四川省成都市蓉城名校联盟2021届高三上学期2月第二次联考理科数学试题 Word版含答案

蓉城名校联盟2018级高三第二次联考
理科数学
注意事项：
1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”。
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3．考试结束后由监考老师将答题卡收回。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若全集，，，则集合等于（ ）
A． B．
C． D．
2．若复数，则（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数在区间内，有零点且单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
4．某实验室研发新冠疫苗，试验中需对，两项指标进行对照试验，已经进行的连续五次试验所测得的指标数据如下表：
110
115
120
125
130
85
89
90
92
94
已知与具有线性相关关系，利用上表中的五组数据求得回归直线方程为．根据该回归方程，预测下一次试验中当时，，则的值为（ ）
A．0.48 B．0.5 C．0.52 D．0.54
5．（ ）
A．4 B． C． D．8
6．在中，，，分别为，，的对边，如果，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
7．—对夫妇带着他们的两个小孩一起去坐缆车，他们随机地坐在了一排且连在一起的4个座位上（一人一座）．为安全起见，管理方要求每个小孩旁边要有家长相邻陪坐，则他们4人的坐法符合安全规定的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆的焦点为，，且椭圆与直线：有公共点，则椭圆长轴长的最小值为（ ）
A．10 B．7 C． D．
9．已知随机变量服从二项分布，其期望，当时，目标函数的最小值为，则的展开式中各项系数之和为（ ）
A．1 B． C． D．
10．已知抛物线，过抛物线的焦点作直线与抛物线交于两点，，且抛物线的准线与轴的交点为，则以下结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个半圆，设圆锥的顶点为，、是底面圆周上的两个不同的动点，给出下列四个判断，其中正确的是（ ）
①圆锥的侧面积为 ②与圆锥底面所成角的大小为60°
③可能为等腰直角三角形 ④面积的最大值为
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
12．已知，函数，．记函数的最小值为，函数的最小值为，当时，的最大值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题：
13．已知函数，则______．
14．已知，若，则______．
15．执行如图所示的程序框图，若输出的结果，则的取值范围是______．
16．已知双曲线：与抛物线：的焦点重合，过点作直线与抛物线交于、两点（点在轴上方）且满足，若直线只与双曲线右支相交于两点，则双曲线的离心率的取值范围是______．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17?21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：
17．已知数列的首项，若向量，，，且．
（1）求数列的通项公式；
（1）已知数列，若，求数列的前项和．
18．某疫苗研发机构将其生产的某款疫苗在征集的志愿者中进行人体试验，现随机选取100名试验者检验结果并评分（满分为100分），得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求的值，并估计所有试验者的平均得分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）据检测，这100名试验者中的甲、乙、丙三人注射疫苗后产生抗体的概率分别为，，，若同时给此三人注射该疫苗，记此三人中产生抗体的人数为随机变量，求随机变量的分布列及其期望值．
19．已知四棱锥及其三视图如图所示，其底面是正方形，且平面平面，当，分别是棱，的中点时，连接，．
（1）证明：直线平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．

