6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
基础过关练
题组一 向量数量积的坐标运算
1.(2019北京师范大学附属中学高一期中)设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c=( )
A.12
B.0
C.-3
D.-11
2.已知a=(cos
75°,sin
15°),b=(cos
15°,sin
75°),则a·b的值为( )
A.0
B.
C.
D.1
3.已知向量a=(1,-1),b=(2,x),若a·b=1,则x=( )
A.-1
B.-
C.
D.1
4.已知=(2,2),=(4,1),=(x,0),则当·的值最小时,x的值是( )
A.-3
B.3
C.-1
D.1
5.已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),方向上的单位向量为e,则向量在上的投影向量为 .?
题组二 向量的模
6.已知点A(1,-1),B(-2,3),则与向量方向相同的单位向量为( )
A.
B.
C.
D.
7.(2020广东惠州高一上期末)已知向量a=(1,1),向量b=(2,0),则|a+3b|= .?
8.(2020北京西城高一上期末)已知向量a=(1,-2),b=(-3,m),其中m∈R.若a,b共线,则|b|= .?
9.已知向量a=(x,2),b=(-1,1),若|a-b|=|a+b|,则x的值为 .?
10.在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,求|+3|的最小值.
题组三 向量的夹角
11.已知向量a=(1,-),b=(0,-2),则a与b的夹角为( )
A.
B.
C.
D.
12.已知向量a=,|b|=2,若a·(b-a)=2,则向量a与b的夹角为( )
A.
B.
C.
D.
13.(2020北京首师大附中高一上期末)已知向量a,b在正方形网格中的位置如图所示,那么向量a,b的夹角为( )
A.45°
B.60°
C.90°
D.135°
14.(2020吉林长春外国语学校高二上期末)已知向量a=(2,t),b=(-1,3),若a,b的夹角为钝角,则t的取值范围是( )
A.t<
B.t>
C.t<且t≠-6
D.t<-6
题组四 向量的垂直
15.已知i=(1,0),j=(0,1),则下列与2i+3j垂直的向量是( )
A.3i+2j
B.-2i+3j
C.-3i+2j
D.2i-3j
16.(2020广西柳州高级中学高二上期末)已知平面向量a=(1,-3),b=(4,-2),若λa+b与a垂直,则λ=( )
A.-1
B.1
C.-2
D.2
17.已知平面向量a=(1,1),b=(x,-3),且a⊥b,则|a+2b|=( )
A.
B.7
C.2
D.5
18.已知向量a=(2,m),b=(4,-2),且(a+b)⊥(a-b),则实数m= .?
19.已知a=(2,0),b=(3,1).
(1)当k为何值时,ka-b与a+2b垂直;
(2)若=5a-2b,=a+mb,且A,B,C三点共线,求m的值.
能力提升练
题组一 向量的模、夹角与向量的垂直
1.(2020山东枣庄三中高一期中,)下列向量中,一定是单位向量的有( )
①a=(cos
θ,-sin
θ);②b=(,);③c=(2x,2-x);④d=(1-x,x).
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.(2020河北衡水武邑中学高一期中,)已知向量a=(1,1),b=(1,m),其中m为实数,当两向量的夹角在内变动时,m的取值范围是( )
A.(0,1)
B.
C.∪(1,)
D.(1,)
3.()如图,以AB为直径在正方形ABCD内部作半圆O,P为半圆上与A,B不重合的一动点,下面关于|+++|的说法正确的是(深度解析)
A.无最大值,但有最小值
B.既有最大值,又有最小值
C.有最大值,但无最小值
D.既无最大值,又无最小值
4.()若=(cos
θ,-1),=(2cos
θ,2sin
θ),其中θ∈[0,π],则||的最大值为 .?
5.(2020河南九师商周联盟高二联考,)已知p:x-a<0,q:向量a=(2,-1)与b=(3,x)的夹角为锐角.若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围为 .易错?
题组二 向量数量积的坐标表示的综合应用
6.(2020北京四中高三下统练,)函数y=tan的部分图象如图所示,则(+)·=( )
A.6
B.5
C.4
D.3
7.(2020浙江温州高一上期末,)已知等边△ABC的边长为2,M为BC的中点,若|-t|≥2,则实数t的取值范围为( )
A.[1,2]
B.[0,2]
C.(-∞,0]∪[2,+∞)
D.(-∞,-1]∪[2,+∞)
8.()已知向量a=(3,2),b=,且函数f(x)=(a+xb)·(xa-b)的图象是一条直线,则|b|=( )
A.
