由垂径定理，可得出BD的长；连接OB，在中，可用半径OB表示出OD的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长．
【解答】
解：连接OB；
中，，
根据勾股定理得：
，即：
，
解得：；
所以轮子的直径为5cm．
故答案为：5．
11.【答案】26
【解析】
【分析】
本题是考查垂径定理和勾股定理的一道跨学科试题解决本题的关键是理解题意，把文言文翻译成数学语言，然后画出几何图形，再利用数学知识来解决．根据垂径定理得到AE的长，在中，由勾股定理，代入数据即可求得．
【解答】
解：如图，连接OA，
，
，
，
，
在中，，
，
，
．
故答案为26．
12.【答案】26
【解析】解：连接OA，设，则，
，寸，
寸，
在中，
，即，
解得寸．
寸．
故答案为26．
连接OA，设，则，再根据垂径定理求出AE的长，在中根据勾股定理求出r的值，进而得出结论．
本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
13.【答案】10
【解析】解：设CD于AB交于G，与MN交于H，
，，，，
，，，
设圆拱的半径为r，
在中，，
，
解得，
，
，
在中，，
，
解得，
，
，
故答案为10．
根据题意和垂径定理得到，，，根据勾股定理求得半径，进而利用勾股定理求得MH，即可求得MN．
本题考查了垂径定理的应用，作出辅助线构建直角三角形，利用勾股定理求解是解题的关键．
第2页，共2页
第1页，共1页点与圆的位置关系
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
在矩形ABCD中，，，点P在边AB上，且，如果是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是?
???
A.
点B，C均在外
B.
点B在外，点C在内
C.
点B在内，点C在外
D.
点B，C均在内
已知半径为3，A为线段PO的中点，则当时，点A与的位置关系为
A.
点在圆内
B.
点在圆上
C.
点在圆外
D.
不能确定
已知的半径为，点P和圆心O之间的距离为d，且方程没有实数根．则点P与的位置关系是
A.
在圆上
B.
在圆内
C.
在圆外
D.
不能确定
若的直径为，有一点点A与圆心O不重合在内，则线段OA长的取值范围是?
?
A.
B.
C.
D.
如图，在网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度选取9个格点．如果以点A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为
A.
B.
C.
D.
矩形ABCD中，，，点P在边AB上，且BP：：1，如果是以点P为圆心，PD长为半径的圆，那么下列结论正确的是
A.
点B、C均在外
B.
点B在外，点C在内
C.
点B在内，点C在外
D.
点B、C均在内
以坐标原点为圆心，以2个单位为半径画，下面的点中，在上的是
A.
B.
C.
D.
已知，以O为圆心，r为半径作若点A在内，则r的值可以是
A.
3cm
B.
4cm
C.
5cm
D.
6cm
在同一平面上，外有一定点P到圆上的距离最长为10，最短为2，则的半径是
A.
5
B.
3
C.
6
D.
4
已知的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若关于x的方程有实根，则点
A.
在的内部
B.
在的外部
C.
在上
D.
在上或的内部
二、填空题（本大题共9小题，共27.0分）
如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA上靠近点A的三等分点，连结OQ，则线段OQ的最大值是________．
在中，，，，若以点C为圆心，AC为半径作圆，则AB边的中点E与的位置关系为??????????．
若的半径为3，点P为平面内一点，，那么点P在______填“上”、“内部”或“外部”
在中，已知，，P是BC的中点，以点P为圆心，3cm为半径画，则点A与的位置关系是______．
平面直角坐标系中，以原点O为圆心，2为半径作，则点与的位置关系为______．
已知的半径是5，点P与外，则线段OP的长得取值范围是??????????．
如图，已知，为平面直角坐标系内两点，以点B圆心的经过原点O，轴于点C，点D为上一动点，E为AD的中点，则线段CE长度的最大值为____．
若圆O的半径是5，圆心是原点，点P的坐标是，则点P与的位置关系______
已知的半径为5，若，则点P与的位置关系是：点P在________．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了点与圆的位置关系的判定，根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小关系作出判断即可．
根据和AB的长度求得AP，PB的长，然后利用勾股定理求得圆P的半径PD的长，根据点B、C到P点的距离判断点B，C与圆P的位置关系即可．
【解答】
解：，点P在边AB上，且，
，，
，
，
，，
点B在圆P内、点C在圆P外，
故选C．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了对点与圆的位置关系的判断．设点到圆心的距离为d，则当时，点在圆上；当时，点在圆外；当时，点在圆内．
根据，A为线段PO的中点，则，即可得点A与的位置关系为：点在圆上．
【解答】
解：，
半径，
点A与的位置关系为：点在圆上．
故选：B．
3.【答案】C
【解析】解：方程没有实数根，
，
．
的半径为，，
点P在圆外．
故选：C．
先根据方程求得d的取值范围，再根据点与圆的位置关系即可得出结论．
本题主要考查的是点与圆的位置关系及根的判别式，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了点与圆的位置关系，判断点与圆的位置关系，也就是比较点与圆心的距离和半径的大小关系?
