6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1 平面向量基本定理
基础过关练
题组一 对平面向量基本定理的理解
1.下面三种说法中正确的是( )
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底;
②一个平面内有无数对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底;
③零向量不可作为基底中的向量.
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
2.如图,点O为正六边形ABCDEF的中心,其中可作为基底的一对向量是( )
A.,
B.,
C.,
D.,
3.设e1,e2是不共线的两个向量,给出下列四组向量:①e1与e1+e2;②e1-2e2与e2-2e1;③e1-2e2与4e2-2e1;④e1+e2与e1-e2.
其中不能作为平面内所有向量的一组基底的序号是 .?
4.已知向量e1,e2不共线,a=e1+2e2,b=2e1+λe2,要使向量a,b能作为平面内的一组基底,则实数λ的取值范围为 .?
题组二 用基底表示向量
5.在△ABC中,=c,=b,点D满足=2,若将b与c作为一组基底,则=( )
A.b+c
B.c-b
C.b-c
D.b+c
6.如图,已知AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的两个三等分点,=a,=b,则等于( )
A.a-b
B.a-b
C.a+b
D.a+b
7.(2020山东淄博高一期中)设△ABC中BC边上的中线为AD,点O满足=2,则=( )
A.-+
B.-
C.-
D.-+
8.(2020山东泰安高一月考)已知e1,e2是平面内两个不共线的向量,a=3e1-2e2,b=-2e1+e2,c=7e1-4e2,若用向量a和b表示c,则c= .?
题组三 平面向量基本定理的应用
9.(2020辽宁沈阳高一上期末)已知点M是△ABC的边BC的中点,N在线段AM上,且=x+y(x,y∈R),若x+y=,则△NBC的面积与△ABC面积的比值是( )
A.
B.
C.
D.
10.(2020安徽六安第一中学高一上期末)在△ABC中,D为AC边的中点,E为线段BD上一点,且满足=-3,若=λ+μ,则+μ=( )
A.1
B.
C.
D.
11.(2020山东日照高一上期末)已知3=+λ,若A,B,C三点共线,则实数λ= .?
12.在平行四边形ABCD中,E为线段CD的中点,=y,=x,其中x,y∈R,且均不为0.若∥,则= .?
13.(2020辽宁锦州高一上期末)如图,平行四边形ABCD中,E,F分别是AD,AB的中点,G为BE与DF的交点.若=a,=b.
(1)试以a,b为基底表示,;
(2)求证:A,G,C三点共线.
能力提升练
题组一 对平面向量基本定理的理解
1.(多选)()如果e1,e2是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中正确的是( )
A.λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B.对于平面α内任一向量a,使a=λe1+μe2的实数对(λ,μ)有无穷多个
C.若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实数λ,使得λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2)
D.若存在实数λ,μ使得λe1+μe2=0,则λ=μ=0
题组二 平面向量基本定理的应用
2.(2020河南商丘名校高二期中联考,)如图,已知△ABC与△AMN有一个公共顶点A,且MN与BC的交点O平分BC,若=m,AC=n,则+的最小值为( )
A.4
B.
C.+
D.6
3.(2020中国人民大学附属中学高三上期中,)正三角形ABC的边长为2,M为AB的中点,=2,Q是AC上一点,=+λ,则△QBC的面积为( )
A.
B.
C.
D.
4.(多选)(2020山东济南高一下期末,)设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是( )
A.若=+,则点M是BC边的中点
B.若=2-,则点M在线段BC的延长线上
C.若=--,则点M是△ABC的重心
D.若=x+y,且x+y=,则△MBC的面积是△ABC面积的
5.(2020湖南师范大学附属中学高一上期末,)如图,在平行四边形ABCD中,AE=ED,DF=3FC,AF与BE相交于点G,若=λ,则实数λ= .?
6.(2020辽宁本溪高一上期末,)如图,已知||=1,||=2,||=,⊥,∠AOC=30°,若=x+y,则x+y= .?
7.()如图,在△ABC中,AD,BE,CF为△ABC的三条中线,BE,CF交于点O.求证:A,O,D三点共线.深度解析
8.(2020福建泉州一中高一期中,)如图所示,在△ABO中,=,=,AD与BC相交于点M.设=a,=b.
(1)试用向量a,b表示;
(2)在线段AC上取一点E,在线段BD上取一点F,使EF过点M,设=λ,=μ,λ,μ∈R且均不为0,求证:+=7.
答案全解全析
基础过关练
1.B 由于同一个平面内任意两个不共线的向量都可以作为表示这个平面内所有向量的基底,故①是错的,②③是对的,故选B.
2.B 由基底的概念可知,作为基底的一组向量不能共线.由题图可知,与共线,与共线,与共线,均不能作为基底向量,与不共线,可作为基底向量,故选B.
