(共36张PPT)
第六章
平面向量及其应用
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．理解数乘向量的坐标运算和法则.(数学运算)
2．理解用坐标表示向量共线的条件.(数据分析)
数乘运算的结果仍然是向量，所以数乘运算的结果也仍然是坐标.通过坐标的计算来处理向量的共线问题，体现了向量代数与几何的完美结合.
必备知识·探新知
设向量a＝(x，y)，则有λa＝___________，这就是说实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
平面向量数乘运算的坐标表示
知识点1
(λx，λy)
利用向量平行的坐标运算解决共线问题时可减少运算量且思路简单明快
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0．向量a，b(b≠0)共线的充要条件是________________.
平面向量共线的坐标表示
知识点2
x1y2－x2y1＝0
中点坐标公式
知识点3
[知识解读] 两个向量共线条件的三种表示方法
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
(1)当b≠0时，a＝λb.
这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系.
(2)x1y2－x2y1＝0．
这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数的个数，而且使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征.
关键能力·攻重难
[分析] 可先进行数乘向量的坐标运算，再进行向量坐标加减运算.
题型探究
题型一
向量的坐标运算
典例
1
[归纳提升] 向量的坐标运算主要是利用加、减运算法则及数乘运算进行，解题时要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.
A
题型二
向量平行(共线)的判定
典例
2
B
[归纳提升] 1．向量共线的判定方法
2．利用向量平行的条件求参数值的思路
(1)利用共线向量定理a＝λb(b≠0)列方程组求解.
(2)利用向量平行的坐标表达式直接求解.
题型三
三点共线的判定及应用
典例
3
已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O(0,0)，求直线AC与OB交点P的坐标.
题型四
向量法在解析几何中的应用
典例
4
[分析] (1)AC与OB相交于点P，则必有O，P，B三点共线和A，P，C三点共线；(2)根据O，P，B三点共线可得到点P坐标应满足的关系，再根据A，P，C三点共线即可求得点P坐标.
[归纳提升] 应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤：
首先分析题意，将题目中有关的点坐标化，线段向量化，再利用题目条件，寻找向量关系，列出方程(组)求出有关变量，最后回归到几何问题中.
已知a＝(3,2－m)与b＝(m，－m)平行，求m的值.
易错警示
典例
5
处理向量共线时，忽视零向量的特殊情况
[正解] ∵a∥b，∴3(－m)－(2－m)m＝0，解得m＝0或m＝5．
[解析] 由a∥b得：－(4m＋5)－m＝0，－5m－5＝0，解得m＝－1．
A
课堂检测·固双基
素养作业·提技能6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
基础过关练
题组一 平面向量的正交分解及坐标表示
1.已知=(-2,4),则下面说法正确的是( )
A.A点的坐标是(-2,4)
B.B点的坐标是(-2,4)
C.当B点是原点时,A点的坐标是(-2,4)
D.当A点是原点时,B点的坐标是(-2,4)
2.(2020山东威海文登高一下期中)如图所示,{e1,e2}为单位正交基底,则向量a,b的坐标分别是( )
A.(3,4),(2,-2)
B.(2,3),(-2,-3)
C.(2,3),(2,-2)
D.(3,4),(-2,-3)
3.如果用i,j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量,且A(2,3),B(4,2),则可以表示为( )
A.2i+3j
B.4i+2j
C.2i-j
D.-2i+j
4.在平面直角坐标系中,|a|=2
020,a与x轴正半轴的夹角为,则向量a= .?
题组二 平面向量的加、减运算的坐标表示
5.(2020辽宁沈阳高一上期末)已知向量a=(2,1),b=(-4,-2),则a+b=( )
A.(-2,-1)
B.(2,1)
C.(3,-1)
D.(-3,1)
6.已知点A(1,0),B(3,2),向量=(2,1),则向量=( )
A.(0,-1)
B.(1,-1)
C.(1,0)
D.(-1,0)
7.若向量a=(2x-1,x2+3x-3)与相等,且A(1,3),B(2,4),则x的值为( )
A.1
B.1或4
C.0
D.-4
8.在平行四边形ABCD中,=(2,4),=(1,3),则的坐标为 .?
题组三 平面向量数乘运算的坐标表示
9.(2020四川成都七中高一月考)在平面直角坐标系中,向量a=(2,-1),b=(1,3),则2a+b=( )
A.(3,2)
B.(5,1)
C.(4,5)
D.(3,-5)
10.(2020重庆一中高一下月考)已知a=(5,-2),b=(-4,-3),c=(x,y),若a-2b+3c=0,则c=( )
A.