要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，设点与圆心的距离d，则时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内．
【解答】
?解：的直径为20cm，
的半径为10cm，
点A在内，
线段OA的取值范围是．
故选D．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查点由圆的位置关系、勾股定理等知识，解题的关键是正确画出图形，理解题意，属于中考常考题型，
如图求出AD、AB、AE、AF即可解决问题．
【解答】
解：如图，
，，，
，
时，以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，
故选：B．
6.【答案】A
【解析】解：如图，
四边形ABCD为矩形，
，
，BP：：1，
，，
在中，，，
，
在中，，
，，
点B，点C均在外，
故选：A．
先求出AP的长，然后利用勾股定理求得圆P的半径PD的长，根据点B、C到P点的距离判断点B、C与圆的位置关系即可．
本题考查了矩形的性质，点与圆的位置关系的判定，根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小关系作出判断即可．
7.【答案】B
【解析】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：B．
要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；本题可由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d，则时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内．
本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．
8.【答案】D
【解析】解：，点A在内，
，即．
故选：D．
根据点与圆的位置关系的判定方法得到，然后对各选项进行判断．
本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
9.【答案】D
【解析】解：如图，PB的长是P到的最长距离，PA的长是P到的最短距离，
圆外一点P到的最长距离为10，最短距离为2，
圆的直径是，
圆的半径是4，．
故选：D．
画出图形，根据图形和题意得出PB的长是P到的最长距离，PA的长是P到的最短距离，求出圆的直径，即可求出圆的半径．
本题考查了点和圆的位置关系，注意：作直线为圆心，交于A、B两点，则得出P到的最长距离是PB长，最短距离是PA的长．
10.【答案】D
【解析】解：关于x的方程有实根，
根的判别式，
解得，
点在圆内或在圆上，
故选：D．
首先根据关于x的方程有实数根求得d的取值范围，然后利用d与半径的大小关系判断点与圆的位置关系．
本题考查了对点与圆的位置关系的判断．设点到圆心的距离为d，则当时，点在圆上；当时，点在圆外；当时，点在圆内．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了三角形中位线．
连接BP，如图，先解方程得，，再判断OQ为的中位线得到，利用点与圆的位置关系，BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到位置时，BP最大，然后计算出即可得到线段OQ的最大值．
【解答】
解：连接BP，如图，
当时，，解得，，则，，
是线段PA的中点，
为的中位线，
，
当BP最大时，OQ最大，
而BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到位置时，BP最大，
，
，
线段OQ的最大值是．
故答案为：．
12.【答案】点E在外
【解析】
【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，连接CE，利用勾股定理可求解AB，由E为AB的中点得，即可判断点E在外．
【解答】
解：如图，连接CE．，，
为AB的中点，，
点E在外．
13.【答案】内部
【解析】解：的半径，
，
点P在内部，
故答案为：内部．
根据点和圆的位置关系得出即可．
本题考查了点和圆的位置关系得应用，注意：已知的半径是r，点P到圆心O的距离是d，当时，点在圆外，当时，点在圆上，当时，点在圆内．
14.【答案】点A在内
【解析】解：如图，连接AP，
，，P是BC的中点，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
点A在内．
故答案为：点A在内．
连接AP，求出，求出BP，根据勾股定理求出AP，和半径比较即可．
本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，点和圆的位置关系的应用，关键是求出AP的长．
15.【答案】圆外
【解析】解：点
，
以原点O为圆心，2为半径作，
，
点与的位置关系为：圆外．
故答案为：圆外．
直接利用点与圆的位置关系进而判断得出答案．
此题主要考查了点与圆的位置关系，正确把握判定方法是解题关键．
16.【答案】
【解析】略
17.【答案】
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查坐标与图形的性质，三角形的中位线定理，三角形的三边关系等知识，较难．
如图，作点A关于点C的对称点，连接，BD，因为，，所以，求出的最大值即可解决问题．
【解答】
解：如图，作点A关于点C的对称点，连接，BD，，
，，
，，，
，
，，
，
，
，
的最大值为，
的最大值为，
故答案为．
18.【答案】点P在圆O上
【解析】解：点P的坐标是，
，
等于圆O的半径，
点P在圆O上．
故答案为点P在圆O上．
先利用两点间的距离公式计算出OP的长，然后根据点与圆的位置关系判断点P与的位置关系．
本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
19.【答案】内
【解析】
【分析】
本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，当时，点P在内，当时，点P在上，当时，点P在外．根据的半径为5，若判断即可．
【解答】
解：的半径为5，，
又，
点P在内．
故答案为：内．
第2页，共2页
第1页，共1页确定圆的条件
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为了到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，不能选择的应该是
A.
第块
B.
第块
C.
第块
D.
第块
下面有关圆的一些结论，其中错误的结论有
任意三点确定一个圆
相等的圆心角所对的弧相等
平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等
任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
如图，点A、B、C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四个点中的任意3个，能画的圆有
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
下列说法错误的是
A.
等弧所对的圆心角相等
B.
弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数
C.
经过三点可以作一个圆
D.
三角形的外心到三角形各顶点距离相等
小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是
A.
B.
C.
D.
均不可能
下列命题中，正确的是
A.
平面上三个点确定一个圆
B.
等弧所对的圆心角相等
C.
平分弦的直径垂直于这条弦
D.
同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等
如图，在正方形网格中，一条圆弧过点A，B，C，则这条圆弧所在圆的圆心是???????
A.
点P
B.
点Q
C.
点R
D.
