北师大版八年级下册数学 1.2利用等腰直角三角形的性质求角度 练习（Word版 含解析）

利用等腰直角三角形的性质求角度
一、选择题
1、如图，Rt△ABC和Rt△DCE的斜边长相等，其中∠ACB=∠CED=90°，∠A=45°，∠CDE=30°，∠BCE=15°，连接DB，则∠EDB的度数为（　　）
A．10°
B．20°
C．7.5°
D．15°
2、如图，直线l∥m，△ABC是等腰直角三角形，若∠1=25°，则∠2的度数为（　　）
A．20°
B．25°
C．30°
D．35°
3、如图，在Rt△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D．E、F分别是CD、AD上的点，且CE=AF．如果∠AED=62°，那么∠DBF=（　　）
A．62°
B．38°
C．28°
D．26°
二、填空题
4、等腰直角三角板如图所示放置在直尺上，若∠ABE=30°，则∠AHC=
__________
．
5、如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y1=（x＞0）的图象与y2=（x＞0）的图象关于x轴对称，Rt△AOB的顶点A，B分别在y1=（x＞0）和y2=（x＞0）的图象上．若OB=AB，点B的纵坐标为-2，则点A的坐标为
__________
．
6、在△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，以AB为边作等腰直角三角形ABD，使∠BAD=90°，连接DC．则∠BDC的度数为__________．
三、解答题
7、如图，已知△ACE是等腰直角三角形，∠ACE=90°，B为AE上一点，△ABC经过旋转到达△EDC的位置，问：
（1）旋转中心是哪个点？旋转了多少度？
（2）若已知∠ACB=20°，求∠CDE、∠DEB的度数．
8、把两个直角边长均为6的等腰直角三角板ABC和EFG叠放在一起（如图①），使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合．现将三角板EFG绕O点顺时针旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°），四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）．
（1）探究：在上述旋转过程中，BH与CK的数量关系以及四边形CHGK的面积的变化情况（直接写出探究的结果，不必写探究及推理过程）；
（2）利用（1）中你得到的结论，解决下面问题：连接HK，在上述旋转过程中，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的？若存在，求出此时BH的长度；若不存在，说明理由．
9、如图1，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠ACB=90°，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．
（1）请在图1中，找出与AD相等的线段，并说明理由；
（2）求∠DCA的大小；
（3）若点M在DE上，如图2，且DC=DM，求证：ME=BD．
10、直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、点F．探究：如果折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的折叠后的图形．
11、如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB上一点，∠ACD=15°，点B、点E关于CD对称，连BE交CD于点H，交AC于点G，连DE交AC于点F．
（1）求∠ADF的度数；
（2）求证：AF=CG；
（3）若AD=，CD=，则BH=__________．
12、如图所示，∠C=90°，Rt△ABC中，∠A=30°，Rt△A′B′C中，∠A′=45°．点A’、B分别在线段AC、B′C上．将△A′B′C绕直角顶点C顺时针旋转一个锐角q时，边A′B′分别交AB、AC于P、Q，且△APQ为等腰三角形．求锐角q的度数．
13、已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且ED⊥FD．求证：S四边形EDFC=S△ABC．
