北师大版九年级数学下册2．5二次函数图形与一元二次方程 同步测试（word含答案）

北师大版九年级数学下册第一章
2．5二次函数图形与一元二次方程
同步测试
一．选择题
1．若二次函数y＝x2﹣mx的对称轴是x＝﹣3，则关于x的方程x2+mx＝7的解（
　）
A．x1＝0，x2＝6
B．x1＝1，x2＝7
C．x1＝1，x2＝﹣7
D．x1＝﹣1，x2＝7
2.如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（　　）
A．-1＜x＜5
B．x＞5
C．x＜-1且x＞5
D．x＜-1或x＞5
已知二次函数与轴交点的横坐标为，，且，则下列结论中：
①方程有两个不相等的实数根，；②当时，；③当时，；④，．
其中正确的结论是（
）
A．①③④
B．①②
C．①②③
D．①②④
4．关于x的二次函数y＝﹣2x2+4x+m2+2m，下列说法正确的是（　　）
A．该二次函数的图象与x轴始终有两个交点
B．当x＞0时，y随x的增大而增大
C．当该二次函数的图象经过原点时，m＝﹣2
D．该二次函数的顶点的纵坐标无最小值
5.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点是（-2，0）和（4，0），这条抛物线的对称轴是（　　）
A．直线x=1
B．直线x=
-1
C．直线x=2
D．直线x=
-2
6.
二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（
）
A．
B．
C．
D．
7．对于函数y＝ax2﹣（2a+1）x﹣3a+1（a是常数），有下列说法：
①函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；
②当x＜1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；
③若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数．
其中错误的说法是（　　）
A．①
B．①②
C．②③
D．①③
8.已知二次函数y=x2+bx-2的图象与x轴的一个交点为（1，0），则它与x轴的另一个交点坐标是（　　）
A．（1，0）
B．（2，0）
C．（-2，0）
D．（-1，0）
9.已知函数y=（x-a）（x-b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数y=ax+b的图象可能正确的是（　　）
A
B
C
D
10．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图，图象过点A（3，0），对称轴为直线x＝1，下列结论：
①a﹣b+c＝0；②2a+b＝0；③4ac﹣b2＞0；④a+b≥am2+bm（m为实数）．
其中正确的结论有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
11.下列哪一个函数，其图象与x轴有两个交点（　　）
A．y=(x-23)2+155
B．y=(x+23)2+155
C．y=
-(x-23)2-155
D．y=
-(x+23)2+155
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表所示，下列结论，其中正确的个数为（　　）
x
﹣1
0
1
3
y
﹣1
3
5
3
①ac＜0；
②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．
③当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0；
④对于任意实数m，4m（am+b）﹣6b＜9a总成立．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二．填空题
13.
已知抛物线，则满足的取值范围是________．
14.
函数，当时，的取值范围为________；当时，的取值范围为________．
?
15．如图，一抛物线与x轴相交于A，B两点，其顶点P在折线段CD﹣DE上移动，已知点C，D，E的坐标分别为（﹣2，8），（8，8），（8，2），若点B横坐标的最小值为0，则点A横坐标的最大值为　
　．
16.已知函数与图象交点的横坐标就是一元二次方程的解，如图，抛物线与双曲线的交点的横坐标是，则关于的不等式的解集是________．
17.抛物线y=x2-4x+m与x轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是____
18.
如图，直线和抛物线都经过点和，不等式?的解集为________．
19．二次函数y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，由图象可知，不等式﹣x2+bx+c＜0的解集为　
　．
20.如图，抛物线y=
-x2+2x+m（m＜0）与x轴相交于点A（x1，0）.B（x2，0），点A在点B的左侧．当x=x2-2时，y____0（填“＞”“=”或“＜”号）．
三．解答题
21．已知二次函数的解析式是y＝x2﹣2x﹣3．
（1）在直角坐标系中，画出它的图象，求x为何值时，函数值y＝0；
（2）当﹣3＜x＜3时，观察图象直接写出函数值y的取值范围．
22.已知抛物线与轴交于.两点，在轴上方的抛物线上存在一点，使的面积等于，
求.两点的坐标；
求出点的坐标．
?
23.已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2．
（1）求q关于p的关系式；
（2）求证：抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点；
24．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+3与x轴交于点A（﹣1，0）和B，与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）求抛物线的表达式.点B和点D的坐标；
（2）将抛物线y＝ax2﹣2ax+3向右平移后所得新抛物线经过原点O，点B.D的对应点分别是点B'，D'，联结B'C，B'D'，CD'，求△CB'D'的面积．
25.已知抛物线y=
-x2+mx+（7-2m）（m为常数）．
（1）证明：不论m为何值，抛物线与x轴恒有两个不同的交点；
（2）若抛物线与x轴的交点A（x1，0）.B（x2，0）的距离为AB=4（A在B的左边），且抛物线交y轴的正半轴于C，求抛物线的解析式．
26．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴.y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线解析式及B点坐标；
（2）x2+bx+c≤﹣5x+5的解集是　
　；
（3）若点M为抛物线上一动点，连接MA.MB，当点M运动到某一位置时，△ABM面积为△ABC的面积的倍，求此时点M的坐标．
答案提示
1.D．2.D．3.
B.4.A．5.A．6.