点M
有下列结论：三点确定一个圆；平分弦的直径垂直于弦；三角形的外心到三角形各边的距离相等；从圆外一点可以引圆的两条切线，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角其中正确地个数为
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
如图，已知：在等腰中，，BE平分，交AC于F，且于点E，BC边上的中线AD交BE于G，连接则下列结论正确的是
；；；；．
A.
B.
C.
D.
有下列说法：半圆是弧；半径相等的圆是等圆；过圆心的线段是直径；长度相等的弧是等弧；三点确定一个圆．其中错误的是
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是______．
如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C，其中点B的坐标为，则该圆弧所在的圆的圆心坐标为______．
如图，点A，B，C均在的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为______．
下列说法：直径是弦；经过三个点一定可以作圆；三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；半径相等的两个半圆是等弧．其中错误的是______填序号
下列说法：三点确定一个圆；三角形有且只有一个外接圆；三角形的外心到三角形三边的距离相等；圆有且只有一个内接三角形．其中正确的是_____________填序号．
在平面直角坐标系中有A，B，C三点，，，现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为______．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第块均可确定半径的大小．
【解答】
解：第块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
第块有三点在圆上，可作出两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长，
故选：B．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查确定圆的条件、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系，三角形的外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
根据相关性质对各项一一判断即可
【解答】
解：不在同一条直线上的三点确定一个圆，故错误，符合题意；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误，符合题意；
平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故错误，符合题意；
三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等，故正确，不符合题意；
任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，故正确，不符合题意；
错误的有3个，
故选：C．
3.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查的是确定圆的条件，掌握不在同一直线上的三点确定一个圆是解题的关键．根据不在同一直线上的三点确定一个圆解答．
【解答】解：?点A、B、C在同一条直线上，
经过点A、B、D或点A、C、D或点B、C、D分别能画一个圆，
故选C．
4.【答案】C
【解析】解：A等弧所对的圆心角相等，故不符合题意；
B、弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数，故不符合题意；
C、经过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，故符合题意；
D、三角形的外心到三角形各顶点距离相等，故不符合题意；
故选：C．
根据三角形的外心的性质，确定圆的条件，圆心角、弧、弦的关系判定即可．
本题考查了三角形的外接圆与外心，确定圆的条件，圆心角、弧、弦的关系，正确的理解题意是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．
要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第块可确定半径的大小．
【解答】
解：第块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选A．
6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了定义与命题、确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系、垂径定理等知识，难度不大，熟记有关性质及定理是解答本类题目的关键．利用确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系、垂径定理等知识分别判断后即可确定答案．
【解答】
解：平面上不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误；
B.同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，故错误；
C.平分弦不是直径的直径垂直于弦，故错误；
D.同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，故正确，
故选D．
7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查垂径定理，确定圆的条件，关键是掌握弦的垂直平分线经过圆心．
作AB和BC的垂直平分线，它们相交于Q点，即可解答．
【解答】
解：如图：
连接BC，作AB和BC的垂直平分线，它们相交于Q点．
故选B．
8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查了确定圆的条件，垂径定理、三角形的外心以及切线长定理．根据确定圆的条件进行解答即可；根据垂径定理即可得出结论；根据三角形外心的性质可得出结论；根据切线长定理即可得出结论．
【解答】
解：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故本小题错误；
平分弦的直径垂直于弦非直径，故本小题错误；
三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故本小题错误；
从圆外一点可以引圆的两条切线，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角是正确的．
正确的个数是1个?
故选A．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查对三角形的外角性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
【解答】
解：?在等腰中，，BE平分，AD是等腰的BC边上的中线，
，，
是等腰三角形，
?，故正确，
?，
，
，
，故正确；
，
点A，B，C，E四点共圆，
，，
，
，
取BF的中点H，连接AH，
，
，
，
，
，
，故正确，
，
，
故错误；
过F作于K，?
