圆周角定理
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
如图所示，阴影部分为暗礁区，两灯塔A，B之间的距离恰好等于圆半径的倍，为了使航船不进入暗礁区，那么C对两灯塔A，B的视角必须?
?
?
A.
大于
B.
小于
C.
大于
D.
小于
如图，已知A、B、C、D四个点均在上，，，则的度数为???
A.
B.
C.
D.
如图，在中，，则的度数为
A.
B.
C.
D.
如图，AB是的直径，点C，D，E均在上，若，则的度数为
A.
B.
C.
D.
如图，AB是的直径，点C和点D是上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若的半径是13，，则的值是
A.
B.
C.
D.
如图，内接于，，连接BO并延长交AC于点D，若，则的度数为
A.
B.
C.
D.
如图，四边形ABCD内接于，AB为直径，，连接若，则的度数为
A.
B.
C.
D.
如图，AB，AC分别是的直径和弦，于点D，连接BD，BC，且，，则BD的长为
A.
B.
4
C.
D.
如图，四边形ABCD是的内接四边形，若，则的度数是
A.
B.
C.
D.
如图，的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，，，CD的长为
A.
B.
4
C.
D.
8
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
如图，中，，，则的度数为______．
如图，已知点A、B、C、D都在上，且，则为______．
如图，已知四边形ABCD内接于，AD是直径，，，则弦______．
如果圆中一条弦长与半径相等，那么此弦所对的圆周角的度数为______．
如图，已知BC是的直径，，则的度数为_______度．
如图，AB是的直径，弦于E，若，，则的半径长为??????????cm．
如图，A、B、C是上的三点，，则的度数是______．
如图，是的内接三角形，AE是的弦，且，垂足为若，，则的面积是________．
如图，已知内接于，AB是直径，点D在上，于点E，CD交线段OE于点F，若，则______．
以线段AB为直径作一个半圆，圆心为O，C是半圆周上的点，且，则______．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
此题考查了圆周角定理，三角形的外角性质，以及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，灵活运用圆周角定理是解本题的关键．
连接OA，OB，AB及BS，由AB等于圆半径的倍，得到三角形AOB为直角三角形，根据直角三角形的性质可得，由同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，求出的度数，再由为的外角，根据三角形的外角性质：三角形的外角大于与它不相邻的任意一个内角，可得，即可得到正确的选项．
【解答】
解：设点S为AC与圆的交点，连接OA、OB、AB、BS，
，，
为直角三角形，
，
所对的弧为，
，
又为的外角，
，即，
故选D．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质．此题比较适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．首先连接AD，由A、B、C、D四个点均在上，，，可求得与的度数，然后由圆的内接四边形的性质，求得答案．
【解答】
解：连接AD，
，，
，
，
，
，
．
故选D．
3.【答案】C
【解析】解：，，
，
．
故选：C．
根据题意可知，即可推出．
本题主要考查圆周角定理、垂径定理，关键在于求出．
4.【答案】A
【解析】解：为的直径，
的度数是，
，
的度数是，
的度数是，
，
故选：A．
根据AB是的直径求出的度数是，求出的度数是，再求出的度数是，即可得出答案．
本题考查了圆周角定理，能求出的度数是解此题的关键，注意：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．
5.【答案】D
【解析】解：是直径，
，
的半径是13，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
故选：D．
首先利用直径所对的圆周角为得到是直角三角形，然后利用勾股定理求得AD边的长，然后求得的正弦即可求得答案．
本题考查了圆周角定理及解直角三角形的知识，解题的关键是能够得到直角三角形并利用锐角三角函数求得一个锐角的正弦值，难度不大．
6.【答案】A
【解析】略
7.【答案】B
【解析】解：，
，
，
，
，
是直径，
，
，
故选：B．
首先证明，再证明，利用三角形内角和定理即可解决问题．
本题考查圆内接四边形的性质，圆心角，弧，弦之间的关系，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8.【答案】C
【解析】解：为直径，
，
，
，
，
在中，．
故选：C．
先根据圆周角定理得，则利用勾股定理计算出，再根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算BD的长．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．
9.【答案】D
【解析】解：，
而，
．
故选：D．
先根据圆周角定理计算出，然后根据圆内接四边形的性质求的度数．
本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角就是和它相邻的内角的对角也考查了圆周角定理．
10.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质和垂径定理．根据圆周角定理得，由于的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得，且可判断为等腰直角三角形，所以，然后利用进行计算．
【解答】
解：，
，
的直径AB垂直于弦CD，
