鲁教版（五四制）数学八年级下学期《6.3 正方形的性质与判定》 同步练习（Word版 含答案）

6.3 正方形的性质与判定
一．选择题
1．下列说法正确的是（　　）
A．矩形的对角线互相垂直
B．菱形的对角线相等
C．正方形的对角线互相垂直且相等
D．平行四边形的对角线相等
2．正方形具有而矩形不一定有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角互补 D．四个角相等
3．平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（　　）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相垂直平分
4．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是AD边上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（　　）
A．4 B．2 C． D．2
5．长度相等的三根铁丝，分别做成一个长方形、正方形和圆，（　　）面积最大．
A．长方形 B．正方形 C．圆
6．如图，正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，且AE＝AB，连接BE，DE，则∠CDE的度数为（　　）
A．20° B．22.5° C．25° D．30°
7．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论不正确的是（　　）
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当∠ABC＝90°时，它是矩形
C．当AC⊥BD时，它是菱形
D．当AC＝BD时，它是正方形
8．下列命题中，真命题是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
9．四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB＝AD；②∠DAB＝90°；③AO＝CO，BO＝DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，则下列推理不成立的是（　　）
A．①④?⑥ B．①③?⑤ C．①②?⑥ D．②③?④
二．填空题
10．边长为1cm的正方形的对角线长是　 　cm．
11．正方形的边长与它的对角线的长度的比值为　 　．
12．如图，四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形，则∠AEB＝　 　．
13．如图，平面内直线l1∥l2∥l3∥l4，且相邻两条平行线间隔均为1，正方形ABCD四个顶点分别在四条平行线上，则正方形的面积为　 　．
三．解答题
14．如图，点E在正方形ABCD内，且∠AEB＝90°，AB＝10，BE＝8，求阴影部分的面积．
15．如图，若在正方形ABCD中，点E为CD边上一点，点F为AD延长线上一点，且DE＝DF，则AE与CF之间有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．
16．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF．
（1）求证：四边形AFBD是平行四边形；
（2）将下列命题填写完整，并使命题成立（图中不再添加其它的点和线）：
①当△ABC满足条件AB＝AC时，四边形AFBD是　 　形；
②当△ABC满足条件　 　时，四边形AFBD是正方形．
17．在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，点E为AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AD＝AF；
（2）填空：①当∠ACB＝　 　°时，四边形ADCF为正方形；
②连接DF，当∠ACB＝　 　°时，四边形ABDF为菱形．
18．如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点F，∠E＝90°，ED＝EC．求证：四边形DFCE是正方形．
19．如图，在正方形ABCD中，点M在边AB上，点N在边AD的延长线上，且BM＝DN．点E为MN的中点，DE的延长线与AC相交于点F．试猜想线段DF与线段AC的关系，并证你的猜想．
20．如图，△ABC中，∠BAC为锐角，以AB、AC向内作正△ABD、正△ACF，以BC为边向下作正△BCE，连接ED、EF．
（1）判断四边形ADEF的形状，并证明你的结论．
（2）三角形ABC满足什么条件，四边形ADEF为正方形？（直接写出结论即可）
（3）若∠BAC＝30°，其他条件不变，连接AE，则线段AB、AC、AE之间具有怎样的数量关系？（直接写出结论即可）

参考答案
一．选择题
1．解：A．因为矩形的对角线相等，所以A选项错误，不符合题意；
B．因为菱形的对角线互相垂直，所以B选项错误，不符合题意；
C．因为正方形的对角线互相垂直且相等，所以C选项正确，符合题意；
D．因为平行四边形的对角线互相平分，所以D选项错误，不符合题意．
故选：C．
2．解：A．因为对角线互相垂直，正方形具有而矩形不具有，所以A选项符合题意；
B．因为对角线相等，正方形具有而矩形也具有，所以B选项不符合题意；
C．因为对角互补，正方形具有而矩形也具有，所以C选项不符合题意；
D．因为四个角相等，正方形具有而矩形也具有，所以D选项不符合题意．
故选：A．
3．解：A、平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线都互相平分，故本选项正确；
B、只有矩形，正方形的对角线相等，故本选项错误；
C、只有菱形，正方形的对角线互相垂直，故本选项错误；
D、只有菱形，正方形的对角线互相垂直平分，故本选项错误．
故选：A．
4．解：在正方形ABCD中，OA⊥OB，∠OAD＝45°，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴四边形OEPF为矩形，△AEP是等腰直角三角形，
∴PF＝OE，PE＝AE，
∴PE+PF＝AE+OE＝OA，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴OA＝AC＝＝．
故选：C．
5．解：设长度为L的三根铁丝，图形的面积用S表示，
长方形：设一边为x，S1＝x（﹣x）＝﹣x2+x，
那么当x＝时，S1最大，此时S1＝；
正方形：S2＝（）2＝；
圆：2πr＝L，r＝，S3＝π?r2＝；
∴S3＞S2≥S1．
故选：C．
6．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，
∵AE＝AB，
∴AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝67.5°，
∴∠CDE＝90°﹣67.5°＝22.5°，
故选：B．