，，
，
，
平分交AC于F，
，
，
在与中，，
，
，故正确；
故选B．
10.【答案】D
【解析】
【分析】
此题主要考查了确定圆的条件以及圆的相关定义，熟练掌握其定义是解题关键．利用等弧和弦的概念以及弧，弦与圆心角之间的关系进行判断．
【解答】
解：半圆也是弧，故此选项正确，不符合题意；
由等圆的定义可知，半径相等的两个圆面积相等、周长相等，所以为等圆，故此选项正确，不符合题意；
过圆心的线段是直径，根据圆的直径的含义可知：通过圆心的线段，因为两端不一定在圆上，所以不一定是这个圆的直径，故此选项错误，符合题意；
长度相等的弧不一定是等弧，因为等弧就是能够重合的两个弧，而长度相等的弧不一定是等弧，所以等弧一定是同圆或等圆中的弧，故此选项错误，符合题意；
不在同一直线上的三点确定一个圆，故此选项错误，符合题意；
故选D．
11.【答案】
【解析】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是．
故答案为：．
根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分线”．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了根据垂径定理的推论确定圆心，垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心，最后写出坐标属基础题．
【解答】
解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
连接AB，BC，作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，
则圆心是．
故答案为．
13.【答案】5
【解析】解：如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，
以O为圆心、OA为半径作圆，则即为过A，B，C三点的外接圆，
由图可知，还经过点D、E、F、G、H这5个格点，
故答案为：5．
根据圆的确定先做出过A，B，C三点的外接圆，从而得出答案．
本题主要考查圆的确定，熟练掌握圆上各点到圆心的距离相等得出其外接圆是解题的关键．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了圆的认识，三角形的外接圆与外心，确定圆的条件，是基础知识．掌握定义是解题的关键．
根据直径与弦的定义判断；根据确定圆的条件判断；根据三角形的外心的性质判断；根据半圆与等弧的定义判断．
【解答】
解：直径是圆中最长的弦，正确；
经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆，错误；
三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，正确；
半径相等的两个半圆是等弧，正确．
其中正确的有，错误的为．
故答案为．
15.【答案】
【解析】
【分析】
正确记忆理解定理是解决本题的关键，此题应逐项分析，更要牢记“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，本题可解．
【解答】
解：正确的是不在同一直线上的三个点确定一个圆，故错误；
三角形有且只有一个外接圆，正确；
三角形的外心是边的垂直平分线的交点，因而外心到三个顶点的距离相等，故错误；
圆有无数个内接三角形，故错误．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】
【解答】
解：，，不在同一直线上，
经过点A，B，C可以确定一个圆，
该圆圆心必在线段AB的垂直平分线上，
设圆心坐标为，
则点M在线段BC的垂直平分线上，
，
由勾股定理得：，
，
，
圆心坐标为
故答案为：．
【分析】
本题考查了确定圆的条件，明确不在同一直线上的三点确定一个圆及圆心在这三条线段的垂直平分线的交点上，是解题的关键．根据不在同一直线上的三点能确定一个圆，该圆圆心在三点中任意两点连线的垂直平分线上，据此及勾股定理可列式求解．
第2页，共2页
第1页，共1页三角形的外接圆与外心
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
已知点O是的外心，作正方形OCDE，下列说法：点O是的外心；点O是的外心；点O是的外心；点O是的外心．其中一定不成立的说法是
A.
B.
C.
D.
如图，O是的外心，，，，垂足分别为D，E，下列结论中，不一定成立的是
A.
B.
C.
D.
有一题目：“已知：点O为的外心，，求”嘉嘉的解答为：画以及它的外接圆O，连接OB，如图，由，得而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是
A.
淇淇说的对，且的另一个值是
B.
淇淇说的不对，就得
C.
嘉嘉求的结果不对，应得
D.
两人都不对，应有3个不同值
如图，已知是的外接圆，连接AO，若，则的度数为
A.
B.
C.
D.
若一个三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形的外接圆的半径是
A.
1
B.
C.
D.
5
如图，外接圆的圆心坐标是
A.
B.
C.
D.
如图，是的内接三角形，若，则
A.
B.
C.
D.
如图，点C和点D在直线AB的同侧，，，则下列说法正确的是
A.
点A，点B，点C，点D在同一个圆上
B.
点C在的外接圆外
C.
点D在外接圆外
D.
以上说法都不对
下列四个命题中，正确的有
A.
圆的对称轴是直径
B.
半径相等的两个半圆是等弧
C.
三角形的外心到三角形各边的距离相等
D.
经过三个点一定可以作圆
如图，等边内接于，点D在上，，则的度数为
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是______．
直角三角形的两直角边长分别为8和6，则此三角形的外接圆半径是______．
如图，在中，，AD平分，当面积最大时，BD的长为__________．
将的正方形网格如图所示放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，若点C在第一象限内，且在正方形网格的格点上，若是钝角的外心，则C的坐标为______．
如图，的外接圆圆心的坐标是__________．
在中，两直角边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆的直径长为______．
如图，内接于，，，则的半径等于______．
已知的半径为3，是圆的内接三角形且，则的度数为______．
在中，，，则这个三角形的外接圆的半径是_______．
直角三角形的两条边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于??????????．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：连接OB、OD、OA，
为锐角三角形ABC的外心，
，
四边形OCDE为正方形，
，
，
，即O不是的外心，
，即O是的外心，
，即O是的外心，
，即O不是的外心，
故选：A．
根据三角形的外心得出，根据正方形的性质得出，求出，再逐个判断即可．
本题考查了正方形的性质和三角形的外心与外接圆，能熟记知识点的内容是解此题的关键，注意：三角形的外心到三个顶点的距离相等，正方形的四边都相等．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了三角形外接圆的圆心，即三条边垂直平分线的交点，