B.
C.2
D.2
9.(2020江西上饶高一期末,)如图,已知矩形ABCD中,AB=3,BC=2,该矩形内一点P满足||=1,记I1=·,I2=·,I3=·,则( )
A.存在点P,使得I1=I2
B.存在点P,使得I1=I3
C.对任意的点P,有I2>I1
D.对任意的点P,有I3>I1
10.()定义f(x)=x-2(a·x)·a,给出下列四个向量:①a=(0,0),②a=,③a=,④a=.对于任意非零向量x,y,使f(x)·f(y)=x·y恒成立的向量a的序号是 .?
11.()已知△OAB的顶点坐标为O(0,0),A(2,9),B(6,-3),点P的横坐标为14,且=λ,点Q是边AB上一点,且·=0.
(1)求实数λ的值与点P的坐标;
(2)求点Q的坐标;
(3)若R为线段OQ(含端点)上的一个动点,试求·(+)的取值范围.
答案全解全析
基础过关练
1.C ∵a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),
∴a+2b=(-5,6),∴(a+2b)·c=-5×3+6×2=-3.
2.B a·b=cos
75°cos
15°+sin
75°sin
15°=cos(75°-15°)=cos
60°=,故选B.
3.D ∵a·b=(1,-1)·(2,x)=2-x=1,
∴x=1.
4.B 由已知可得=-=(x-2,-2),
=-=(x-4,-1),
所以·=(x-2)(x-4)+2=x2-6x+10=(x-3)2+1,故当x=3时,·的值最小.故选B.
5.答案 e
解析 由已知得=(2,1),=(5,5),因此在上的投影向量为e=e=e.
6.A 由题意得=(-3,4).
设与向量方向相同的单位向量为a,则a=λ=λ(-3,4)=(-3λ,4λ),其中λ>0,
所以|a|==1,解得λ=或λ=-(舍去),
所以与向量方向相同的单位向量为a=.故选A.
7.答案 5
解析 由题意得a+3b=(7,1),
所以|a+3b|===5.
8.答案 3
解析 ∵a,b共线,∴m-6=0,即m=6,
∴|b|==3.
9.答案 2
解析 因为a=(x,2),b=(-1,1),
所以a+b=(x-1,3),a-b=(x+1,1).
因为|a-b|=|a+b|,所以=,解得x=2.
10.解析 建立如图所示的平面直角坐标系,
设DC=h,则A(2,0),B(1,h).设P(0,y)(0≤y≤h),则=(2,-y),=(1,h-y),
∴|+3|=≥=5,当且仅当3h=4y,即DP=DC时,等号成立.故|+3|的最小值为5.
11.A 设向量a与向量b的夹角为θ(θ∈[0,π]),
则cos
θ=
==,
所以θ=.故选A.
12.A 由已知可得a2=|a|2=1,a·b-a2=2,所以a·b=3.
设向量a与b的夹角为θ,θ∈[0,π],则cos
θ==,所以θ=.
所以向量a与b的夹角为.故选A.
13.A 将向量b平移,建立如图所示的平面直角坐标系.设每个小正方形网格的边长为1,
则a=(3,1),b=(1,2).
设向量a,b的夹角为θ,则cos
θ===,又因为0°≤θ≤180°,所以θ=45°.故选A.
14.C 由题意得,a·b=-2+3t.
∵a与b的夹角为钝角,
∴a·b<0,且a,b不平行,
∴-2+3t<0且6+t≠0,
解得t<且t≠-6.故选C.
15.C ∵i=(1,0),j=(0,1),
∴2i+3j=(2,3).
对于选项A,3i+2j=(3,2),∵(2i+3j)·(3i+2j)=6+6=12≠0,∴A不符合题意;
对于选项B,-2i+3j=(-2,3),∵(2i+3j)·(-2i+3j)=-4+9=5≠0,∴B不符合题意;
对于选项C,-3i+2j=(-3,2),∵(2i+3j)·(-3i+2j)=-6+6=0,∴2i+3j与-3i+2j垂直,∴C符合题意;
对于选项D,2i-3j=(2,-3),∵(2i+3j)·(2i-3j)=4-9=-5≠0,∴D不符合题意.