B.
C.
D.
11.(多选)已知向量e1=(-1,2),e2=(2,1),若向量a=λ1e1+λ2e2,则使λ1λ2<0成立的a可能是( )
A.(1,0)
B.(0,1)
C.(-1,0)
D.(0,-1)
12.(2020辽宁铁岭高一上期末)已知点A(-1,2),B(2,8),=,=-,求点C,点D和向量的坐标.
题组四 平面向量共线的坐标表示
13.(2020陕西汉中龙岗中学高一上期末)已知向量a=与非零向量b=(x2,2x)共线,则实数x的值为( )
A.-3
B.-3或0
C.0
D.3
14.(2020安徽滁州九校高一上期末联考)已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4),若(a+λb)∥c,则实数λ=( )
A.2
B.1
C.
D.
15.下列各组向量中,可以作为基底的是( )
A.e1=(0,0),e2=(1,-2)
B.e1=(-1,2),e2=(5,7)
C.e1=(3,5),e2=(6,10)
D.e1=(2,-3),e2=(4,-6)
16.(2020浙江温州高一上期末)已知向量a=(2,1),b=(-1,3),c=(x,y).
(1)若a+b+c=0,求实数x,y的值;
(2)若非零向量c与a-b共线,求的值.
能力提升练
题组一 平面向量加、减以及数乘运算的坐标表示及应用
1.(2020北京首师大附中高一上期末,)如图,正方形ABCD中,E为DC的中点,若=λ+μ,则λ-μ的值为( )
A.3
B.2
C.1
D.-3
2.(2020广西百色高一上期末,)如图,已知A(-3,0),B(0,2),O为坐标原点,点C在第二象限内,且∠AOC=45°,设=λ+(1-λ)(λ∈R),则λ的值为( )
A.
B.
C.
D.
3.()已知集合M={a|a=(1,2)+λ1(3,4),λ1∈R},N={a|a=(-2,-2)+λ2(4,5),λ2∈R},则M∩N等于( )
A.{(1,2)}
B.{(1,2),(-2,-2)}
C.{(-2,-2)}
D.?
4.(2020重庆北碚实验中学高一上期末,)如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为α,且tan
α=7,与的夹角为45°.若=m+n(m,n∈R),则m+n= .?
5.()设向量a=(λ+2,λ2-cos2θ),b=,其中λ,μ,θ∈R.若a=2b,则的最小值为 .?
题组二 平面向量共线的坐标表示
6.(2020湖北部分重点中学高三上期末,)设向量=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),其中O为坐标原点,a>0,b>0,若A,B,C三点共线,则+的最小值为( )
A.4
B.6
C.8
D.9
7.(2020山东泰安第二中学高一下期中,)(1)若a=(2cos
α,1),b=(sin
α-,-1),且a∥b,求tan
α;
(2)已知O为坐标原点,点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC与OB的交点P的坐标.
8.()已知A,B,C的坐标分别为(0,0),(-1,1),(cos
α,sin
α),α∈(0,π).
(1)若A,B,C三点共线,求角α的值;
(2)若D(s,t),且四边形ABCD为平行四边形,求s+t的取值范围.
答案全解全析
基础过关练
1.D 由平面向量的坐标表示方法可知,当A点是原点时,B点的坐标是(-2,4).
2.C 根据直角坐标系,可知a=2e2+3e1,b=2e2-2e1,∴a=(2,3),b=(2,-2).故选C.
3.C 记O为坐标原点,则=2i+3j,=4i+2j,所以=-=2i-j.
4.答案 (1
010,±1
010)
解析 设a=(x,y),则x=2
020cos
=1
010,|y|=2
020sin
=1
010,
故a=(1
010,±1
010).
5.A ∵a=(2,1),b=(-4,-2),
∴a+b=(-2,-1),故选A.
6.A ∵A(1,0),B(3,2),∴=(2,2).
∵=(2,1),∴=-=(0,-1),故选A.
7.A 由已知得,=(2-1,4-3)=(1,1),
∵a=(2x-1,x2+3x-3)与相等,
∴解得x=1,故选A.
8.答案 (-3,-5)
解析 由题意可得==-=(1,3)-(2,4)=(-1,-1),∴=-=(-1,-1)-(2,4)=(-3,-5).