据此逐项判断即可．
【解答】
解：由题意可得：点O是三角形外接圆的圆心，即三条边垂直平分线的交点，由中垂线的性质可得：，OD、OF垂直平分AB、AC，所以，，
不能得出，
故选B．
3.【答案】A
【解析】解：如图所示：还应有另一个不同的值与互补．
故．
故选：A．
直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．
此题主要考查了三角形的外接圆，正确分类讨论是解题关键．
4.【答案】C
【解析】解：连接CO，
，
，
．
故选：C．
连接CO，根据圆周角定理可得，进而得出的度数．
此题主要考查了三角形外接圆与外心以及圆周角定理，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
5.【答案】C
【解析】解：三角形的三边长分别为3，4，5，
又，
这个三角形是直角三角形，
这个三角形的外接圆的直径的长就是斜边的长为5，
此三角形的外接圆半径是．
故选：C．
根据勾股定理的逆定理，可以判断这个三角形是直角三角形，斜边就是外接圆的直径，由此即可解决问题．
本题考查三角形的外接圆与外心、勾股定理等逆定理等知识，解题的关键是记住直角三角形的外心就是斜边中点，属于中考常考题型．
6.【答案】A
【解析】解：作线段BC的垂直平分线，作AB的垂直平分线，
两条直线相交于点D，
所以D的坐标为．
故选：A．
因为BC是线段，AB是正方形的对角线，所以作AB、BC的垂直平分线，找到交点D即可．
本题考查了线段的垂直平分线及三角形的外心．三角形三边的垂直平分线的交点是三角形的外心．解题的关键是找到三角形外接圆圆心的位置．
7.【答案】C
【解析】解：，
，
，
，
故选：C．
根据等腰三角形的性质和圆周角定理即可得到结论．
本题主要考查了三角形的外接圆和外心，圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半．解答该题时，还利用的等腰三角形的两个底角相等、三角形的内角和定理．
8.【答案】C
【解析】解：，，
，
点A，点B，点C，点D不在同一个圆上；故此选项不符合题意；
，
点C在的外接圆内，故此选项不符合题意；
，
点D在外接圆外，故此选项符合题意；
故选：C．
根据圆周角定理即可得到结论．
本题考查了三角形的外接圆与外心，点与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】略
10.【答案】D
【解析】解：连接CD，
是等边三角形，
，
，
，
，
故选：D．
根据等边三角形的性质和圆周角定理即可得到结论．
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，等边三角形的性质，掌握的识别图形是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：如图，圆半径为6，求AB长．
连接OA，OB，作于点C，
，
，，
，
，
故答案为：．
易得正三角形的中心角为，那么中心角的一半为，利用的正弦值可得正三角形边长的一半，乘以2即为正三角形的边长．
本题考查的是三角形的外接圆与外心，先利用垂径定理和相应的三角函数知识得到AC的值是解决本题的关键．
12.【答案】5
【解析】解：如图，，，
，
外接圆半径为5．
故答案为：5．
根据直角三角形外接圆的圆心是斜边的中点，由勾股定理求得斜边，即可得出答案．
本题考查了三角形的外接圆以及外心，注意：直角三角形的外心是斜边的中点．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了三角形面积最大的问题、相似三角形的性质和判定、三角形的外接圆、等腰三角形的判定和性质、一元二次方程的解法等知识，作三角形的外接圆是解题的关键．
先作的外接圆，确定的面积最大时点C的位置，从而得到，由已知条件，根据等腰三角形的性质和判定得到，，再由相似三角形的判定得到∽，进一步得到，最后设，列出方程解方程即可．
【解答】
?解：如图，作的外接圆，当点C运动到优弧的中点时，的面积最大，
，
，
，
平分，
，
，，
又，
∽，
，
，，
，
，
设，则，
，
得，
解得：，舍去，
故答案为．
14.【答案】或
【解析】解：如图，是钝角的外心，
，
为钝角三角形，
的坐标为或，
故答案为：或．
根据题意作出点C即可．
本题考查了三角形外接圆与外心，等腰三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了三角形外接圆的性质和两点之间的距离公式．解此类题目时要注意运用三角形的外接圆圆心到三角形三点的距离相等这一性质．
本题可先设圆心坐标为，再根据“三角形外接圆的圆心到三角形三顶点的距离相等”列出等式，化简即可得出圆心的坐标．
【解答】
解：设圆心坐标为；
依题意得，
，，
则有
即
解得：，，
即圆心坐标为，
故答案为．
16.【答案】10
【解析】解：如图，已知：，，
由勾股定理得：，
，
是的直径，
这个三角形的外接圆直径是10；
故答案为：10．
直角三角形外接圆的直径是斜边的长．
本题考查了三角形的外接圆与外心，知道直角三角形外接圆的直径是斜边的长是关键；外心是三边垂直平分线的交点，外心到三个顶点的距离相等．
17.【答案】
【解析】解：作直径BD，连接CD，
由圆周角定理得，，，
，
故答案为：．
作直径BD，连接CD，根据圆周角定理得到，，根据直角三角形的性质解答．
本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理及其推论是解题的关键．
18.【答案】或
【解析】解：当点C在优弧AB时，如图，
的半径为3，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
当点C在劣弧AB时，
，
综上所述，的度数为或，
故答案为：或．
当点C在优弧AB时，如图，由的半径为3，得到，，当点C在劣弧AB时，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰直角三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
19.【答案】4或5
【解析】
【分析】
本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆．这个三角形的外接圆直径是斜边长，有两种情况情况：斜边是BC，即外接圆直径；斜边是AC，利用勾股定理求出外接圆直径即可求出此题．
【解答】
解：根据题意得，
斜边是BC时，即外接圆直径是8，则半径为；
?斜边是AC时，即外接圆直径是，则半径为；
故答案为4或5．
20.【答案】4或5
【解析】解：由勾股定理可知：
直角三角形的斜边长为：8；
或直角三角形的斜边长为：．
因此这个三角形的外接圆半径为4或5．
直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点，那么半径为斜边的一半，分两种情况：为斜边长；和8为两条直角边长，由勾股定理易求得此直角三角形的斜边长，进而可求得外接圆的半径．
本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆．
第2页，共2页
第1页，共1页圆的相关概念
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
下列图中的四个角，为圆心角的是
A.
