第六章 平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
6.1.1 向量的实际背景与概念
6.1.2 向量的几何表示
6.1.3 相等向量与共线向量
基础过关练
题组一 向量的概念及几何表示
1.给出下列物理量:①密度;②路程;③速度;④质量;⑤功;⑥位移.下列说法正确的是
( )
A.①②③是数量,④⑤⑥是向量
B.②④⑥是数量,①③⑤是向量
C.①④是数量,②③⑤⑥是向量
D.①②④⑤是数量,③⑥是向量
2.(2020山东淄博淄川中学高一上月考)下列说法正确的是( )
A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的可以比较大小
C.向量的大小与方向有关
D.向量的模可以比较大小
3.中国象棋中规定:马走“日”字.下图是中国象棋的半个棋盘,若马在A处,则可跳到A1处,也可跳到A2处,用向量,表示马走了“一步”.若马在B处或C处,则以B,C为起点表示马走了“一步”的向量共有 个.?
4.在平面直角坐标系中,用有向线段表示下列向量,使它们的起点都是原点O,并求终点A的坐标.
(1)|a|=2,a的方向与x轴正方向的夹角为60°,与y轴正方向的夹角为30°;
(2)|a|=4,a的方向与x轴正方向的夹角为30°,与y轴正方向的夹角为120°;
(3)|a|=4,a的方向与x轴、y轴正方向的夹角都是135°.
题组二 相等向量与共线向量
5.如图,在圆O中,向量,,是( )
A.有相同起点的向量
B.单位向量
C.模相等的向量
D.相等向量
6.若||=||,且=,则四边形ABCD的形状为( )
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.等腰梯形
7.(多选)(2020天津静海一中高一下月考)下列说法中正确的是( )
A.零向量与任一向量平行
B.起点不同,但方向相同且模相等的向量是相等向量
C.向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反
D.向量a与b同向,且|a|>|b|,则a>b
8.给出下列命题:
①若两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;
②若a与b共线,b与c共线,则a与c也共线;
③若A,B,C,D是不共线的四点,且=,则四边形ABCD为平行四边形;
④若a,b为非零向量,则a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b.
其中真命题的序号是 .?
9.如图所示,△ABC的三边均不相等,E,F,D分别是AC,AB,BC的中点,在以A,B,C,D,E,F为起点或终点的向量中:
(1)写出与共线的向量;
(2)写出与的模相等的向量;
(3)写出与相等的向量.深度解析
能力提升练
题组一 向量的概念及几何表示
1.(2020山东潍坊高一阶段考试,)|e|=1是向量e为单位向量的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(2020辽宁本溪高一下月考,)把表示同一平面内所有模不小于1且不大于2的向量的有向线段的起点移到同一点O,则这些有向线段的终点所构成的图形的面积等于 .深度解析?
题组二 相等向量与共线向量
3.(2019广东深圳高一期末,)已知A={与a共线的向量},B={与a长度相等的向量},C={与a长度相等,方向相反的向量},其中a为非零向量,下列关系中错误的是( )
A.C?A
B.A∩B={a}
C.C?B
D.(A∩B)?{a}
4.(2019河南郑州一中高一期末,)如图是3×4的网格图(每个小方格都是单位正方形),则起点和终点都在方格的顶点处,与平行且模为的向量共有( )
A.12个
B.18个
C.24个
D.36个
5.(2019吉林省实验中学高一期末,)如图所示,四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形,则下列结论中不一定成立的是( )
A.||=||
B.与共线
C.与共线
D.=
6.()设a0,b0分别是与a,b同向的单位向量,则下列结论中正确的是( )
A.a0=b0
B.a0=-b0
C.|a0|+|b0|=2
D.a0∥b0
7.(2020山东济南外国语学校高一下月考,)如图,半圆的直径AB=6,C是半圆上的一点,D,E分别是AB,BC上的点,且AD=1,BE=4,DE=3.
(1)求证:∥;
(2)求||.
8.()一辆汽车从A点出发向西行驶了100
km到达B点,然后改变方向向北偏西40°走了200
km到达C点,最后又改变方向向东行驶了100
km到达D点.
(1)作出向量,,;
(2)求||.深度解析
9.()在平行四边形ABCD中,E,F分别是CD,AB的中点,如图所示.
(1)写出与向量共线的向量;
(2)求证:=.
