2020-2021学年北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形1.2-1.3同步课时习题(Word版，含答案)

1.2矩形性质和判定的运用
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（共10小题，3
10=30）
1．点D是等腰Rt△ABC斜边BC上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若BC＝，则四边形AEDF的周长是(
)
A．1
B．2
C．3
D．2
2．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM＝3，BC＝10，则OB的长为(
)
A．5
B．4
C.
D.
3．如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB＝9，BC＝6，则FC′的长为(
)
A.
B．4
C．4.5
D．5
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD，AC于点E，O，连接CE，则CE的长为(
)
A．3
B．3.5
C．2.5
D．2.8
5.
如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AB＝6，BC＝8，则△ABO的周长为(
)
A．16
B．18
C．20
D．22
6．如图，在矩形ABCD中，AD＝3，M是CD上的一点，将△ADM沿直线AM对折得到△ANM，若AN平分∠MAB，则折痕AM的长为(
)
A．3
B．2
C．3
D．6
7.
如图，在?ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接AC，AF，CE，当CA＝CB时，判断四边形AECF是(
)
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．任意四边形
8.
如图，矩形ABCD的顶点A，C分别在直线a，b上，且a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为(
)
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
9．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：
①AB∥CD；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；
⑥OB＝OD.则不能使四边形ABCD成为矩形的是(
)
A．①②③
B．①②④
C．②⑤⑥
D．④⑤⑥
10.
如图，矩形OABC的顶点O与原点重合，点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为(－5，4)，点D为BC边上一动点，连接OD，若线段OD绕点D顺时针旋转90°后，点O恰好落在AB边上的点E处，则点E的坐标为(
)
A．(－5，3)
B．(－5，4)
C．(－5，)
D．(－5，2)
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题（共8小题，3
8=24）
11.
将一个含30°的角的直角三角尺(∠AMF＝90°)按如图所示放置在矩形纸板上，已知矩形纸板的长是宽的2倍，点M是BC边的中点，则∠AFE的度数为____.
12.
如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝10，P，Q分别为AO，AD的中点，则PQ的长度为_______.
13．如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为(4，3)，∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为
．
14.
如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F，已知AD＝4
cm，图中阴影部分的面积总和为6
cm2，则对角线AC的长为________cm.
15．如图，在矩形ABCD中，BC＝20
cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3
cm/s和2
cm/s，则最快____s后，四边形ABPQ成为矩形．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为__________
17．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC＝2∠CAD，则∠BAE＝
度．
18.
如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB，BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是__________
三．解答题（共7小题，
46分）
19．(6分)
如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，BC＝CD，CE⊥AD，垂足为E.求证：AE＝CE.
20.
(6分)
如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O.过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E.
(1)求证：四边形OCED是矩形；
(2)若CE＝1，DE＝2，求菱形ABCD的面积．
21.
(6分)
在△ABC中，D是BC边的中点，E，F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE，CF.
(1)求证：△BDF≌△CDE；
(2)若DE＝BC，试判断四边形BFCE是怎样的四边形，并证明你的结论．
22．(6分)
如图，在?ABCD中，点P是AB边上一点(不与A，B重合)，CP＝CD，
过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，连接CQ.
(1)若∠BPC＝∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；
(2)在(1)的条件下，当AP＝2，AD＝6时，求AQ的长．
23．(6分)
如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF.
(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；
(2)当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．
24．(8分)
如图，矩形ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，且BE＝DF，连接EF，与BC，AD分别相交于P，Q两点．
(1)求证：CP＝AQ；
(2)若BP＝1，PQ＝2，∠AEF＝45°，求矩形ABCD的面积．
25．(8分)
如图，在?ABCD中，DC＞AD，四个角的平分线AE，DE，BF，CF的交点分别是E，F，过点E，F分别作DC与AB间的垂线MM′与NN′，在DC与AB上的垂足分别是M，N与M′，N′，连接EF.
(1)求证：四边形EFNM是矩形；
(2)已知：AE＝4，DE＝3，DC＝9，求EF的长．
参考答案
1-5
BDDCA
6-10
BBCCA
11.
15°
12.
2.5
13.
(0，)
14.
5
15.
4
16.
17.
22.5
18.
4.8
19.
证明：如图，过点B作BF⊥CE于点F.
∵CE⊥AD，
∴∠D＋∠DCE＝90°.
∵∠BCD＝90°，
∴∠BCF＋∠DCE＝90°，
∴∠BCF＝∠D.
在△BCF和△CDE中，∠BCF＝∠D，∠BFC＝∠CED＝90°，BC＝CD，
∴△BCF≌△CDE(AAS)，
∴BF＝CE.
∵∠A＝90°，CE⊥AD，BF⊥CE，
∴四边形AEFB是矩形，
∴AE＝BF，
∴AE＝CE.
20.
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD＝90°.