B.
C.
D.
下列说法中，不正确的是
A.
直径是最长的弦
B.
同圆中，所有的半径都相等
C.
圆既是轴对称图形又是中心对称图形
D.
长度相等的弧是等弧
体育课上，小悦在点O处进行了四次铅球试投，铅球分别落在图中的M，N，P，Q四个点处，则表示他最好成绩的点是
A.
M
B.
N
C.
P
D.
Q
下列说法正确的是
A.
直径是弦，弦是直径
B.
圆有无数条对称轴
C.
无论过圆内哪一点，都只能作一条直径
D.
度数相等的弧是等弧
下列说法中，不正确的是
A.
圆既是轴对称图形又是中心对称图形
B.
圆的每一条直径都是它的对称轴
C.
圆有无数条对称轴
D.
圆的对称中心是它的圆心
下列说法：
直径是弦；弦是直径；半径相等的两个半圆是等弧；长度相等的两条弧是等弧；半圆是弧，但弧不一定是半圆．
正确的说法有
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
如图，AB是的直径，半径，点D是弧ACB上的动点不与A、B、C重合，，，垂足分别是E、F，则EF长度
A.
变大
B.
变小
C.
不变
D.
无法确定
到圆心的距离不大于半径的点的集合是
A.
圆的外部
B.
圆的内部
C.
圆
D.
圆的内部和圆
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
如图：P是的直径BA延长线上一点，PD交于点C，且，如果，则______．
如图，在一张直径为20cm的半圆形纸片上，剪去一个最大的等腰直角三角形，剩余部分恰好组成一片树叶图案，则这片树叶的面积是______．
如图，在中，，若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长为??????????．
如图，点A，B，C在上，度，度，则______度．
我们发现：若AD是的中线，则有，请利用结论解决问题：如图，在矩形ABCD中，已知，，E是DC中点，点P在以AB为直径的半圆上运动，则的最小值是______．
如图，的半径为6，的面积为18，点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，P点有______个．
2300多年前，我国古代名著墨经中有这样的记载：“圆，一中同长也”因此，古代就知道把车轮设计成圆形，如果车轮是正方形，将边长为1米的正方形滚动一周，那么正方形中心的轨迹长为__________________
米．
如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为，的半径为2，AB为的直径，其中点A在第一象限，当时，点A的坐标为___________．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了圆的认识，掌握圆心角的概念是解决本题的关键．
根据圆心角的概念，圆心角的顶点必须为圆心，由此进行判断即可．
【解答】
解：圆心角的顶点必须在圆心上，
、B、C均不对，
D项中的是圆心角．
故选D．
2.【答案】D
【解析】解：A、直径是最长的弦，说法正确；
B、同圆中，所有的半径都相等，说法正确；
C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确；
D、长度相等的弧是等弧，说法错误；
故选：D．
根据弦的定义、中心对称图形和轴对称图形定义、等弧定义可得答案．
此题主要考查了圆的认识，关键是掌握能重合的弧叫等弧．
3.【答案】C
【解析】解：如图所示，，
表示他最好成绩的点是点P，
故选：C．
比较点到圆心的距离，即可得到，进而得出表示他最好成绩的点．
本题主要参考了圆的相关概念，比较点到圆心的距离即可得到答案．
4.【答案】B
【解析】解：A、直径是弦，但弦不一定是直径，故错误，不符合题意；
B、圆有无数条直径，故正确，符合题意；
C、过圆心有无数条直径，故错误，不符合题意；
D、完全重合的弧是等弧，故错误，不符合题意；
故选：B．
利用圆的有关性质分别判断后及可确定正确的选项．
考查了圆的认识、轴对称的性质及轴对称图形的知识，解题的关键是了解圆的有关定义、性质及定理，难度不大．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了圆的对称性，熟练掌握圆的有关概念和性质是解题的关键．
结合圆的基本知识，逐一判断．
【解答】
解：圆既是轴对称图形又是中心对称图形，正确；
B.圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴，故B错误；
C.圆有无数条对称轴，正确；
D.圆的对称中心是它的圆心，正确．
故选：B．
6.【答案】C
【解析】解：直径是弦，正确，符合题意；
弦不一定是直径，错误，不符合题意；
半径相等的两个半圆是等弧，正确，符合题意；
能够完全重合的两条弧是等弧，错误，不符合题意；
半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确，符合题意，
正确的有3个，
故选：C．
利用圆的有关定义及性质分别进行判断后即可确定正确的选项．
考查了圆的认识及圆的有关定义，解题的关键是了解圆的有关概念，难度不大．
7.【答案】C
【解析】解：连接OD，如图，
，，，
，
四边形DEOF为矩形，
．
故选：C．
连接OD，如图，证明四边形DEOF为矩形得到，于是可判断EF的长为定值．
本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．
8.【答案】D
【解析】解：根据点和圆的位置关系，知圆的内部是到圆心的距离小于的所有点的集合；
圆是到圆心的距离等于半径的所有点的集合．
所以与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是圆的内部包括边界．
故选：D．