试卷
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利用等腰直角三角形的性质求角度的答案和解析
一、选择题
1、答案：
D
试题分析：设AB、CD相交于点F，根据直角三角形两锐角互余求出∠BCD=45°，再根据等腰直角三角形的性质可得CF=BF=AB，CF⊥AB，再求出DF=BF，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可求出∠FDB，然后由∠EDB=∠FDB-∠CDE即可求出∠EDB的度数．
试题解析：如图，设AB、CD相交于点F，
∵∠CED=90°，∠CDE=30°，∠BCE=15°，
∴∠BCD=90°-30°-15°=45°，
∵∠ACB=90°，∠A=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴CF=BF=AB，CF⊥AB，
∵AB=CD，
∴DF=BF=AB，
∴∠BDF=（180°-90°）=45°，
∴∠BDE=∠BDF-∠CDE=45°-30°=15°．
故选D．
2、答案：
A
试题分析：首先根据等腰直角三角形的性质可得∠A=45°，再根据平行线的性质可得∠3=∠4=115°，然后根据三角形内角和可得∠5的度数，再根据对顶角相等可得答案．
试题解析：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=45°，
∵∠1=25°，∠ACB=90°，
∴∠3=90°+25°=115°，
∵l∥m，
∴∠3=∠4=115°，
∴∠5=180°-115°-45°=20°，
∴∠2=∠3=20°，
故选：A．
3、答案：
C
试题分析：主要考查：等腰三角形的三线合一，直角三角形的性质．注意：根据斜边和直角边对应相等可以证明△BDF≌△ADE．
试题解析：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD．
又∵∠BAC=90°，
∴BD=AD=CD．
又∵CE=AF，
∴DF=DE．
∴Rt△BDF≌Rt△ADE（SAS）．
∴∠DBF=∠DAE=90°-62°=28°．
故选C．
二、填空题
4、答案：
试题分析：先根据△ABC是等腰直角三角形得出∠ABC=45°，再由∠ABE=30°可求出∠CBE的度数，根据平行线的性质即可得出结论．
试题解析：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°．
∵∠ABE=30°，
∴∠CBE=45°+30°=75°．
∵直尺的两边互相平行，
∴∠AHC=∠CBE=75°．
故答案为：75°．
5、答案：
试题分析：利用等腰直角三角形的性质结合全等三角形的判定方法得出△OEB≌△BFA（AAS），由反比例函数y1=（x＞0）的图象与y2=（x＞0）的图象关于x轴对称，进而得出k1+k2=0，表示出A，B点坐标列方程即可求出结论．
试题解析：过点B作x轴的平行线EB，过点A作AF⊥EB的延长线于点F，
∵等腰Rt△OAB，∠OBA=90°，
∴∠OBE+∠ABF=90°，∠ABF+∠BAF=90°，
∴∠OBE=∠BAF，
在△OEB和△BFA中，
，
∴△OEB≌△BFA（AAS），
∴EO=BF，BE=AF=2，
∵设AD=y，则OE=BF=2-y，EF=2-y+2=4-y，
故A（4-y，y），B（2，y-2），
∵反比例函数y1=（x＞0）的图象与反比例函数y2=（x＞0）的图象关于x轴对称，
∴k1+k2=0，
即（4-y）y+2（y-2）=0，
解得：y1=3+（不合题意舍去），y2=3-，
则点A的纵坐标为：3-，
∵EF=4-y=1+，
∴A（1+，3-）．
故答案为：（1+，3-）．
6、答案：
试题分析：根据题意，画出示意图，如图①，所示，根据AB=AD，∠BAD=90°求出∠BDA=45°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠BDC的度数．同理可求图②∠BDC的度数．
试题解析：根据题意，画出示意图，有两种情况：如图①，图②所示，
在图①中，∵AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BDA=45°，
∵∠BDC=45°-∠ADC，AD=AC=AB，
∴△ADC为等腰三角形．