9.B ∵a=(2,-1),b=(1,3),
∴2a+b=2(2,-1)+(1,3)=(5,1).故选B.
10.D a-2b+3c=(5,-2)-2(-4,-3)+3(x,y)=(13+3x,4+3y)=0,
所以解得
即c=-,-.
11.AC 设a=(x,y).
∵a=λ1e1+λ2e2,
∴(x,y)=λ1(-1,2)+λ2(2,1),
∴解得
对于A选项,λ1=-,λ2=,λ1λ2<0,A符合;
对于B选项,λ1=,λ2=,λ1λ2>0,B不符合;
对于C选项,λ1=,λ2=-,λ1λ2<0,C符合;
对于D选项,λ1=-,λ2=-,λ1λ2>0,D不符合.
故选AC.
12.解析 设C=(x1,y1),D=(x2,y2).
∵A(-1,2),B(2,8),
∴=(x1+1,y1-2),=(-1-x2,2-y2),=(3,6).
∵=,
∴(x1+1,y1-2)=(3,6)=(1,2),
∴∴
∴C点坐标为(0,4).
∵=-=,
∴(-1-x2,2-y2)=(3,6)=(1,2),
∴∴
∴D点坐标为(-2,0).
∴=(-2,-4).
13.A ∵向量a=与非零向量b=(x2,2x)共线,
∴2x-x2=0,即x2+3x=0,
解得x=-3或x=0(舍去),
∴实数x的值为-3.
14.C 由题意得,a+λb=(1+λ,2)和c=(3,4)平行,故(1+λ)·4-2×3=0,解得λ=.故选C.
15.B 对于A,∵e1=(0,0)与e2=(1,-2)共线,∴A不符合;
对于B,∵e1=(-1,2),e2=(5,7),
∴-1×7-2×5≠0,
∴向量e1与e2不共线,∴B符合;
对于C,∵e1=(3,5),e2=(6,10),∴3×10-5×6=0,∴向量e1∥e2,∴C不符合;
对于D,∵e1=(2,-3),e2=(4,-6),
∴2×(-6)-(-3)×4=0,
∴向量e1∥e2,∴D不符合.
16.解析 (1)由题意可知c=-(a+b),
∴c=-(1,4)=(-1,-4),
即x=-1,y=-4.
(2)由题意得a-b=(3,-2),
∵c∥(a-b),∴-2x-3y=0,
即=-.
能力提升练
1.D 如图,建立平面直角坐标系.
设AB=2,则A(0,0),C(2,2),D(0,2),E(1,2),
∴=(0,2),=(2,2),=(1,2),
∵=λ+μ,
∴(0,2)=λ(2,2)+μ(1,2),
∴∴
∴λ-μ=-3,故选D.
2.C ∵A(-3,0),B(0,2),∴=λ+(1-λ)=(-3λ,2-2λ),∴C(-3λ,2-2λ).
又∵∠AOC=45°,点C在第二象限内,
∴2-2λ=3λ,∴λ=.
3.C 令(1,2)+λ1(3,4)=(-2,-2)+λ2(4,5),
即(1+3λ1,2+4λ1)=(-2+4λ2,-2+5λ2),
∴解得
故M与N只有一个公共元素(-2,-2),即M∩N={(-2,-2)}.
4.答案 3
解析 如图所示,建立平面直角坐标系.
由题得A(1,0),=(1,0).
∵与的夹角为α,且tan
α=7,
∴cos
α=,sin
α=,
又∵||=,∴C,即=.
∵cos(α+45°)=(cos
α-sin
α)=-,
sin(α+45°)=(sin
α+cos
α)=,
∴B,即=.
∵=m+n(m,n∈R),
∴解得∴m+n=3.
5.答案 -6
解析 ∵a=2b,
∴消去λ,得4μ2-9μ+4=cos2θ+2sin
θ=-sin2θ+2sin
θ+1=
-(sin
θ-1)2+2,又-2≤-(sin
θ-1)2+2≤2,∴-2≤4μ2-9μ+4≤2,解得≤μ≤2,∴≤≤4,
∴-8≤-≤-1.又λ=2μ-2,∴=2-,则-6≤≤1,故的最小值为-6.
6.C ∵=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),
∴=-=(a-1,1),=-=(-b-1,2).
∵A,B,C三点共线,∴与为共线向量,
∴2(a-1)-(-b-1)=0,即2a+b=1.