根据圆是到定点距离等于定长的点的集合，以及点和圆的位置关系即可解决．
此题考查圆的认识问题，理解圆上的点、圆内的点和圆外的点所满足的条件．
9.【答案】
【解析】解：连结OC，如图，
，
而，
，
，
，
而，
，
．
故答案为．
连结OC，由，得到，根据等腰三角形的性质得，再根据三角形外角性质得，由于，然后利用计算即可．
本题考查了圆的认识：掌握圆的定义和与圆有关的概念弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等也考查了等腰三角形的性质和三角形外角性质．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式：是解题的关键．
根据圆的性质得到当点C为半圆的中点时，为等腰直角三角形，且面积最大，根据等腰直角三角形的面积公式、圆的面积公式计算即可．
【解答】
解：当点C为半圆的中点时，为等腰直角三角形，且面积最大，
，
，
这片树叶的面积，
故答案为：．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是勾股定理，直角三角形的性质等有关知识，属于基础题．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出CD，然后用勾股定理解答即可．
【解答】
解：连接CD，
在中，
，D为AB的中点，
，
，
．
故答案为．
12.【答案】60
【解析】解：如图，连接OA，
，
，
又
，
，
，
故答案为：60．
连接OA，根据等腰三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质解答即可．
本题考查的等腰三角形的性质的运用，掌握圆的半径相等、等腰三角形的性质是解题的关键．
13.【答案】68
【解析】
【分析】
本题考查了点与圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三边关系，利用三角形三边关系找出PE的最小值是解题的关键．
设点O为AB的中点，H为CE的中点，连接HO交半圆于点P，此时PH取最小值，根据矩形的性质得到，，求得过H作于G，根据矩形的性质得到，，于是得到结论．
【解答】
解：设点O为AB的中点，H为CE的中点，
连接HO交半圆于点P，此时PH取最小值，
，四边形ABCD为矩形，
，，
，
过H作于G，
，，
，
，
的最小值，
故答案为：68．
14.【答案】4
【解析】
【分析】
本题考查的是圆，三角形的面积，勾股定理有关知识，过点P最长的弦是12，根据已知条件，的面积为18，可以求出，根据三角形面积可得，从而可知OP的长有两个整数：5，6，且是P在A或B点时，每一个值都有两个点P，所以一共有4个．
【解答】
解：过O作于C，则，
设，，
是的一条弦，的半径为6，点O、A、B组成三角形，
，
的面积为18，
则，
，
解得或舍，
，
，
点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，或6，P点有4个．
故答案为4．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了圆是周长的计算，能分析清楚题意是解答的关键．如果车轮是正方形，将边长为1米的正方形滚动一周，那么正方形中心的轨迹长就是以正方形对角线为半径的圆的周长，以此计算即可．
【解答】
解：如果车轮是正方形，将边长为1米的正方形滚动一周，那么正方形中心的轨迹长就是以正方形对角线为半径的圆的周长，
则：，
所以?，
所以正方形中心的轨迹长为：．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了坐标与图形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键过A作于C，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】
解：过A作于C，
，
点M的坐标为，
，
的半径为2，
，，
当点C在M左边时，
，
，
，
解得：，
此时，舍去，
当点C在M右边时
，
，
解得：，
，
点A的坐标为，
故答案为
第2页，共2页
第1页，共1页圆心角、弧、弦的关系
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
如图，已知AB是的直径，，那么
A.
B.
C.
D.
下列说法正确的是
A.
相等的圆心角所对的弧相等
B.
在同圆中，等弧所对的圆心角相等
C.
在同圆中，相等的弦所对的弧相等
D.
相等的弦所对的弧相等
在中，如果，那么弦AB与弦CD之间的关系是?
???
A.
B.
C.
D.
无法确定
如图，四边形ABCD内接于，AC平分，则下列结论正确的是????
A.
B.
C.
D.
如图，中，弦BC和弦ED所对的圆心角分别是和已知，，则弦BC的弦心距等于
A.
B.
C.
4
D.
3
下列说法中，正确的是
A.
等弦所对的弧相等
B.
弦相等，所对的圆心角相等
C.
圆心角相等，所对的弦相等
D.
在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等
如图，已知的半径为1，按如下步骤作图：
以上的点A为圆心，1为半径画弧交于点B；
依次在上取点C和D，使得；
分别以点A和D为圆心，AC长为半径画弧交于点E；
以点A为圆心，OE长为半径画弧交于点F．
则以下说法不正确的是
A.
B.
C.
D.
如图，四边形ABCD的外接圆为，，，，则的度数为
A.
B.
C.
D.
如图，AB是的弦，半径于点D，下列判断中错误的是
A.
B.
C.
D.
如图，的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于，那么圆心O到弦AB的距离等于
A.
1
B.
C.