∵CE∥OD，DE∥OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∠COD＝90°，
∴?OCED是矩形　
(2)由(1)知，?OCED是矩形，
则CE＝OD＝1，DE＝OC＝2.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC＝2OC＝4，BD＝2OD＝2，
∴菱形ABCD的面积为AC·BD＝×4×2＝4
21.
解：(1)证明：∵CE∥BF，∴∠CED＝∠BFD.
∵D是BC边的中点，∴BD＝DC.
在△BDF和△CDE中，∴△BDF≌△CDE(AAS)
(2)四边形BFCE是矩形．证明：∵△BDF≌△CDE，∴DE＝DF＝EF.
∵BD＝DC，∴四边形BFCE是平行四边形．
∵DE＝BC＝EF，∴BC＝EF，∴平行四边形BFCE是矩形
22.
(1)证明：∵∠BPQ＝∠BPC＋∠CPQ＝∠A＋∠AQP，
又∵∠BPC＝∠AQP，∴∠CPQ＝∠A.∵PQ⊥CP，
∴∠CPQ＝∠A＝90°.又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形
(2)∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠CPQ＝90°.
在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ(HL)．
∴DQ＝PQ.设AQ＝x，则DQ＝PQ＝6－x.
在Rt△APQ中，AQ2＋AP2＝PQ2，∴x2＋22＝(6－x)2，
解得x＝.∴AQ的长是
23.
解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠FAE＝∠CDE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
又∵∠FEA＝∠CED，
∴△FAE≌△CDE，
∴CD＝FA，
又∵CD∥AF，
∴四边形ACDF是平行四边形　
(2)BC＝2CD.
证明：∵CF平分∠BCD，
∴∠DCE＝45°，
∵∠CDE＝90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CD＝DE，
∵E是AD的中点，
∴AD＝2DE＝2CD，
∵AD＝BC，
∴BC＝2CD
24.
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，
AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，AD∥BC，∴∠E＝∠F.
∵BE＝DF，∴AE＝CF.
在△CFP和△AEQ中，∴△CFP≌△AEQ(ASA)，
∴CP＝AQ
(2)∵AD∥BC，∴∠PBE＝∠A＝90°.
∵∠AEF＝45°，∴△BEP，△AEQ是等腰直角三角形，
∴BE＝BP＝1，AQ＝AE，∴PE＝BP＝，∴EQ＝PE＋PQ＝＋2＝3，
∴AQ＝AE＝3，∴AB＝AE－BE＝2.
∵CP＝AQ，AD＝BC，∴DQ＝BP＝1，∴AD＝AQ＋DQ＝3＋1＝4，
∴矩形ABCD的面积＝AB·AD＝2×4＝8
25.
解：(1)过点E，F分别作AD，BC的垂线，垂足分别是G，H.
∵∠3＝∠4，∠1＝∠2，
EG⊥AD，EM⊥CD，
EM′⊥AB
∴EG＝ME，EG＝EM′，
∴EG＝ME＝EM′＝MM′
同理可证：FH＝NF＝N′F＝NN′，
∵CD∥AB，MM′⊥CD，NN′⊥CD，
∴MM′＝NN′，∴ME＝NF＝EG＝FH，
又∵MM′∥NN′，∴四边形EFNM为平行四边形，
又∵MM′⊥CD，
∴?EFNM是矩形　
(2)∵DC∥AB，∴∠CDA＋∠DAB＝180°，
∵∠3＝∠CDA，∠2＝∠DAB，
∴∠3＋∠2＝90°，
在Rt△DEA，∵AE＝4，DE＝3，
∴AD＝＝5.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＝∠DCB，
又∵∠2＝∠DAB，∠5＝∠DCB，∴∠2＝∠5，
由(1)知GE＝NF，在Rt△GEA和Rt△NFC中
∴△GEA≌△NFC，
∴AG＝CN.
在Rt△DME和Rt△DGE中，
∵DE＝DE，ME＝GE，
∴△DME≌△DGE，∴DG＝DM，
∴DM＋CN＝DG＋AG＝AD＝5，
∴MN＝CD－DM－CN＝9－5＝4.
∵四边形EFNM是矩形．
∴EF＝MN＝4
1.3
正方形的性质与判定
一、选择题（共10小题，3
10=30）
1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是(
)
A．对角线相等
B．对角线平分一组对角
C．对角线互相平分
D．对角线互相垂直
2．已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是(
　)
A．∠D＝90°　　B．AB＝CD
C．AD＝BC
D．BC＝CD
3．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB交BC于点E，若AD＝8
cm，则OE的长为(
)
A．3
cm
B．4
cm
C．6
cm
D．8
cm
4．在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB边的中点是坐标原点O，将正方形绕点C按逆时针方向旋转90°后，点B的对应点B′的坐标是(　
)
A．(－1，2)
B．(1，4)
C．(3，2)
D．(－1，0)
5．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ABE，则∠BED为(
　)
A．15°
B．35°
C．45°
D．55°
6.