故选C.
16.A 由题意可得λa+b=(λ+4,-3λ-2),
∵λa+b与a垂直,∴(λa+b)·a=λ+4+9λ+6=0,∴λ=-1.故选A.
17.A ∵a=(1,1),b=(x,-3),a⊥b,
∴a·b=x-3=0,∴x=3,b=(3,-3),
∴a+2b=(7,-5),
∴|a+2b|==,故选A.
18.答案 ±4
解析 ∵a=(2,m),b=(4,-2),
∴a+b=(6,m-2),a-b=(-2,m+2).
又∵(a+b)⊥(a-b),
∴(a+b)·(a-b)=6×(-2)+(m-2)(m+2)=0,∴m2=16,
∴m=±4.
19.解析 (1)因为a=(2,0),b=(3,1),
所以ka-b=(2k-3,-1),a+2b=(8,2),
由ka-b与a+2b垂直,得8(2k-3)+(-1)×2=0,所以k=.
(2)由题得=5a-2b=(4,-2),=a+mb=(2+3m,m),
因为A,B,C三点共线,所以,共线.
从而4m+2(2+3m)=0,
解得m=-.
能力提升练
B
1.B
|a|=1,|b|=1,|c|=≥,|d|===≥,所以一定是单位向量的有2个.故选B.
2.C 设向量a,b的起点均为O(O为坐标原点),终点分别为A,B.由题意可知,=(1,1),即A(1,1).如图所示,当点B位于B1或B2时,a与b的夹角为,即∠AOB1=∠AOB2=,此时∠B1Ox=-=,∠B2Ox=+=,故B1,B2(1,),又a与b的夹角不为零,故m≠1.所以m的取值范围是∪(1,).
3.A 设正方形的边长为2.建立如图所示的平面直角坐标系,连接OP,
则C(1,2),D(-1,2),||=1,
设P(cos
θ,sin
θ),其中0<θ<π,
则+++=2++=(-2cos
θ,-2sin
θ)+(1-cos
θ,2-sin
θ)+(-1-cos
θ,2-sin
θ)
=(-4cos
θ,4-4sin
θ),
∴|+++|
=
=,
∵θ∈(0,π),∴sin
θ∈(0,1],
∴|+++|∈[0,4).故选A.
导师点睛
本题考查了向量的加法及向量模的计算,利用建系、坐标表示的方法,通过引入三角函数使问题变得思路清晰,计算简便.遇见正方形、圆、等边三角形、直角三角形等特殊图形常用建系的方法.
4.答案 3
解析 由题意可得,=-=(cos
θ,2sin
θ+1),
所以=cos
2θ+(2sin
θ+1)2=3sin
2θ+4sin
θ+2=3+,因为θ∈[0,π],所以sin
θ∈[0,1],所以当sin
θ=1时,||2取得最大值
9,所以||的最大值为3.
5.答案
解析 由题意知,p:x-a<0,即x
q:向量a=(2,-1)与b=(3,x)的夹角为锐角,即a·b>0,且a与b不共线,
∴∴x<6且x≠-.
∵p是q的充分不必要条件,
∴a≤-,故a的取值范围为.
易错警示
本题答案易错写为a≤6,要注意q中x的取值范围为x<6且x≠-,即q中x的值不能取-,所以要满足p是q的充分不必要条件,实数a的取值范围应为.
6.A 令y=tan=0,即x-=kπ,k∈Z,当k=0时,解得x=2;令y=tan=1,即x-=+kπ,k∈Z,当k=0时,解得x=3.
∴A(2,0),B(3,1),
∴=(2,0),=(3,1),=(1,1),
∴(+)·=5+1=6.
7.C 如图所示,建立平面直角坐标系.
∵等边△ABC的边长为2,
∴M(0,0),A(0,),B(-1,0).
∴=(-1,-),=(0,-),
∴-t=(-1,-+t),
∴|-t|=≥2,化简,得t2-2t≥0,
∴t≥2或t≤0,故选C.
8.A f(x)=(a+xb)·(xa-b)=x|a|2-a·b+x2a·b-x|b|2,因为函数f(x)的图象是一条直线,所以a·b=0,且|a|2≠|b|2,所以3×(-1)+2×=0且13≠1+,解得m=-2,所以b=,|b|==.
