北师大版九年级数学上册 第1章 1.1菱形的性质和判定的应用 同步测试（word含答案）

北师版九年级数学上册第一章特殊平行四边形
1.1菱形的性质和判定的应用
同步测试
题号
一
二
三
总分
得分
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（共10小题，3
10=30）
1．如图，菱形ABCD的周长是20，对角线AC，BD相交于点O，若BD＝6，则菱形ABCD的面积是(
)
A．6
B．12
C．24
D．48
2．如图，已知某广场菱形花坛的边长是6
m，∠BAD＝60°，则花坛的面积为(
)
A．18
m2
B.18
m2
C．36
m2
D．36
m2
3．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线AC与BD相交于点O，且AC∶BD＝3∶4，AE⊥CD于点E，则AE的长是(
)
A．4
B.
C．5
D.
4．如图，添加下列条件仍然不能使?ABCD成为菱形的是(
)
A．AB＝BC
B．AC⊥BD
C．∠ABC＝90°
D．∠1＝∠2
5.
剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是(
)
A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD
B．AB＝BC
C.AB＝CD，AD＝BC
D．∠DAB＋∠BCD＝180°
6.
菱形的一个内角为120°，边长为8，那么它较短的对角线长为(
)
A．3
B．4
C．8
D．6
7.
如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是(
)
A．4
B．3
C．2
D.
8.
如图，已知四边形ABCD的四边都相等，等边三角形AEF的顶点E，F分别在BC，CD上，且AE＝AB，则∠C的度数为(　
　)
A．100°
B．105°
C．110°
D．120°
9．如图
6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角(∠O)为60°，边长为1，A，B都在格点上，则AB的长为(
)
A．
B．
C．
D．
10.
如图，在给定的一张平行四边形纸片ABCD上作一个菱形，甲、乙两人的作法如下：
甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于点M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．
乙：分别作∠BAD，∠ABC的平分线AE，BF，分别交BC，AD于点E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形．
根据两人的作法可判断(
)
A．甲正确，乙错误
B．甲错误，乙正确
C．甲、乙均正确
D．甲、乙均错误
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题（共8小题，3
8=24）11.
11.
如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于____.
12.
如图所示，在菱形ABCD中，BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，且AE＝DE，则∠EBF等于____.
13．如图，两条笔直的公路l1，l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建了三个加工厂A，B，D，已知AB＝BC＝CD＝DA＝5
km，村庄C到公路l1的距离为4
km，则村庄C到公路l2的距离是
km.
14.
在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰△BDE，则∠EBC的度数为_______________．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为2，点A在第一象限，点C在x轴的正半轴上，∠AOC＝60°，若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°，得到四边形OA′B′C′，则点B的对应点B′的坐标为______________________
16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为
.
17.
如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积为
.
18.
菱形ABCD中，∠A＝60°，其周长为24
cm，则菱形的面积为________
cm2.
三．解答题（共7小题，
46分）
19．(6分)
如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE.
(1)求证：四边形BCDE为菱形；
(2)连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．
20.
(6分)
如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，M，N，P，Q分别是AD，BC，BD，AC的中点，连接MN，PQ，请你探索MN与PQ的关系，并证明你的结论．
21.
(6分)如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F.
(1)求证：△AOE≌△COF；
(2)若∠EOD＝30°，求CE的长．
22．(6分)
如图，在?ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，O是AC的中点，且AC⊥EF.求证：四边形AECF是菱形．
23．(6分)
如图30所示，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝a.
(1)求∠ABC的度数；
(2)求对角线AC的长；
(3)求菱形ABCD的面积．
24．(8分)
如图32，在四边形ABCD中，AB＝AD，BD平分∠ABC，AC⊥BD，垂足为O.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若CD＝3，BD＝2，求四边形ABCD的面积．
25．(8分)
对一张长方形纸片ABCD进行折叠，具体操作如下：
第一步：先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开；
第二步：再一次折叠，使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA′，EA′，展开，如图①；
第三步：再沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，展开，如图②.
求证：(1)∠ABE＝30°；
(2)四边形BFB′E为菱形．
参考答案
1-5
CBBCD
6-10
CBACC
11.
12.
60°
13.
4
14.
45°或105°
15.