3.答案 ③
解析 ①设e1+e2=λe1(λ∈R),则无解,
∴e1+e2与e1不共线,即{e1,e1+e2}能作为一个基底.
②设e1-2e2=λ(e2-2e1)(λ∈R),则(1+2λ)e1-(2+λ)e2=0,
∴无解,∴e1-2e2与e2-2e1不共线,即{e1-2e2,e2-2e1}能作为一个基底.
③∵e1-2e2=-(4e2-2e1),
∴e1-2e2与4e2-2e1共线,
即{e1-2e2,4e2-2e1}不能作为一个基底.
④设e1+e2=λ(e1-e2)(λ∈R),则(1-λ)·e1+(1+λ)e2=0,
∴无解,∴e1+e2与e1-e2不共线,即{e1+e2,e1-e2}能作为一个基底.
4.答案 (-∞,4)∪(4,+∞)
解析 若a,b能作为平面内的一组基底,则a与b不共线,即a≠kb(k∈R),又a=e1+2e2,b=2e1+λe2,∴λ≠4,∴实数λ的取值范围为(-∞,4)∪(4,+∞).
5.A ∵=2,∴-=2(-),∴-c=2(b-),∴=c+b,故选A.
6.D 连接OC,OD,CD,如图,由点C,D是半圆弧的两个三等分点,可得∠AOC=∠COD=∠BOD=60°,且△OAC和△OCD均为边长等于圆O半径的等边三角形,所以四边形OACD为菱形,所以=+=+=a+b,故选D.
7.A 如图所示:
∵D为BC的中点,∴=+.
∵=2,∴==+,
∴=-=-=-+.故选A.
8.答案 a-2b
解析 易知a,b不共线,所以设c=xa+yb(x,y∈R),则xa+yb=x(3e1-2e2)+y(-2e1+e2)=(3x-2y)e1+(-2x+y)e2=7e1-4e2.又因为e1,e2不共线,所以解得所以c=a-2b.
9.C 如图.设D、E分别为AB、AC的中点,则=2,=2,
∴=x+y=2x+2y,
∵x+y=,∴2x+2y=1,
∴N、D、E三点共线,
∴=,故选C.
10.B 如图所示,
=+=-=-·(-)=-×+=+.
∵=λ+μ,
∴λ=,μ=,∴+μ=.
11.答案 2
解析 由3=+λ,得=+,∵A,B,C三点共线,∴+=1,∴λ=2.
12.答案
解析 =-=x-y.
由∥,可设=λ(λ∈R),
所以x-y=λ=λ(-)
=λ=-+λ,
所以则=.
13.解析 (1)=-=-=b-a,=-=-=a-b.
(2)证明:∵D,G,F三点共线,
∴=λ,λ∈(0,1),
∴=+=+λ=b+λ·=λa+(1-λ)b.
∵B,G,E三点共线,
∴=μ,μ∈(0,1),
∴=+=+μ=a+μ·=(1-μ)a+μb.
由平面向量基本定理知
解得λ=μ=,
∴=(a+b)=,
∴A,G,C三点共线.
能力提升练
1.AD 由平面向量基本定理可知A、D正确;
对于B,由平面向量基本定理可知,如果一个平面的基底确定,那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的;
对于C,当满足λ1=λ2=μ1=μ2=0时,这样的λ有无数个.故选AD.
2.C 因为O为BC的中点,所以=(+),又=m,=n,所以=+.因为M,O,N三点共线,所以+=1,即m+n=2,易知m>0,n>0,所以+=·=+++1=+≥+2=+,当且仅当即时取等号.故+的最小值为+.故选C.
3.D =+λ=×+,由A,Q,C三点共线,得+=1?λ=,
即=+,
即+=+(+)?=,
故S△QBC=S△ABC=××22=.
故选D.
4.ACD 选项A,=+?-=-,即=,则点M是BC边的中点.
选项B,=2-?-=-,
∴=,则点M在线段CB的延长线上,所以B错误.
选项C,设BC的中点为D,则=--=+=2,由重心性质可知C成立.
选项D,=x+y,且x+y=?2=2x+2y,且2x+2y=1,设=2,
则=2x+2y,2x+2y=1,可知B,C,D三点共线,所以△MBC的面积是△ABC面积的.故选ACD.
5.答案
解析 取=a,=b为平行四边形所在平面的一组基向量.由题知====a+b.因为E,G,B三点共线,所以可设=μ,μ∈(0,1),则=+=+μ(-)=μa+b.所以=μ且=,解得λ=.
6.答案
解析 过点C作OA的平行线,交OB于点D.
∵∠AOC=30°,∴∠OCD=30°.
在Rt△OCD中,∠COD=90°,|OC|=,
∴||=2,||=1,
又∵||=1,||=2,
∴=2,=,
∴=+=+2.
又=x+y,∴x=2,y=.
∴x+y=2+=.