B.7.B．8.C．9.D．10.C．正确的有①②④．11.D．
12.解：①由图表中数据可得出：x＝1时，y＝5，
所以二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，a＜0；又x＝0时，y＝3，
所以c＝3＞0，
所以ac＜0，故①正确；
②∵二次函数y＝ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x＝1.5，
∴当x≥1.5时，y的值随x值的增大而减小，故②错误；
③∵x＝﹣1时，ax2+bx+c＝﹣1，
∴x＝﹣1时，ax2+（b﹣1）x+c＝0，
∵x＝3时，ax2+（b﹣1）x+c＝0，且函数有最大值，
∴当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0，故③正确．
④将x＝﹣1.y＝﹣1，x＝0.y＝3，x＝1.y＝5代入y＝ax2+bx+c，
得，
解得：，
∴y＝﹣x2+3x+3＝﹣（x﹣）2+，
可知当x＝时，y取得最大值，
即当x＝m时，am2+bm+c≤a+b+c，
变形可得4m（am+b）﹣6b≤9a，故④错误；
故选：B．
13.
.
14.
15.解：由图可知，当点B的横坐标取得最小值0时，抛物线的顶点在点C处，
设此时抛物线的解析式为y＝a（x+2）2+8，
∵点B（0，0）在抛物线上，
∴0＝a（0+2）2+8，得a＝﹣2，
当点A的横坐标取得最大值时，抛物线的顶点在点E处，
此时抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣8）2+2＝﹣2（x﹣7）（x﹣9），
∴此时与x轴的交点为（7，0），（9，0），
∴此时点A的坐标为（7，0），
∴点A的横坐标的最大值是7，
故答案为：7．
16.
17.（3，0）．18.
或.
19.x＜﹣1或x＞5．
20.解：∵抛物线y=
-x2+2x+m（m＜0）与x轴相交于点A（x1，0）.B（x2，0），
∴x1+x2=2，x1x2=
-m＞0，
∴x1＞0，x2＞0，
∵x1+x2=2
∴x1=2-x2
∴x=
-x1＜0
∴y＜0．
21.解：（1）已知二次函数的解析式是y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，图象如图所示：
x
﹣1
0
1
2
3
y
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
令x2﹣2x﹣3＝0时，解得x1＝﹣1，x2＝3．
∴当x＝﹣1或3时，函数值y＝0．
（2）观察图象知：当﹣3＜x＜3时，﹣4≤y＜12．
22.
解：令，则．
所以，
解得，，
故，；设．则
，即，
所以，
解得或（不合题意，舍去）．
故点的坐标是．
23.解：（1）解：把x=2代入得22+2p+q+1=0，即q=
-2p-5；
（2）证明：∵△=p2-4q＞0，
由（1）得△=p2+4（2p+5）=p2+8p+20=（p+4）2+4＞0，
∴一元二次方程x2+px+q=0有两个不相等的实根．
∴抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点；
24.解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：
0＝a+2a+3，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
抛物线的对称轴为：x＝1，点D的坐标为：（1，4），
令y＝0，y＝﹣x2+2x+3＝0，解得：x＝3或﹣1，令x＝0，则y＝3，
故点B的坐标为：（3，0）.点C（0，3）；
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，B的坐标为（3，0）.点D的坐标为（1，4）；
（2）设抛物线向右平移了m个单位，
则B'.D'的坐标分别为：（m+3，0）.（m+1，4），
平移后抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣m﹣1）2+4，
∵新抛物线经过原点O，
∴当x＝0时，y＝﹣（0﹣m﹣1）2+4＝0，
解得：m＝1或﹣3（舍去﹣3），
故点B'.D'的坐标分别为：（4，0）.（2，4），
如下图，过点D′作D′H∥y轴交B′C于点H，
设直线B′C的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，
故直线B′C的表达式为：y＝﹣x+3，
当x＝2时，y＝，故D′H＝4﹣＝；
△CB'D'的面积＝S△D′HC+S△D′HB′＝×D′H×OB′＝××4＝5．
25.解：（1）证明：∵△=m2-4×（-1）（7-2m）
=m2-8m+28
=（m-4）2+12＞0，
∴抛物线与x轴恒有两个不同的交点；
（2）解：∵抛物线与x轴交于点A（x1，0）.B（x2，0）
∴-x2+mx+（7-2m）=0的两个根是x1，x2
由AB=4得|x2-x1|=4，
∴（x2-x1）2=16，
即（x1+x2）2-4x1x2=16，
由根与系数关系得x1+x2=m，x1x2=2m-7
∴m2-4（2m-7）=16
即m2-8m+12=0
解得m=2或m=6，
∵抛物线交y轴的正半轴于C
∴7-2m＞0，
∴m＜3.5，
∴m=6舍去，即m=2，
∴抛物线的解析式为y=
-x2+2x+3．
26.解：（1）因为直线y＝﹣5x+5与x轴.y轴分别交于A，C两点，
所以当x＝0时，y＝5，所以C（0，5）
当y＝0时，x＝1，所以A（1，0）
因为抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，
所以c＝5，1+b+5＝0，解得b＝﹣6，
所以抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5．
当y＝0时，0＝x2﹣6x+5．解得x1＝1，x2＝5．
所以B点坐标为（5，0）．
答：抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5．
B点坐标为（5，0）；
（2）观察图象可知：
x2+bx+c≤﹣5x+5的解集是0≤x≤1．
故答案为0≤x≤1．
（3）设M（m，m2﹣6m+5）
因为S△ABM＝S△ABC＝××4×5＝8．
所以×4?|m2﹣6m+5|＝8
所以|m2﹣6m+5|＝±4．
所以m2﹣6m+9＝0或m2﹣6m+1＝0
解得m1＝m2＝3或m＝3±2．
所以M点的坐标为（3，﹣4）或（3+2，4）或（3﹣2，4）．
答：此时点M的坐标为（3，﹣4）或（3+2，4）或（3﹣2，4）．