(，－)
16.
24
17.
6
18.
18
19.
(1)证明：∵AD＝2BC，E为AD的中点，∴DE＝BC，
∵AD∥BC，∴四边形BCDE是平行四边形，
∵∠ABD＝90°，AE＝DE，∴BE＝DE，∴四边形BCDE是菱形
(2)解：∵AD∥BC，AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA，
∴AB＝BC＝1，∵AD＝2AB＝2BC＝2，∠ABD＝90°，
E为AD的中点，∴AB＝AE＝BE，∴△ABE是等边三角形，
∴∠ADB＝30°，∴∠DAC＝30°，∠ADC＝60°，
在Rt△ACD中，∵AD＝2，∴CD＝1，AC＝
20.
解：MN与PQ互相垂直平分，
证明如下：
如图，连接PM，MQ，NP，NQ.
在△DAB中，
∵P，M分别是BD，AD的中点，
∴PM＝AB.
同理：PN＝CD，MQ＝CD，
NQ＝AB.
又∵AB＝CD，
∴PM＝PN＝NQ＝MQ，
∴四边形MPNQ是菱形，
∴MN与PQ互相垂直平分
21.
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，AD∥BC，
∴∠OAE＝∠OCF，
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)　
(2)∵∠BAD＝60°，
∴∠DAO＝∠BAD＝30°，
∵∠EOD＝30°，
∴∠AOE＝90°－30°＝60°，
∴∠AEF＝180°－∠DAO－∠AOE＝180°－30°－60°＝90°.
∵菱形ABCD的边长为2，∠DAO＝30°，
∴OD＝AD＝1，
∴AO＝＝，
可求AE＝CF＝，
EF＝2OE＝，
在Rt△CEF中，
CE＝＝＝
22.
解：(1)∵EF垂直平分AC，FA＝FC，EA＝EC.
∴∠AFE＝∠CFE，
∠AEF＝∠CEF.
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.∠AFE＝∠CEF＝∠AEF，
∴AF＝AE，AE＝EC＝CF＝FA，
∴四边形AECF是菱形　
(2)∵AC⊥CD，AC⊥EF，
∴EF∥CD.又∵AB∥CD，
∴AB∥EF.∴四边形ABEF为平行四边形．
∴EF＝AB＝6.∵AC⊥CD，∴AB⊥AC.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝8.
∴四边形AECF的面积为AC·EF＝×8×6＝24
23.
解：(1)在菱形ABCD中，AD＝AB.
∵DE⊥AB，AE＝BE，∴AD＝BD，
∴AD＝BD＝AB，∴△ABD为等边三角形，
∴∠ABD＝60°，∴∠ABC＝2∠ABD＝120°.
(2)在菱形ABCD中，AC与BD互相垂直平分．
∵BD＝AB＝AD＝a，∠BAC＝∠BAD＝30°，
∴OB＝a，∴OA＝a，∴AC＝
a.
(3)S菱形ABCD＝AC·BD＝×
a·a＝a2.
24.
解：(1)证明：∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB.
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠CBD.
∵AC⊥BD，AB＝AD，∴OB＝OD.
在△AOD与△COB中，∠AOD＝∠COB，OD＝OB，∠ADO＝∠CBO，
∴△AOD≌△COB，∴OA＝OC.
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．
(2)∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝BD＝，
∴OC＝＝2，∴AC＝2OC＝4，
∴S菱形ABCD＝AC·BD＝4.
25.
证明：(1)∵第二步折叠，使点A落在MN上的点A′处，
并使折痕经过点B，得到折痕BE，∴∠AEB＝∠A′EB.
∵第三步折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，
同时得到线段B′F，∴∠A′EB＝∠FEB′.
∵∠AEB＋∠A′EB＋∠FEB′＝180°，
∴∠AEB＝∠A′EB＝∠FEB′＝60°.∴∠ABE＝90°－∠AEB＝30°
(2)∵∠A′EB＝∠FEB′＝60°，EB′∥BF，
∴∠A′EB＝∠FEB′＝∠BFE＝∠EFB′＝60°.
∴△BEF和△EFB′是等边三角形．∴BE＝BF＝EF＝EB′＝FB′.
∴四边形BFB′E为菱形
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精品试卷·第
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