正视图 俯视图 俯视图
20．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，短轴长为，点在椭圆上，轴，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）将椭圆按照坐标变换得到曲线，若直线与曲线相切且与椭圆相交于，两点，求的取值范围．
21．已知函数，若函数在处的切线与直线平行．
（1）求的值及函数的单调区间；
（2）已知，若函数与函数的图像在有交点，求实数的取值范围．
（二）选考题：请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）设点是曲线上的动点，求点到直线距离的最值．
23．[选修4—5：不等式选讲]
已知函数．
（1）解不等式；
（2）若的最小值为，且正实数，满足，求的最小值．
蓉城名校联盟2018级高三第二次联考
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题：
1．【答案】C
【详解】因为全集，，，
，
故选：C．
2．【答案】C
【详解】
∴
故选：C．
3．【答案】D
【详解】对于A，，在上为减函数，不符合题意；
对于B，，在上为增函数，但时，，在内没有零点，不符合题意；对于C，，在上没有定义，不符合题意；
对于D，，在上有零点，且在为增函数，符合题意；
故选：D．
4．【答案】D
【详解】由已知表格中的数据，求得：，
，则，①
又因为下一次实验中时，，则，②
联立①②，解得：．
故选D．
5．【答案】B
【详解】
因为是奇函数，且在区间关于原点对称，所以
对应的区域是一个半径为2的半圆，面积为
故
选B．
6．【答案】A
【详解】∵，由正弦定理可得
即：
整理得：
对照余弦定理可得
故选：A．
7．【答案】C
【详解】4人随机坐有种坐法，
除去两个小孩相邻且坐在两端的情况，有种符合安全规定的坐法，概率为
故选：C．
8．【答案】A
【详解】设椭圆与直线的一个公共点为
则（即为长轴长）
问题转化为在直线上找点，使得最小
作关于的对称点，可得点坐标为
则，当且仅当，，三点共线时等号成立即椭圆长轴长的最小值为10．
故选A．
9．【答案】B
【详解】根据二项分布期望的定义，可知，得
画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示，
其中，，，
平移直线，当直线经过点时，取最小值，即，
于是
令，可得展开式的各项系数之和为．
故选：B．
10．【答案】C
【详解】设过抛物线：的焦点的直线为：，
代入抛物线方程得：；
由直线上两点，，
则有，
，A正确
，B正确
∵点坐标为，故，
当时，，即，故C错误．
由
，D正确
综上所述，本题选C
11．【答案】B
【详解】如图，设为底面圆的圆心，则为圆锥的高．
设圆锥的母线为，由底面半径为1，所以底面圆的周长为
其侧面展开图是一个半圆，则此半圆的半径为，此半圆的半圆弧长，所以
所以侧面展开图的面积为：，所以①不正确．
由圆锥的性质可知与圆锥底面所成角为，则，
所以，所以②正确．
在中，，，不可能为直角三角形，所以③不正确．
在中，，由
所以，所以
所以，所以④正确．
故正确的判断为②④，选B

12．【答案】D
【详解】
∵，，
∴，
记
∴，
所以，函数在上单调递增，
∵，当时，；当时，．
所以，函数在上单调递减，在上单调递增．
∴，即．
①当，即当时，由上可知，函数的最小值为，满足；
②当，即当时，由上可知，函数的最小值为，
且，不合题意．
综上所述，实数的最大值为1．
故选：D．
二、填空题：
13．【答案】
【详解】由
14．【答案】6
【详解】由，，由，则
15．【答案】（或写成）
【详解】由，；，；
，；，；
，退出结束，则
16．【答案】（或写成）
【详解】设直线的倾斜角为，
由，则，由直线只与双曲线右支相交于两点，则，则
，由，则．
三、解答题：
17．解：（1）由，则，，
则数列是以2为首项，2为公比的等比数列，则，
（2）由，
则，
由①
由①，可得②
由①－②可得，
，
则，
18．解：（1）由，
平均得分
（2）由已知得：，1，2，3
则分布列为：
0
1
2
3
则期望．
19．解：由三视图可知，，，，
由，则平面
（1）取的中点为，连接，，由，分别是，中点，则，
由为的中点，则，则，所以四边形为平行四边形，则，
由，则直线平面；
（2）如图建系，其中，，，，，
设平面的法向量，
，，
则，
令，则，
由，则，，
设所求角为，则
20．解：（1）由已知可得，，，
则椭圆的标准方程为：
（2）由，则曲线：，
当直线斜率存在且为时，设：，由直线与圆相切，
则，
由，设，，
则，且恒成立
由
由，则
，
令，则，，则，
当直线斜率不存在时，：，，
综上：
21．解：（1）由，，
则，，，
小于0
等于0
大于0
单调递减
单调递增
函数的单调递增区间为，单调递减区间为
（2）由已知可得，方程在有解，
由在有解，
由，由，由（1）可知，
在单调递增，则在有解，
由在有解，
令，，由，当时，，
则在单调递增，
由，则，
则
22．解：（1）由曲线：，
由，则曲线的普通方程为，，
由：，则，
则直线的直角坐标方程为
（2）方法1：设：，由，
由，
则：，则与的距离，
由，则点到直线的距离，
综上：点到直线距离的最大值为，最小值为
方法2：设点，，则，
由，，则，
则
综上：点到直线距离的最大值为，最小值为．
23．解：（1）由，
当，由
当，由（舍）
当，由
综上：或
（2）由（1）可知，则，
由
由
当时，原式取最小值为
第（2）问解法二：由（1）可知，则，
∵，
又∵
∴∴当时，
又，当且仅当时，等号成立
∴当时，和同时取得最小值
∴的最小值是