，为等腰直角三角形，
，
．
故选C．
11.【答案】
【解析】解：在中，，
，
，
．
故答案为．
由在中，，根据垂径定理可得：，又由圆周角定理，即可求得的度数．
此题考查了垂径定理与圆周角定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
12.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，
故答案为．
利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可解决问题．
本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
13.【答案】
【解析】解：四边形ABCD内接于，
，
是直径，
，
，
故答案为：．
根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理得到，根据正切的定义计算，得到答案．
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
14.【答案】或
【解析】解：如图
若，则
．
弦长与半径相等，连接圆心和弦的端点，可得等边三角形，那么圆心角为，那么这条弦所对的优弧上的圆周角为，则劣弧上的圆周角为．
解决本题的关键是得到这条弦所对的圆心角的度数．本题需注意：在一个圆中，弦所对的圆周角是两个，它们互为补角．
15.【答案】40
【解析】
【分析】
本题主要考查圆周角定理．
根据CB为直径可知，进而可求出的度数，根据圆周角定理可知，．
【解答】
解：
是的直径，
，
又，
，
，
故答案为40．
16.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了垂径定理，等腰直角三角形的性质，以及圆周角定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．连接OC，如图所示，由直径AB垂直于CD，利用垂径定理得到E为CD的中点，即，由，利用等边对等角得到一对角相等，确定出三角形COE为等腰直角三角形，求出OC的长，即为圆的半径．
【解答】
解：连接OC，如图所示：
是的直径，弦，，
，
，，
，
为的外角，
，
为等腰直角三角形，
．
故答案为．
17.【答案】
【解析】解：，
．
故答案为：
根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求得的度数．
本题考查圆周角定理的运用，关键是根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半解答．
18.【答案】3
【解析】
【分析】
本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义、勾股定理熟练掌握相似三角形的判定与性质，求出AB、OF的长度是解决问题的关键．
设，则，根据三角函数的定义及勾股定理得出，再证明∽，即可求出然后过点O作，再根据圆周角定理证明∽，求出OF的长度，即可解答．
【解答】
解：，
可设，则，
，
，，
∽，
，
即，
解得：，
如图，过点O作，垂足为F，
，，
，，
，
，
，
∽，
，
即，
解得：，
．
故答案为3．
19.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质及三角形的面积计算等知识点，灵活运用相似三角形的判定及性质是解题的关键．
延长DE交于点G，由垂径定理及已知条件可得，则，再证∽，由相似三角形的性质得面积比，设，，可得，根据三角形的面积公式分别用含x的式子表示出、、的面积，则可求得答案．
【解答】
解：延长DE交于点G，
弧GB等于弧BD，
，
，
，
，
，
又，
∽
，
设，
由勾股定理知
．
．
故答案为：．
20.【答案】或
【解析】解：为直径，C是半圆周上的点，
，，
，
；
又，
，
；
当时，
同弧所对的圆周角是圆心角的一半；
当时，
同弧所对的圆周角是圆心角的一半．
故答案为：或．
根据直径所对的圆周角是直角求得；又有三角形的面积公式：面积底高、面积，及已知条件，求得；分类讨论：当时，；当时，；由同弧所对的圆周角是圆心角的一半求得．
本题综合考查了圆周角定理、三角形的面积公式及特殊角的三角函数值．解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解．
第2页，共2页
第1页，共1页圆内接四边形的性质
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若，则的度数是
A.
B.
C.
D.
如图，四边形ABCD是的内接四边形，若，则的度数为
A.
B.
C.
D.
如图，四边形ABCD内接于，若它的一个外角，则
A.
B.
C.
D.
如图，四边形ABCD内接于，连接若，，则的度数是
A.
B.
C.
D.
如上图，四边形是半圆的内接四边形，是直径，若，则的度数等于???
????
A.
?
B.
C.
D.
如图所示，四边形ABCD为的内接四边形，，则的度数是?
?
A.
B.
C.
D.
如图，在上有三点A，B，C，连接OA，OC，BA，BC，若，则的大小为
A.
B.
C.
D.
如图，四边形ABCD内接于，若四边形ABCO是平行四边形，则的大小为
A.
B.
C.
D.
如图，四边形ABCD内接于圆O，连接OB，OD，若，则的度数为
A.
B.
C.
D.
如图，四边形ABCD内接于，若，则?
A.
?
B.
?
C.
?
D.
?
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
如图，在圆内接四边形ABCD中，若，，的度数之比为，则的度数是_________．
如图，四边形ABCD为的内接四边形，，则的度数为______；
如图，四边形ABCD内接于，延长CO交于点E，连接若，，则______
如图，四边形ABCD是的内接四边形，，则__________．
如图，圆内接四边形ABCD中，，，点E在CD的延长线上，且，连结若，则四边形ABCD的面积为?
?
?
?
?