如图，四边形ABCD是正方形，延长AB至点E，使AE＝AC，则∠BCE的大小是(
)
A．67.5°
B．22.5°
C．30°
D．45°
7．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC的度数为(
)
A．45°
B．55°
C．60°
D．75°
8．如图，点P是正方形ABCD的边AB上一点(不与A，B重合)，连接PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90°得线段PE，连接BE，则∠CBE等于(
)
A．75°
B．60°
C．45°
D．30°
9．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为(
)
A．14
B．15
C．16
D．17
10．如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE与BF相交于点O，有下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF.其中错误的有(
)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二．填空题（共8小题，3
8=24）
11．已知正方形ABCD的对角线AC＝4，则这个正方形的面积是_______．
12.
如图，点E，F分别在正方形ABCD的边DC，BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG＝AB，则∠EAF＝
°.
13．如图，正方形ABCD的边长为4
cm，则图中阴影部分的面积为________cm2.
14．若一个正方形和一个等腰三角形有相同的周长，等腰三角形的边长分别为5.6
cm和13.2
cm，则这个正方形的面积为________．
15．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，则此正方形的面积为_______．
16．如图，正方形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点D(5，3)在边AB上，以点B为中心，把△BCD逆时针旋转90°，旋转后点D的对应点D′的坐标是___________．
17．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，若∠CBF＝20°，则∠AED＝______度．
18．如图，将五个边长都为1的正方形如图摆放，其中点A，B，C，D分别是正方形对角线的交点，如果将n个边长为1的正方形这样摆放，那么阴影部分的面积和是
．
三．解答题（共7小题，
46分）
19．(6分)
如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E，F分别在AB，BC上(AE若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．
20．(6分)如图，在正方形ABCD中，点G为BC边上任意一点，连接AG，过B，D两点分别作BE⊥AG，DF⊥AG，垂足分别为E，F.求证：△ADF≌△BAE.
21．(6分)
如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE＝DF，连接AE，AF，EF.
求证：△ABE≌△ADF.
22．(6分)
如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G.
求证：△ADG≌△DCE.
23．(6分)
如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G.
连接BF，证明：AB＝FB.
24.
24．(8分)
已知，在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交直线CB，DC于点M，N，AH⊥MN于点H.
求证：AH＝AB
25．(8分)
如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形．
(1)求证：△BCG≌△DCE；
(2)求证：BG⊥DE.
参考答案
1-5CDBCC
6-10BCCCA
11.
8
12.
45
13.
8
14.
64
cm2
15.
18
16.
(7，5)
17.
65
18.
19.
解：过点O作OH⊥AD于点H.
∵正方形ABCD的边长为4，
∴OH＝HA＝2.
∵E为OM的中点，∴HM＝4.
∴OM＝＝2.∴MN＝OM＝2.
20.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝AB，∠1＋∠2＝90°.
∵BE⊥AG，DF⊥AG，
∴∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠4＝90°.
∴∠2＝∠3，∠1＝∠4.∴△ADF≌△BAE.
21.
证明：∵
四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝∠ADF＝90°.
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF(SAS)．
22.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC.
又∵AG⊥DE，
∴∠DAG＋∠ADF＝90°＝∠CDE＋∠ADF.
∴∠DAG＝∠CDE.
∴△ADG≌△DCE(ASA)．
23.
证明：如图，延长DE交AB的延长线于H，
∵E是BC的中点，∴BE＝CE.
又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB，
∴△DCE≌△HBE(ASA)．
∴BH＝DC＝AB，即B是AH的中点．
又∵∠AFH＝90°，∴BF＝AH＝AB.
24.
证明：如图，
延长CB至E，使BE＝DN，连接AE.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABE＝∠D＝90°，
∴Rt△AEB≌Rt△AND，∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，
∴∠EAN＝90°.又∵∠MAN＝45°，∴∠EAM＝∠NAM.
又∵AM＝AM，∴△AEM≌△ANM.
又∵AB，AH是△AEM和△ANM对应边上的高，∴AB＝AH.
25.
证明：(1)∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
∴∠BCD＝∠GCE＝90°，BC＝CD，CG＝CE，
∴∠BCD＋∠DCG＝∠GCE＋∠DCG，
即∠BCG＝∠DCE.
在△BCG与△DCE中，
∴△BCG≌△DCE(SAS)．
(2)∵△BCG≌△DCE，
∴∠HBC＝∠ODH.
∵∠BHC＝∠DHO，∠HBC＋∠BHC＝90°，
∴∠ODH＋∠DHO＝90°，
∴∠DOH＝90°，∴BG⊥DE.
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精品试卷·第
2
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（共
2
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