9.C 如图,以C为原点,CD、CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,
则C(0,0),A(-3,-2),B(0,-2),D(-3,0),∴=(3,0),=(3,2),=(0,2).
∵||=1,且P在矩形内,∴P在第三象限,设P(cos
α,sin
α),∴=(cos
α+3,sin
α+2),I1=·=3cos
α+9,I2=·=3cos
α+2sin
α+13,I3=·=2sin
α+4,
∴I2-I1=2sin
α+4>0,即I2>I1,故A错误,C正确;I3-I1=2sin
α-3cos
α-5=sin(α-θ)-5<0,即I310.答案 ①③④
解析 当a=(0,0)时,
f(x)=x,
f(y)=y,满足f(x)·f(y)=x·y,故①满足题意;
当a≠0时,
f(x)·f(y)=[x-2(a·x)·a]·[y-2(a·y)·a]=x·y-4(a·x)·(a·y)+4(a·x)·(a·y)·a2,
要满足f(x)·f(y)=x·y,
需满足4(a·x)·(a·y)·a2=4(a·x)·(a·y),∴a2=1,
②中,a2=+=,不满足题意;③中,a2=+=1,满足题意;④中,a2=+=1,满足题意.
故符合题意的序号为①③④.
11.解析 (1)设P(14,y),则=(14,y),
=(-8,-3-y),由=λ,得(14,y)=λ(-8,-3-y),解得λ=-,y=-7,
∴点P的坐标为(14,-7).
(2)设Q(a,b),则=(a,b),
由(1)得=(12,-16),
∵·=0,
∴12a-16b=0,即3a-4b=0.①
∵点Q在边AB上,∴∥,
又=(4,-12),=(a-2,b-9),
∴4(b-9)+12(a-2)=0,即3a+b-15=0.②
联立①②,解得a=4,b=3,
∴Q点坐标为(4,3).
(3)由(2)得=(4,3),∵R为线段OQ上的一个动点,∴设=t=(4t,3t),且0≤t≤1,则R(4t,3t),=(-4t,-3t),=(2-4t,9-3t),=(6-4t,-3-3t),
∴+=(8-8t,6-6t),
∴·(+)=-4t·(8-8t)-3t·(6-6t)=50t2-50t=50-(0≤t≤1),当t=0或1时,上式取得最大值0;当t=时,上式取得最小值-.
故·(+)的取值范围为.(共35张PPT)
第六章
平面向量及其应用
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算.(数学运算)
2．能够利用向量的数量积解决模长、夹角等问题.(数学运算)
通过推导数量积的坐标运算及求夹角和模及向量垂直的判断中，加深对数量积的坐标运算的理解，两向量垂直的坐标表示可以与平行的坐标表示进行类比.
必备知识·探新知
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示
知识点1
数量积
两个向量的数量积等于_________________________，即a·b＝_____________
两个向量垂直
a⊥b?________________
它们对应坐标的乘积的和
x1x2＋y1y2
x1x2＋y1y2＝0
[知识解读] 1．公式a·b＝|a||b|cos?a，b?与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导.若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解.
2．已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b与a⊥b的坐标表示如下：
a∥b?x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0；
a⊥b?x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0．
两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则有
下表：
平面向量的模与夹角的坐标表示
知识点2
关键能力·攻重难
(1)设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝
( )
A．12
B．0
C．－3
D．－11
题型探究
题型一
平面向量数量积的坐标运算
典例
1
C
(2)已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x＝
( )
A．6
B．5
C．4
D．3
(3)已知a＝(2，－1)，a＋2b＝(6,3)，若b·c＝14，|c|＝5，则向量c的坐标为_________________.
C
(3,4)或(4,3)
[归纳提升] 平面向量数量积坐标运算的两条途径
进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径：
一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；
二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.
1
3
题型二
与平面向量模有关的问题
典例
2
A
【对点练习】? (1)已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，c＝a＋λb(λ∈R)，则|c|取最小值时，λ的值为_______.
(2)已知|a|＝10，b＝(1,2)，且a∥b，求a的坐标.
题型三
向量夹角和垂直问题
典例
3
±3
10
易错警示
典例
4
忽视向量共线致误
A
【对点练习】? 设a＝(2，x)，b＝(－4,5)，若a与b的夹角为钝角，求x的取值范围.
课堂检测·固双基
素养作业·提技能