7．解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB＝BC时，它是菱形，故A选项正确；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故B选项正确；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝OD，∵AC⊥BD，∴AB2＝BO2+AO2，AD2＝DO2+AO2，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形，故C选项正确；
D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC＝BD时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误；
综上所述，符合题意是D选项；
故选：D．
8．解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误；
故选：C．
9．解：A、符合邻边相等的矩形是正方形；
B、可先由对角线互相平分，判断为平行四边形，再由邻边相等，得出是菱形；
D、可先由对角线互相平分，判断为平行四边形，再由一个角为直角得出是矩形；
故选：C．
二．填空题
10．解：∵正方形的边长为1cm，
∴对角线长为＝cm．
故答案为．
11．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC＝BD，∠ABC＝90°，
∴AC＝＝＝AB，
∴＝；
故答案为：．
12．解：∵四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形，
∴AB＝BC，∠BAD＝90°，BE＝BC，∠CBE＝60°，
∴AB＝BE，∠ABE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠AEB＝∠EAB＝（180°﹣30°）＝75°，
故答案为：75°．
13．解：过C点作EF⊥l2，交l1于E点，交l4于F点．
∵l1∥l2∥l3∥l4，EF⊥l2，
∴EF⊥l1，EF⊥l4，
即∠CED＝∠BFC＝90°．
∵ABCD为正方形，
∴∠BCD＝90°．
∴∠DCE+∠BCF＝90°．
又∵∠DCE+∠CDE＝90°，
∴∠CDE＝∠BCF．
在△CDE和△BCF中，
∴△CDE≌△BCF（AAS），
∴BF＝CE＝2．
∵CF＝1，
∴BC2＝12+22＝5，
即正方形ABCD的面积为5．
故答案为：5．
三．解答题
14．解：∵在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AB＝10，BE＝8，由勾股定理得：AE＝6，
∴正方形的面积是10×10＝100，
∵△AEB的面积是AE×BE＝×6×8＝24，
∴阴影部分的面积是100﹣24＝76，
15．解：AE＝CF，AE⊥CF，理由如下：
如图，延长AE交CF于点G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝∠CDE＝90°，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF，∠DAE＝∠DCF，
∵∠DCF+∠F＝90°，
∴∠DAE+∠F＝90°，
∴AG⊥CF，
即AE⊥CF．
∴AE＝CF，AE⊥CF．
16．解：（1）∵E是AD中点∴AE＝DE，
∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，
∵∠AEF＝∠DEC，∴△AEF≌△DEC∴AF＝DC，
∵D是BC中点，∴BD＝DC，∴AF＝BD，
又∵AF∥BC，即AF∥BD，∴四边形AFBD是平行四边形；
（2）①矩形，
②AB＝AC，∠BAC＝90°．
17．（1）证明：∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，
∵AD＝CD＝BD，
∵点E为AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵∠AEF＝∠DEB，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF＝BD，
∴AD＝AF；
（2）解：①当∠ACB＝45°时，四边形ADCF为正方形；
∵AD＝AF，
∴AF＝CD，
∵AF∥CD，
∴四边形ADCF是菱形，
∴∠ACD＝∠ACF＝45°，
∴∠DCF＝90°，
∴四边形ADCF是正方形；
②当∠ACB＝30°时，四边形ABDF为菱形；
∵四边形ADCF是菱形，四边形ABDF是平行四边形，
∴CD＝CF，
∵∠ACB＝∠ACF＝30°，
∴∠DCF＝60°，
∴△DCF是等边三角形，
∴DF＝CD，
∴DF＝BD，
∴四边形ABDF为菱形．
故答案为：45，30．
18．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FDC＝∠DCF＝45°，
∵∠E＝90°，ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD＝45°，
∴∠FCE＝∠FDE＝∠E＝90°，
∴四边形DFCE是矩形，
∵DE＝CE，
∴四边形DFCE是正方形．
19．猜想：线段DF垂直平分线段AC，且DF＝AC，
证明：过点M作MG∥AD，与DF的延长线相交于点G．
则∠EMG＝∠N，∠BMG＝∠BAD，
∵∠MEG＝∠NED，ME＝NE，
∴△MEG≌△NED，
∴MG＝DN．
∵BM＝DN，
∴MG＝BM．
作GH⊥BC，垂足为H，连接AG、CG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，
∵∠GMB＝∠B＝∠GHB＝90°，
∴四边形MBHG是矩形．
∵MG＝MB，
∴四边形MBHG是正方形，
∴MG＝GH＝BH＝MB，∠AMG＝∠CHG＝90°，
∴AM＝CH，
∴△AMG≌△CHG．
∴GA＝GC．
又∵DA＝DC，
∴DG是线段AC的垂直平分线．
∵∠ADC＝90°，DA＝DC，
∴DF＝AC
即线段DF垂直平分线段AC，且DF＝AC．
20．解：（1）四边形ADEF是平行四边形．
理由如下：在正△ABD，正△BCE中，
AB＝BD，BC＝BE，∠ABD＝60°，∠CBE＝60°，
∵∠ABD＝∠ABC+∠DBC＝60°，
∠CBE＝∠DBE+∠DBC＝60°，
∴∠ABC＝∠DBE，
在△ABC与△DBE中，，
∴△ABC≌△DBE（SAS），
∴AC＝DE，
又∵△ACF是正三角形，
∴AC＝AF，
∴AF＝DE，
同理可证AD＝EF，
∴四边形ADEF是平行四边形；
（2）若四边形ADEF为正方形，
则AF＝AD，∠DAF＝90°，
∵AF＝AC，AD＝AB，
∴AB＝AC，
∵∠BAC+∠BAF＝∠BAC+∠DAC＝60°，
∴∠BAF＝∠DAC＝∠DAF﹣60°＝90°﹣60°＝30°，
∴∠BAC＝60°﹣30°＝30°，
∴当△ABC为顶角∠BAC＝30°的等腰三角形时，四边形ADEF为正方形；
（3）根据（2）的结论，当∠BAC＝30°时，∠DAF＝90°，
∴四边形ADEF为矩形，
∴AE2＝AB2+AC2．