∴∠BDC=45°-[180°-（40°+90°）]÷2=20°；
在图②中，∠BDC=∠ADC-45°
=[180°-（90°-40°）]÷2-45°=20°．
故答案为20°．
三、解答题
7、答案：
试题分析：（1）根据旋转中心的定义以及旋转角的定义解答即可；
（2）由旋转的性质可知：∠CDE=∠ABC由此可得∠CDE的度数，再根据∠DEB=∠CED+∠CEB计算即可．
试题解析：（1）∵△ABC经过旋转到达△EDC的位置，
∴△ABC≌△EDC，
∴C是旋转中心，
∵AC=CE，
∴AC和CE之间的夹角为旋转角，
∵∠ACE=90°，
∴旋转了90度；
（2）∵△ACE是等腰直角三角形，∠ACE=90°，
∴∠A=∠CEB=45°，
∵∠ACB=20°，
∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB=115°，
∴∠CDE=∠ABC=115°，
∵∠DEC=∠A=45°，
∴∠DEB=∠CED+∠CEB=90°．
8、答案：
试题分析：（1）先由ASA证出△CGK≌△BGH，再根据全等三角形的性质得出BH=CK，根据全等得出四边形CKGH的面积等于三角形ACB面积一半；
（2）根据面积公式得出S△GHK=S四边形CKGH-S△CKH=x2-3x+9，根据△GKH的面积恰好等于△ABC面积的，代入得出方程，求出即可．
试题解析：（1）BH与CK的数量关系：BH=CK，理由是：
连接OC，由直角三角形斜边上中线性质得出OC=BG，
∵AC=BC，O为AB中点，∠ACB=90°，
∴∠B=∠ACG=45°，CO⊥AB，
∴∠CGB=90°=∠KGH，
∴都减去∠CGH得：∠BGH=∠CGK，
在△CGK和△BGH中
∵，
∴△CGK≌△BGH（ASA），
∴CK=BH，即BH=CK；
四边形CHGK的面积的变化情况：四边形CHGK的面积不变，始终等于四边形CQGZ的面积，即等于△ACB面积的一半，等于9；
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（2）假设存在使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的的位置．
设BH=x，由题意及（1）中结论可得，CK=BH=x，CH=CB-BH=6-x，
∴S△CHK=CH×CK=3x-x2，
∴S△GHK=S四边形CKGH-S△CKH=9-（3x-x2）=x2-3x+9，
∵△GKH的面积恰好等于△ABC面积的，
∴x2-3x+9=××6×6，
解得（经检验，均符合题意）．????????????
∴存在使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的的位置，此时x的值为．
9、答案：
试题分析：（1）根据条件可以得出∠DAB=DBA，从而可以得出AD=BD；
（2）根据等腰直角三角形的性质可以得出△ADC≌△BDC，就可以得出∠DCA=∠DCB，从而可以得出结论；
（3）连结MC，证明△DCM是等边三角形，就可以得出CM=CD，∠MCE=45°，通过证明△MCE≌△DCB就可以得出结论．
试题解析：（1）BD=AD，
理由：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠ABC=45°．
∵∠CAD=∠CBD=15°
∴∠BAC-∠CAD=∠ABC-∠CBD=45°-15°=30°，
即∠DAB=∠DBA，
∴BD=AD；
（2）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，∠ACB=90°，
∵在△ADC和△BDC中，
，
∴△ADC≌△BDC（SAS），
∴∠DCA=∠DCB，
∴∠DCA=∠ACB=×90°=45°；
（3）连结MC，
∵∠MDC=∠CAD+∠ACD，
∴∠MDC=15°+45°=60°．
∵DC=DM，
∴△DCM是等边三角形．
∴CD=CM=DM，∠CDM=∠DMC=∠DCM．
∵CE=CA，
∴∠CAE=∠CEA=15°，BC=CE，
∴∠ACE=150°
∴∠MCE=150°-45°-60°=45°，
∴∠MCE=∠DCB，
∵在△MCE和△DCB中，
，
∴△MCE≌△DCB（SAS），
∴ME=BD．
10、答案：