答案全解全析
基础过关练
1.D 由物理知识可知,密度、路程、质量、功只有大小,没有方向,因此是数量;速度、位移既有大小又有方向,因此是向量.故选D.
2.D 根据向量的相关定义,知D正确.
3.答案 11
解析 表示马在B处走了“一步”的向量如图(1)所示,共3个;表示马在C处走了“一步”的向量如图(2)所示,共8个.
综上,若马在B处或C处,则以B,C为起点表示马走了“一步”的向量共有11个.
4.解析 (1)如图①所示,向量即为所求.由图可知,xA=2cos
60°=1,yA=2sin
60°=,∴A(1,).
图①
(2)如图②所示,向量即为所求.
由图可知,xA=4cos
30°=2,yA=-4sin
30°=-2,∴A(2,-2).
图②
(3)如图③所示,向量即为所求.
由图可知,xA=-4cos
45°=-4,yA=-4·sin
45°=-4,∴A(-4,-4).
图③
5.C 由题图可知,三个向量的起点不同,方向不同,但模长相等,所以不是相等向量,故A、D错误,C正确;不能确定,,的模长是1,故B错误.
6.C ∵=,∴四边形ABCD为平行四边形,又∵||=||,∴四边形ABCD为菱形.
7.AB 对于选项A,零向量的方向是任意的,零向量与任一向量平行,A正确;对于选项B,根据相等向量的定义知,B正确;对于选项C,若a,b中有一个是零向量,则不能说a与b的方向相同或相反,C错误;对于选项D,向量不能比较大小,D错误.故选AB.
8.答案 ③
解析 ①错误,两个向量的起点相同,终点相同,则两个向量相等;但两个向量相等,不一定有相同的起点和终点;
②错误,若b=0,则a与c不一定共线;
③正确,因为=,所以||=||且∥,又A,B,C,D是不共线的四点,
所以四边形ABCD为平行四边形;
④错误,当a=b时,可得|a|=|b|,a∥b,且a与b方向相同;当|a|=|b|,a∥b,且向量a,b方向相反时,不能得到a=b,所以|a|=|b|且a∥b是a=b的必要不充分条件.故答案为③.
9.解析 因为E,F分别是AC,AB的中点,所以EF∥BC,EF=BC.又因为D是BC的中点,所以BD=DC=BC=EF.
(1)与共线的向量有,,,,,,.
(2)与的模相等的向量有,,,,.
(3)与相等的向量有,.
导师点睛
判断一组向量是否相等,关键要看这组向量是否方向相同,长度相等,与起点和终点的位置无关.对于共线向量,只需判断它们是否同向或反向即可.
能力提升练
1.C 单位向量是指模长为1的向量,因此若|e|=1,则e是单位向量;若e是单位向量,则|e|=1.
故|e|=1是向量e为单位向量的充要条件.
2.答案 3π
解析 如图所示,这些有向线段的终点构成的图形是一个圆环,其面积为π·22-π·12=3π.
解题反思
起点相同,长度也相同的向量的终点组成以该起点为圆心、向量的模为半径的圆.
3.B 因为A∩B中包含与a长度相等且方向相反的向量,所以B中的关系错误.
4.C 由题意知,与平行且模为的向量共有24个.故选C.
5.C 由题可知||=||,∥∥,=,但与不一定共线,所以A,B,D中的结论成立,C中的结论不一定成立.
6.C 因为a0,b0分别是与a,b同向的单位向量,而a,b的方向是不确定的,所以a0与b0的方向也不确定,所以A,B,D错误;因为|a0|=|b0|=1,所以|a0|+|b0|=2,所以C正确.故选C.
7.解析 (1)证明:由题意知,在△DBE中,BD=5,DE=3,BE=4,∴△DBE是直角三角形,且∠DEB=90°.
又∵点C为半圆上一点,AB为直径,
∴∠ACB=90°.
∴AC∥DE,∴∥.
(2)易知△ABC∽△DBE,
∴=,即=,
∴AC=,即||=.
8.解析 (1)向量,,如图所示.
(2)由题意易知与方向相反,故与共线,
又∵||=||,
∴在四边形ABCD中,AB?CD,
∴四边形ABCD为平行四边形,
∴=,∴||=||=200(km).
解题反思
准确画出向量的关键是先确定向量的起点,再确定向量的方向,然后根据向量的大小确定向量的终点,用有向线段来表示向量是向量的几何表示,必须确定起点、长度和方向,三者缺一不可.
