勾股定理逆定理
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(共13张PPT)
上海市怒江中学 宋道更
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 。
a2 + b2 = c2
逆命题：如果三角形的三边长a、b、c满足 ，那么这个三角形是直角三角形。
a2 + b2 = c2
互逆命题
逆命题：如果三角形的三边长a、b、c满足 ，那么这个三角形是直角三角形。
a2 + b2 = c2
已知△ABC，AB=c，AC=b，BC=a，且a2+b2=c2，
求证：∠C=900
证明：作RT△A′B′C′，
使∠C′=900，A′C′=b，B′C′=a
则△ABC≌ △A′B′C′
∴∠C=900
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足 ，那么这个三角形是直角三角形。
a2 + b2 = c2
符号语言：
在△ABC中，
若a2 + b2 = c2
则△ABC是直角三角形
分析：根据勾股定理的逆定理, 判断一个三角形是不是直角三角形, 只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
例1：判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角
三角形
(1) a=15，b=17，c=8; (2) a=13，b=15，c=14
解:(1)最大边为17
∵152+82=225+64 =289
172 =289
∴152+82 =172
∴以15, 8, 17为边长的三角形是直角三角形
(2)最大边为15
∵132+142=169+196=365
152 =225
∴132+ 142 ≠ 152
∴以13, 15, 14为边长的三角形不是直角三角形
像15,17,8,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数组.
请你找出一些勾股数组
当第一个数是奇数(大于1)时，则第二个数是第一个数的平方减1再除以2，第三个数是第一个数的平方加1再除以2
3，4，5；5，12，13， 6，8，10；
7，24，25；8，15，17； 9，40，41……
当第一个数是偶数(大于2)时，则第二个数是第一个数除以2再平方后减1，第三个数是第一个数除以2平方后加1
练一练
1．以下各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）．
A．5，6，7 B．10，8，4
C．7，25，24 D．9，17，15
2．以下各组正数为边长，能组成直角三角形的是（ ）．
A．a-1，2a，a+1 B．a-1，2 ，a+1
C．a-1， ，a+1 D．a-1，a，a+1
3．在已知下列三组长度的线段中，不能构成直角三角形的是 ( )
(A)5、12、13 (B)2、3、
(C)4、7、5 (D)1、 、
C
B
c
分析：先来判断a,b,c三边哪条最长，可以代m,n为满足条件的特殊值来试，m=5,n=4.则a=9,b=40,c=41,c最大。
∴△ABC是直角三角形
例题2
下面以a,b,c为边长的△ABC是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？
(1) a=25 b=20 c=15 ____ _____ ;
(2) a=13 b=14 c=15 ____ _____ ;
(4) a:b: c=3:4:5 _____ _____ ;
是
是
不是
是
∠ A=900
∠ B=900
∠ C=900
(3) a=1 b=2 c= ____ _____ ;
例题3：
如图，是一块四边形绿地示意图，其中AB长24米，BC长20米，CD长15米，DA长7米，∠ C=90度
求：绿地ABCD的面积。
C
B
A
D
24
20
15
7
25
一个零件的形状如下图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量出了这个零件各边尺寸，那么这个零件符合要求吗
此时四边形ABCD
的面积是多少
A
B
D
C
3
4
5
12
13
例题4
活动与探究
给出一组式子：
32＋42＝52， 82＋62＝102，
152＋82＝172， 242＋102＝262．…
(1)你能发现上面式子的规律吗
(2)请你用发现的规律，给出第5个式子
自主评价：
1、勾股定理的逆定理的内容是什么？
2、勾股定理的逆定理的主要作用是什么？
上海市怒江中学 宋道更
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 。
a2 + b2 = c2
逆命题：如果三角形的三边长a、b、c满足 ，那么这个三角形是直角三角形。
a2 + b2 = c2
互逆命题
逆命题：如果三角形的三边长a、b、c满足 ，那么这个三角形是直角三角形。
a2 + b2 = c2
已知△ABC，AB=c，AC=b，BC=a，且a2+b2=c2，
求证：∠C=900
证明：作RT△A′B′C′，
使∠C′=900，A′C′=b，B′C′=a
则△ABC≌ △A′B′C′
∴∠C=900
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足 ，那么这个三角形是直角三角形。
a2 + b2 = c2
符号语言：
在△ABC中，
若a2 + b2 = c2
则△ABC是直角三角形
分析：根据勾股定理的逆定理, 判断一个三角形是不是直角三角形, 只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
例1：判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角
三角形
(1) a=15，b=17，c=8; (2) a=13，b=15，c=14
解:(1)最大边为17
∵152+82=225+64 =289
172 =289
∴152+82 =172
∴以15, 8, 17为边长的三角形是直角三角形
(2)最大边为15
∵132+142=169+196=365
152 =225
∴132+ 142 ≠ 152
∴以13, 15, 14为边长的三角形不是直角三角形
像15,17,8,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数组.
请你找出一些勾股数组
当第一个数是奇数(大于1)时，则第二个数是第一个数的平方减1再除以2，第三个数是第一个数的平方加1再除以2
3，4，5；5，12，13， 6，8，10；
7，24，25；8，15，17； 9，40，41……
当第一个数是偶数(大于2)时，则第二个数是第一个数除以2再平方后减1，第三个数是第一个数除以2平方后加1
练一练
1．以下各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）．
A．5，6，7 B．10，8，4
C．7，25，24 D．9，17，15
2．以下各组正数为边长，能组成直角三角形的是（ ）．
A．a-1，2a，a+1 B．a-1，2 ，a+1
C．a-1， ，a+1 D．a-1，a，a+1
3．在已知下列三组长度的线段中，不能构成直角三角形的是 ( )
(A)5、12、13 (B)2、3、
(C)4、7、5 (D)1、 、
C
B
c
分析：先来判断a,b,c三边哪条最长，可以代m,n为满足条件的特殊值来试，m=5,n=4.则a=9,b=40,c=41,c最大。
∴△ABC是直角三角形
例题2
下面以a,b,c为边长的△ABC是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？
(1) a=25 b=20 c=15 ____ _____ ;
(2) a=13 b=14 c=15 ____ _____ ;
(4) a:b: c=3:4:5 _____ _____ ;
是
是
不是
是
∠ A=900
∠ B=900
∠ C=900
(3) a=1 b=2 c= ____ _____ ;
例题3：
如图，是一块四边形绿地示意图，其中AB长24米，BC长20米，CD长15米，DA长7米，∠ C=90度
求：绿地ABCD的面积。
C
B
A
D
24
20
15
7
25
一个零件的形状如下图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量出了这个零件各边尺寸，那么这个零件符合要求吗
此时四边形ABCD
的面积是多少
A
B
D
C
3
4
5
12
13
例题4
活动与探究
给出一组式子：
32＋42＝52， 82＋62＝102，
152＋82＝172， 242＋102＝262．…
(1)你能发现上面式子的规律吗
(2)请你用发现的规律，给出第5个式子
自主评价：
1、勾股定理的逆定理的内容是什么？
2、勾股定理的逆定理的主要作用是什么？