试题分析：先确定△CDF是等腰三角形，得出∠CFD=∠CDF=45°，因为不确定△BDE是以那两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，①DE=DB，②BD=BE，③DE=BE，然后分别利用角的关系得出答案即可．
试题解析：∵△CDF中，∠C=90°，且△CDF是等腰三角形，
∴CF=CD，
∴∠CFD=∠CDF=45°，
设∠DAE=x°，由对称性可知，AF=FD，AE=DE，
∴∠FDA=∠CFD=22.5°，∠DEB=2x°，
分类如下：
①当DE=DB时，∠B=∠DEB=2x°，
由∠CDE=∠DEB+∠B，得45°+22.5°+x=4x，
解得：x=22.5°．此时∠B=2x=45°；
见图形（1），说明：图中AD应平分∠CAB．
②当BD=BE时，则∠B=（180°-4x）°，
由∠CDE=∠DEB+∠B得：45°+22.5°+x=2x+180°-4x，
解得x=37.5°，此时∠B=（180-4x）°=30°．
图形（2）说明：∠CAB=60°，∠CAD=22.5°．
③DE=BE时，则∠B=（）°，
由∠CDE=∠DEB+∠B得，45°+22.5°+x=2x+，
此方程无解．
∴DE=BE不成立．
综上所述∠B=45°或30°．
11、答案：
试题分析：（1）求出∠CDB，根据轴对称得出∠EDC=∠CDB=60°，即可得出答案．
（2）过A作AM⊥AC交ED延长线于M，证△ADM≌△ADC，推出AC=AM=BC，证△AFM≌△CBG，即可推出答案．
（3）过A作AQ⊥CD交CD延长线于Q，求出DQ，求出CQ，证△AQC≌△CHB，推出BH=CQ即可．
试题解析：（1）∵∠ACB=90°，∠ACD=15°，
∴∠DCB=75°，
∵△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAD=∠CBA=45°，
∴∠CDB=180°-45°-75°=60°，
∵点B、点E关于CD对称，
∴∠EDC=∠CDB=60°，
∴∠ADF=180°-60°-60°=60°；
（2）证明：过A作AM⊥AC交ED延长线于M，
则∠FAM=90°=∠BCG，∠MAD=90°-45°=45°=∠CAD，
∵∠MAD=45°，∠ADF=60°，
∴∠M=60°-45°=15°=∠ACD，
∵点B、点E关于CD对称，
∴CD⊥BE，
∴∠CHG=90°，
∵∠BCG=90°，
∴∠CBG+∠CGB=∠CGB+∠ACD=90°，
∴∠CBG=∠ACD=15°，
在△ACD和△AMD中，
，
∴△ACD≌△AMD（AAS），
∴AC=AM=BC，
在△FAM和△GCB中，
，
∴△FAM≌△GCB（ASA），
∴AF=CG；
（3）过A作AQ⊥CD交CD延长线于Q，
∵在△AQD中，∠Q=90°，∠QAD=90°-∠ADQ=90°-∠CDB=90°-60°=30°，AD=，
∴DQ=AD=，
∴CQ=+=，
在△AQC和△CHB中，
∴△AQC≌△CHB（AAS），
∴BH=CQ=．
故答案为：．
12、答案：
试题分析：由于△APQ为等腰三角形，∠A为底角或顶角不能确定，故应分∠A为底角和顶角两种情况进行讨论．
试题解析：①当∠A为等腰△AOQ的底角时，此时PQ=AQ，
∵∠A=30°，
∴∠AQP=∠A′QC=120°，
∵∠A′=45°，
∴∠A′CQ=180°-∠A′QC-∠A′=180°-120°-45°=15°，
由旋转的性质可知∠q=∠A′CQ=15°；
②当∠A为等腰△AOQ的顶角时，此时AP=AQ，
∵∠A=30°，
∴∠APQ=∠B′PQ===75°，
∵∠B′=90°-∠A=90°-30°=60°，
∴∠B′EP=∠BEC=180°-∠B′-∠B′PQ=180°-45°-75°=60°，
∵∠B=90°-∠A=90°-30°=60°，
∴∠q=180°-∠B-∠BEC=180°-60°-60°=60°．
故答案为：15°，60°．
13、答案：
试题分析：连接CD，由等腰直角三角形的性质用ASA证得△CFD≌△AED，△CED≌△BFD即可．
试题解析：证明：连接CD，
∵△ABC是等腰直角三角形，D是AB的中点，
∴CD=AD=BD，∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45°，CD⊥AB．
∵∠CDF+∠CDE=∠CDE+∠EDA=90°，
∴∠CDF=ADE．
∴△CDF≌△ADE．
同理△CED≌△BFD，
∴S△CDF=S△ADE，S△CED=S△BFD．
∴S四边形EDFC=S△ABC．