??．
如图，四边形ABCD内接于，且四边形OABC是平行四边形，则______．
如图，四边形ABCD内接于，AB为的直径，点C为弧BD的中点，若，则______．
如图，四边形ABCD内接于，若，则_____________；
四边形ABCD是的内接四边形，，则的度数为______．
如图，点O为线段BC的中点，点A、C、D到点O的距离相等，若，则的度数是_____．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由题意得到，作出圆O，如图所示，
四边形ABCD为圆O的内接四边形，
，
，
，
故选：B．
根据题意得到四边形ABCD共圆，利用圆内接四边形对角互补即可求出所求角的度数．
此题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解本题的关键．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理解答即可．
【解答】
解：四边形ABCD是的内接四边形，
，
由圆周角定理得，，
故选：B．
3.【答案】D
【解析】解：四边形ABCD内接于，
，
．
故选D．
由圆内接四边形的外角等于它的内对角知，，由圆周角定理知，，即可得解．
此题考查了圆内接四边形的性质及圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接四边形的性质：1、圆内接四边形的对角互补；2、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角就是和它相邻的内角的对角圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
4.【答案】B
【解析】解：连接OA，OB，OC，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
连接OA，OB，OC，根据圆周角定理得出，再根据得到，从而得到，最后利用圆内接四边形的性质得到结果．
本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，关键在于画出半径，构造圆心角．
5.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
连接AC，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理求出、，计算即可．
【解答】
解：连接AC，
四边形ABCD是半圆的内接四边形，
，
，
，
是直径，
，
，
故选A．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理解答．
【解答】
解：四边形ABCD为的内接四边形，
，
由圆周角定理得，
故选B．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查的是圆周角定理，圆内接四边形的性质的有关知识，利用圆内接四边形的性质得到的度数，然后利用圆周角定理进行求解即可．
【解答】
解：如图
，
，
．
故选D．
8.【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，平行四边形的性质应牢固掌握该定理并能灵活运用，设的度数，则的度数，由题意可得方程，求出x即可解决问题．
【解答】
解：设，则．
四边形ABCO是平行四边形，
．
，．．
．
故选C．
9.【答案】C
【解析】解：设，则，
，，
，
，
，
故选：C．
根据圆内接四边形的性质，构建方程解决问题即可．
本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
10.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角就是和它相邻的内角的对角直接利用圆内接四边形的对角互补计算的度数．
【解答】
解：四边形ABCD内接于，
，
．
故选D．
11.【答案】
【解析】
【分析】
?本题考查圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．
?设，，，根据圆内接四边形的性质求出x的值，进而可得出结果．
【解答】
解：，，的度数之比为4：3：5，
设，则，．
四边形ABCD是圆内接四边形，
，即，解得，
，
．
故答案为．
12.【答案】
【解析】解：四边形ABCD为的内接四边形，
，
故答案为：
直接利用圆内接四边形的性质：外角等于它的内对角得出答案．
考查圆内接四边形的外角等于它的内对角．
13.【答案】50
【解析】解：是的直径，
，
，
四边形ABCD内接于，
，
，
故答案为：50
根据圆周角定理得到，求出，根据圆内接四边形的性质得到，计算即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
14.【答案】130
【解析】
【分析】
本题主要考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
根据圆周角定理求出的度数，根据圆内接四边形的对角互补计算即可．
【解答】
解：由圆周角定理得，，
则，
故答案为130．
15.【答案】8
【解析】解：如图，连接AC，BD．
，
是的直径，
，
，，
，
，，
≌，
，，，
，
．
故答案为8．
如图，连接AC，由≌，推出，，，推出，由此即可解决问题；
本题考查圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
16.【答案】
【解析】解：四边形OABC是平行四边形，
，
，，
设，则，
，
解得：，
故．
故答案为：．
直接利用平行四边形的性质得出，再利用圆周角定理、圆内接四边形的性质得出，，进而得出答案．
此题主要考查了圆内接四边形的性质以及平行四边形的性质，正确得出是解题关键．
17.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是圆周角定理的应用、圆内接四边形的性质，掌握半圆或直径所对的圆周角是直角是解题的关键．连接AC，得到，，计算即可．
【解答】
解：连接AC，
点C为弧BD的中点，
，
为的直径，
，
，
故答案为．
18.【答案】
【解析】略
19.【答案】
【解析】解：四边形ABCD是的内接四边形
．
故答案为：．
根据圆内接四边形的对角互补，得．
本题考查了圆内接四边形的性质，圆内接四边形对角互补．
20.【答案】130
【解析】解：由题意得到，作出圆O，如图所示，
四边形ABCD为圆O的内接四边形，
，
，
，
故答案为：130．
根据题意得到四点A、B、C、D共圆，利用圆内接四边形对角互补即可求出所求角的度数．
此题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解本题的关键．
第2页，共2页
第1页，共1页