∵a>0,b>0,
∴+=(2a+b)
=2+2++≥4+2=8,
当且仅当=,即a=,b=时取等号,故+的最小值为8,故选C.
7.解析 (1)∵a∥b,∴-2cos
α-(sin
α-)=0,∴sin
α+2cos
α=,
∴sin2α+4sin
αcos
α+4cos2α=5,
∵sin2α+cos2α=1,
∴=5,
∴=5,
即4tan2α-4tan
α+1=0,
∴(2tan
α-1)2=0,∴tan
α=.
(2)解法一:由O,P,B三点共线,可设=λ=(4λ,4λ),λ∈(0,1),则=-=(4λ-4,4λ),=-=(-2,6).
由与共线,得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0,解得λ=,所以==(3,3),所以点P的坐标为(3,3).
解法二:设P(x,y),则=(x,y),因为=(4,4),且与共线,所以=,即x=y.
又=(x-4,y),=(-2,6),且与共线,所以(x-4)×6-y×(-2)=0,解得x=y=3,所以点P的坐标为(3,3).
8.解析 (1)∵A,B,C三点共线,∴∥.
又=(-1,1),=(cos
α,sin
α),
∴-sin
α-cos
α=0,即tan
α=-1,
∵α∈(0,π),∴α=.
(2)∵四边形ABCD为平行四边形,
∴=,
又∵=(-1,1),=(cos
α-s,sin
α-t),
∴cos
α-s=-1,sin
α-t=1,
∴s=cos
α+1,t=sin
α-1,
∴s+t=sin
α+cos
α=sin.
∵α∈(0,π),∴α+∈,
∴sin∈,
∴sin∈(-1,],
即s+t的取值范围是(-1,].(共35张PPT)
第六章
平面向量及其应用
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.(逻辑推理)
2．理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差的坐标运算法则.(数学运算)
1．平面向量运算的坐标表示依然可以类比数的运算来学习，注意坐标运算的二维特征.
2．由于使用了正交分解，因此平面向量的坐标运算其实是同名坐标之间的运算.
必备知识·探新知
1．平面向量正交分解的定义
把一个向量分解为两个_______的向量，叫做把向量作正交分解.
2．平面向量的坐标表示
(1)定义：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个___________分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝_________.我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).此式叫做向量a的坐标表示.
(2)特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).
平面向量的正交分解及坐标表示
知识点
垂直
单位向量
(x，y)
[知识解读] 点的坐标与向量坐标的区别和联系
点的坐标反映的是点的位置，而向量的坐标反映的是向量的大小和方向，向量仅由大小和方向决定，与位置无关.
1．联系：(1)当且仅当向量的起点为原点时，向量终点的坐标等于向量本身的坐标.
2．区别：(1)书写不同，如a＝(1,2)，A(1,2).
(2)给定一个向量，它的坐标是唯一的；给定一个有序实数对，由于向量可以平移，故以这个有序实数对为坐标的向
量有无穷多个.因此，符号(x，y)在平面直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量.为了加以区分，在叙述中，常说点(x，y)或向量(x，y).
3．平面向量的坐标运算
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：
?
文字描述
符号表示
加法
两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的_____
a＋b＝___________________
减法
两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的_____
a－b＝___________________
和
(x1＋x2，y1＋y2)
差
(x1－x2，y1－y2)
相应坐标
(λx1，λy1)
(x2－x1，y2－y1)
关键能力·攻重难
题型探究
题型一
平面向量的坐标表示
典例
1
A
题型二
平面向量的坐标运算
典例
2
[归纳提升] 平面向量坐标运算的技巧
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行.
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.
(3)向量的线性坐标运算可完全类比实数的运算进行.
A
已知平面上三点的坐标分别为A(－2,1)，B(－1，3)，C(3,4)，求点D的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点.
[分析] 利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，进而求出D点的坐标.
题型三
平面向量坐标运算的综合应用
典例
3
[归纳提升] 平行四边形顶点坐标的求解
(1)已知平行四边形的三个顶点的坐标求第四个顶点的坐标主要是利用平行四边形的对边平行且相等这个性质，则其对应的向量相等，即向量的坐标相等.
(2)当平行四边形的顶点顺序未确定时，要分类讨论.
D
易错警示
典例
4
误把向量的坐标当作点的坐标
[误区警示] 向量的坐标反映的是向量的长度和向量的方向，与终点坐标无关，只有当向量的始点是坐标原点时，向量的坐标与终点的坐标才是一致的.
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