7.证明 ∵AD是△ABC的中线,
∴=(+).
设=λ,=μ,其中λ,μ∈R,
则=+=+λ=+λ(-)=λ+,
=+=+μ=+μ(-)=+μ,
∴解得λ=,
∴=(+)=.
∴∥.∵与有公共点A,
∴A,O,D三点共线.
关键思想
由平面向量基本定理可知,平面中任意向量都可以用某一个基底表示出来,从而减少了未知向量的个数,这实质上应用了消元的思想.
8.解析 (1)不妨设=ma+nb(m,n∈R).由于A,D,M三点共线,所以存在实数α(α≠-1)使得=α,所以+=α(+),
于是=.
又=,所以==a+b,
所以即m+2n=1.①
由于B,C,M三点共线,所以存在实数β(β≠-1)使得=β,即+=β(+),于是=.又=,
所以==a+b,
所以即4m+n=1.②
由①②可得m=,n=,所以=a+b.
(2)证明:由于E,M,F三点共线,所以存在实数η(η≠-1)使得=η,即+=η(+),于是=.
又=λ,=μ,
所以==a+b,所以a+b=a+b,则消去η,得+=7.(共37张PPT)
第六章
平面向量及其应用
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1 平面向量基本定理
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量.(直观想象)
2．能够灵活运用平面向量基本定理解决相关问题.(数据分析)
1．平面向量基本定理沟通了数与形，同时也进一步提出了基底的思想，在学习时要善于类比生活中的实例，如人民币的基本组成，一些社会架构组成的基本单位等.
2．在学习平面向量基本定理时要善于结合四边形法则来理解，同时要结合充要条件来加以理解.
3．要充分利用平面直角坐标系来加强对平面向量正交分解的理解.
必备知识·探新知
如果e1，e2是同一平面内的两个_________向量，那么对于这一平面内的_______向量a，_______________实数λ1，λ2，使a＝_____________.
平面向量的基本定理
知识点1
不共线
任一
有且只有一对
λ1e1＋λ2e2
若e1，e2_________，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内_______向量的一个基底.
基底
知识点2
不共线
所有
[知识解读] 对平面向量基本定理的理解
(1)基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底.同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的.
(2)基底给定时，分解形式唯一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数值.
(3)e1，e2是同一平面内所有向量的一组基底，则当a与e1共线时，λ2＝0；当a与e2共线时，λ1＝0；当a＝0时，λ1＝λ2＝0．
(4)由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一
对基底概念的理解
典例
1
BC
[分析] 应用平面向量基本定理解题时，要抓住基向量e1与e2不共线和平面内向量a用基底e1、e2表示的唯一性求解.
[解析] 由平面向量基本定理可知，A、D是正确的.对于B，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的.对于C，当λ1λ2＝0或μ1μ2＝0时不一定成立，应为λ1μ2－λ2μ1＝0．故选BC．
[归纳提升] (1)对于平面内任一向量都可以用两个不共线的向量来表示；反之，平面内的任一向量也可以分解成两个不共线的向量的和的形式.
(2)向量的基底是指平面内不共线的两个向量，事实上若e1，e2是基底，则必有e1≠0，e2≠0且e1与e2不共线，如0与e1，e1与2e1，e1＋e2与2(e1＋e2)等，均不能构成基底.
【对点练习】? (1)如果e1，e2是平面内所有向量的一组基底，那么
( )
A．若实数m、n使得me1＋ne2＝0，则m＝n＝0
B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2为实数
C．对于实数m、n，me1＋ne2不一定在此平面上
D．对于平面内的某一向量a，存在两对以上的实数m，n，使a＝me1＋ne2
A
(2)设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2．其中不能作为平面内所有向量的一组基底的是_____.(写出所有满足条件的序号)
③
题型二
用基底表示向量
典例
2
①②③
[分析] 用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则.
[归纳提升] 用基底表示向量的三个依据和两个“模型”
(1)依据：①向量加法的三角形法则和平行四边形法则；
②向量减法的几何意义；
③数乘向量的几何意义.
(2)模型：
A
如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP︰PM与BP︰PN的值.
题型三
平面向量基本定理的应用
典例
3
当λ1e1＋λ2e2＝0时
恒有λ1＝λ2＝0
若a＝λ1e1＋λ2e2
当λ2＝0时，a与e1共线
当λ1＝0时，a与e2共线
λ1＝λ2＝0时，a＝0
易错警示
典例
4
忽视平面向量基本定理的使用条件致误
[错因分析] 本题可以根据向量共线的充要条件列出等式解决，但在得出等式后根据平面向量基本定理列式解决时，容易忽视平面向量基本定理的使用条件，出现漏解，漏掉了当a，b共线时，t可为任意实数这个解.
[误区警示] 当条件不明确时要分类讨论.
【对点练习】? 已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y等于____.
3
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