2
D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段弧所在圆的圆心，，点C是的中点，点D是AB的中点，且则这段弯路所在圆的半径为________m．
如图，在半径为的中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且，则OP的长为______．
如图，CD为的直径，弦，垂足为E，，，，则弦AF的长度为______．
如图，AB是的直径，，，则_________．
如图，A是半圆MN的三等分点，B是的中点，P是直径MN上一动点，O的半径为1，则的最小值为??????????．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：，
故选：B．
根据圆心角与弦的关系可求得的度数，从而即可求解．
本题主要考查圆心角、弧、弦的关系的掌握情况．
2.【答案】B
【解析】解：A、错误．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，本选项不符合题意．
B、正确．
C、错误．弦所对的弧有两个，不一定相等，本选项不符合题意．
D、错误．相等的弦所对的弧不一定相等．
故选：B．
根据圆心角，弧，弦之间的关系一一判断即可．
本题考查圆心角、弧、弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了弧、弦的关系，三角形的三边关系，熟练掌握弧、弦的关系，三角形的三边关系是解题的关键．
根据圆周角、弧、弦的关系，三角形的三边关系即可得到结论．
【解答】
解：取的中点E，连接AE，BE，
则，
，
，
，
，
．
故选C．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，
根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可．
【解答】
解：与的大小关系不确定，与AD不一定相等，故本选项错误；
B.平分，，，故本选项正确；
C.与的大小关系不确定，与不一定相等，故本选项错误；
D.与的大小关系不确定，故本选项错误．
故选B．
5.【答案】D
【解析】解：作于H，延长CA交圆A于点F，连结BF，如图，
，
而，
，
，
，
，
，
而，
为的中位线，
，
即弦BC的弦心距等于3．
故选：D．
作于H，延长CA交圆A于点F，连结BF，先利用同角的补角相等得到，再利用圆心角、弧、弦的关系得到，由，根据垂径定理得，易得AH为的中位线，然后根据三角形中位线性质得到．
本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，三角形中位线性质．
6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系有关知识，根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一分析．
【解答】
解：在一个圆中一条弦所对的弧有两条，等弦所对的弧不一定相等，故本选项错误；
B.在同圆或等圆中，弦相等所对的圆心角相等，故本选项错误；
C.在同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弦相等，故本选项错误；
D.在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，故本选项正确．
故选D．
7.【答案】D
【解析】解：如图所示，
以上的点A为圆心，1为半径画弧交于点B；
依次在上取点C和D，使得；
点A、B、C、D为圆的六等分点，
分别以点A和D为圆心，AC长为半径画弧交于点E；
，
以点A为圆心，OE长为半径画弧交于点F．
，
，
．
说法不正确的是D．
故选：D．
以上的点A为圆心，1为半径画弧交于点B；
依次在上取点C和D，使得；
分别以点A和D为圆心，AC长为半径画弧交于点E；
以点A为圆心，OE长为半径画弧交于点F．
根据作图过程即可得说法不正确的是．
本题考查了作图复杂作图、圆心角、弧、弦的关系、点与圆的位置关系，解决本题的关键是理解作图步骤．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
利用圆心角、弧、弦的关系得到，再利用圆周角定理得到，，然后根据三角形内角和计算的度数．
【解答】
解：，
，
，
，
．
故选：C．
9.【答案】A
【解析】解：是的弦，半径，
，，，B、C、D正确，不符合题意，
OD与DC不一定相等，A错误，符合题意，
故选：A．
根据垂径定理、圆心角、弧、弦的关系判断即可．
本题考查的是垂径定理、圆心角、弧、弦的关系，掌握在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等以及垂径定理是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：如图，
圆心角，，
是等腰三角形，
，
，，
．
故选：C．
由圆心角，可得是等腰三角形，又由，再利用含角的直角三角形的性质，可求得OC的长．
此题考查了含角的直角三角形的性质．注意根据题意作出图形是关键．
11.【答案】25
【解析】
【分析】
本题考查了垂径定理及勾股定理，全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质连接AC、BC，根据C是弧AB的中点，得到，从而得到，利用HL证明≌，得到，根据等腰三角形的三线合一的性质得到，证得点C、D、O共线，在中，根据勾股定理即可得到结论?
【解答】
解：连接OD、AC、BC，
是弧AB的中点，
，
，
，
，
在和中，
≌，
，
，
，
点C、D、O共线，
，
，
在中，
根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
故答案为25．
12.【答案】
【解析】【试题解析】
解：作于E，于F，连结OD、OB，
则，，
在中，，，
，
同理可得，
，，，
四边形OEPF为矩形，
，
四边形OEPF为正方形，
，
故答案为：．
作于E，于F，连结OD、OB，根据垂径定理得到，，根据勾股定理计算出，同理可得，证明四边形OEPF为正方形，于是得到．
本题考查的是垂径定理、勾股定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了圆周角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．
连接OA、OB，OB交AF于G，如图，利用垂径定理得到，设的半径为r，则，，根据勾股定理得到，解得，再利用垂径定理得到，，则，，然后解方程组求出AG，从而得到AF的长．
【解答】
解：连接OA、OB，OB交AF于G，如图，
，
，
设的半径为r，则，，
在中，，解得，
，
，，
在中，，
在中，，
解由组成的方程组得到，
．
故答案为．
14.【答案】75
【解析】
【分析】
此题考查了弧与圆心角的关系．注意在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等由?，根据弧与圆心角的关系，可得，继而求得答案．
【解答】
解：?，
，
．
故答案为75．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了轴对称最短路径问题，正确作出辅助线，根据“两点之间线段最短”可将的最小值转化为求直角三角形的斜边长首先根据题意作出如图所示辅助线，可知即为所求，根据圆心角与弧的关系可得，，进而推出，最后根据勾股定理即可求出结果．
【解答】
解：?如图，作A关于MN的对称点，
根据圆的对称性，得必在圆上，
连接交MN于点P，则此时的值最小，此时，
连接，OB，OA，，
，．
，．，
，即的最小值是．
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