9.解析 (1)与向量共线的向量有,,.
(2)证明:在平行四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD,因为E,F分别是CD,AB的中点,
所以ED∥BF且ED=BF,所以四边形BFDE是平行四边形,故=.(共35张PPT)
第六章
平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．理解向量的有关概念及向量的几何表示.(直观想象)
2．理解共线向量、相等向量的概念.(数学抽象)
3．正确区分向量平行与直线平行.(逻辑推理)
4．能够利用向量知识解决实际问题，培养数学建模能力.(数学建模)
1．向量是一个既有大小又有方向的量，学习时可以结合物理中的矢量来学习，同时对比数量来感受要素的差异.
2．向量可以用有向线段来表示，因而必然具备有向线段的三要素：起点、方向、长度.学习向量的有关概念时注意类比有向线段，通过对特殊向量的认识，逐步把握向量的特征.
3．相等向量与共线向量之间有一些特殊关系，要善于对比数量特征加深认识.
必备知识·探新知
1．向量的概念
(1)向量：既有_______又有_______的量叫做向量.
(2)数量：只有大小没有_______的量称为数量.
向量的基本概念与表示
知识点1
大小
方向
方向
方向
起点
方向
长度
3．向量的表示方法
有向线段
大小
方向
4．向量的相关概念
0
1个单位长度
1．平行向量：方向_____________的非零向量叫做平行向量，向量a与b平行，记作_______；规定：零向量与任意向量_______，即对任意向量a，都有_______.
2．相等向量：长度_______且方向_______的向量叫做相等向量，记作a＝b.
3．共线向量：平行向量也叫做共线向量.
相等向量与共线向量
知识点2
相同或相反
a∥b
平行
0∥a
相等
相同
[知识解读] 1．理解平行向量的概念时，需注意，平行向量和平行直线是有区别的，平行直线不包括重合的情况，而平行向量是可以重合的.
2．共线向量就是平行向量，其中“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含义.实际上，共线向量(平行向量)有以下四种情况：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等.这样，也就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量.共线向量是相等向量的必要条件.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一
向量的有关概念
典例
1
③④
[分析] 利用向量定义、相等向量、单位向量的定义进行判断.
[解析] 时间不是向量，故①不正确.
两个向量相等只要模相等且方向相同即可，而与起点和终点的位置无关，故②不正确.
单位向量的长度为1，当所有单位向量的起点在同一点O时，终点都在以O为圆心，1为半径的圆上，故③正确.
④显然正确，故所有正确命题的序号为③④.
[归纳提升] 解决与向量概念有关问题的关键是突出向量的核心——方向和长度.如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任一向量共线.只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题.
【对点练习】? 下列说法中正确的是
( )
A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
C．向量的大小与方向有关
D．向量的模可以比较大小
[解析] 不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A、B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小，故D正确.
D
[分析] 先确定好向量的起点和终点，用有向线段表示出所求向量.
题型二
向量的几何表示及应用
典例
2
题型三
共线向量与相等向量
典例
3
[归纳提升] 相等向量与共线向量的探求方法
寻找相
等向量
先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线
寻找共
线向量
先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量
①②③
给出下列四个命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|；④若a∥b，b∥c，则a∥c.其中，正确的命题有
( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
[错解] D
[错因分析] 对向量的有关概念的理解错误，将向量的模与绝对值混淆.
易错警示
典例
4
混淆向量的有关概念
A
[正解] ①忽略了0与0的区别，a＝0；②混淆了两个向量的模相等和两个实数相等，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定；③两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等；④当b＝0时，a、c可以为任意向量，故a不一定平行于c.
[误区警示] 明确向量及其相关概念的联系与区别：
(1)区分向量与数量：向量既强调大小，又强调方向，而数量只与大小有关.
(2)零向量和单位向量都是通过模的大小来确定的.零向量的方向是任意的.
(3)平行向量也叫共线向量，当两共线向量的方向相同且模相等时，两向量为相等向量.
【对点练习】? 下列说法正确的是
( )
A．平行向量就是向量所在直线平行的向量
B．长度相等的向量叫相等向量
C．零向量的长度为0
D．共线向量是在一条直线上的向量
[解析] 平行向量所在直线可以平行也可以重合，故A错；长度相等，方向不同的向量不是相等向量，故B错；共线向量即平行向量，不一定在同一条直线上，故D错.故选C．
C
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
