6.4 平面向量的应用
6.4.1 平面几何中的向量方法
6.4.2 向量在物理中的应用举例
基础过关练
题组一 平面几何中的向量方法
1.已知A,B,C是平面上的三点,其坐标分别为(1,2),(4,1),(0,-1),则△ABC的形状为( )
A.直角(非等腰)三角形
B.等腰(非等边)三角形
C.等腰直角三角形
D.以上均不正确
2.在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则=( )
A.2
B.4
C.5
D.10
3.已知O是△ABC所在平面内的一点,若(+)·=(+)·=(+)·=0,则点O是△ABC的( )
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
4.已知点P在△ABC所在的平面内,若2+3+4=3,
则△PAB与△PBC的面积的比值为 .?
5.已知正方形ABCD中,E、F分别是CD、AD的中点,BE、CF交于点P,连接AP.用向量法证明:
(1)BE⊥CF;
(2)AP=AB.
题组二 向量在物理中的应用举例
6.某人骑自行车的速度是v1,风速为v2,则逆风行驶的速度为( )
A.v1-v2
B.v1+v2
C.|v1|-|v2|
D.
7.(2020山东济南高三下模拟)体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动处于如图所示的平衡状态时,若两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为400
N,则该学生的体重约为(参考数据:重力加速度的大小为g=10
N/kg,≈1.732)( )
A.63
kg
B.69
kg
C.75
kg
D.81
kg
8.一条渔船距对岸4
km,以2
km/h的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际航程为8
km,则河水的流速为( )
A.2
km/h
B.2
km/h
C.
km/h
D.3
km/h
9.一个物体同时受到同一平面内三个力F1,F2,F3的作用,沿北偏东45°方向移动了8
m,已知|F1|=2
N,方向为北偏东30°,|F2|=4
N,方向为北偏东60°,|F3|=6
N,方向为北偏西30°,则这三个力的合力所做的功为( )
A.24
J
B.24
J
C.24
J
D.24
J
10.如图所示,在细绳O处用水平力F2缓慢拉起重力为G的物体,绳子与铅垂方向的夹角为θ,绳子所受到的拉力为F1.
(1)请说明|F1|、|F2|随角θ的变化而变化的情况;
(2)当|F1|≤2|G|时,求角θ的取值范围.
能力提升练
题组一 平面几何中的向量方法
1.()已知P是△ABC所在平面上一点,且|-|-|+-2|=0,则△ABC的形状是( )
A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
2.(2019湖南岳阳一中高一期末,)过△ABC内部一点M任作一条直线EF,AD⊥EF于D,BE⊥EF于E,CF⊥EF于F,且++=0,则点M是△ABC的( )
A.三条高的交点
B.三条中线的交点
C.三边中垂线的交点
D.三个内角平分线的交点
3.(2020安徽六安第一中学高一下阶段测试,)已知a=,=a-b,=a+b.若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形,则△AOB的面积是 .?
4.()如图,已知△ABC的面积为14
cm2,D,E分别为边AB,BC上的点,且AD∶DB=BE∶EC=2∶1,AE,CD交于点P,则△APC的面积为 cm2.?
5.(2020河南新乡高一上期末,)在平行四边形ABCD中,AB=2,BC=,∠B=30°,点E,F分别在边BC,CD上(不与端点重合),且=,则·的取值范围为 .?
6.()如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=3,点D在线段BC上,且BD=DC.求:
(1)AD的长;
(2)∠DAC的大小.
题组二 向量在物理中的应用举例
7.(2019广东惠州高一期中,)一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行,直扑猎物,太阳光从头上直照下来,鹰在地面上的影子的速度的大小是40
m/s,则鹰的飞行速率为( )
A.
m/s
B.
m/s
C.
m/s
D.
m/s
8.()一条两岸平行的河流,水速为1
m/s,小船的速度为2
m/s,为使所走路程最短,小船应朝 的方向行驶.?
9.()如图,一个力F作用于小车G,使小车G发生了40米的位移,F的大小为50
N,且与小车的位移方向的夹角为60°,e是与小车位移方向相同的单位向量,则F在小车位移上的投影向量为 ,力F做的功为 .?
10.()如图所示,一条河的两岸互相平行,河的宽度d=500
m,一艘船从A点出发航行到河对岸,船航行速度的大小为|v1|=10
km/h,水流速度的大小为|v2|=4
km/h,设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°).
(1)当cos
θ多大时,船能垂直到达对岸?
(2)当船垂直到达对岸时,航行所需时间是否最短?为什么?
答案全解全析
基础过关练
1.C 由题意,得=(3,-1),=(-1,-3),∴·=3×(-1)+(-1)×(-3)=0,且||=||=,∴△ABC为等腰直角三角形.
2.D ==
=
==-6=42-6=10.
3.A 由已知得(+)·(-)=(+)·(-)=(+)·(-)=0,即-=-=-=0,所以||=||=||,所以点O是△ABC的外心.故选A.
4.答案
解析 ∵2+3+4=3,
∴2+3+4=3(-),
∴5=-4,
∴点P在线段AC上,且||=||.
∵△PAB与△PBC分别以PA,PC为底时,高相同,
∴△PAB与△PBC的面积的比值为=.
5.证明 如图,建立平面直角坐标系xOy,
不妨设AB=2,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).
(1)∵=-=(1,2)-(2,0)=(-1,2),=-=(0,1)-(2,2)=(-2,-1),
∴·=-1×(-2)+2×(-1)=0,
∴⊥,即BE⊥CF.
(2)设P(x,y),则=(x,y-1),=(x-2,y),由(1)知=(-2,-1),=(-1,2),∵∥,∴-x=-2(y-1),即x=2y-2.①
同理,由∥,得y=-2x+4.②
联立①②,解得即P,.
∴=2+2=4=,
∴||=||,即AP=AB.
6.B 由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1+v2.注意速度是有方向和大小的,是一个向量.
7.B 设两只胳膊的拉力分别为F1,F2,学生的体重为m
kg,
则mg=|F1+F2|
=
=
=400≈692.8,可得m≈69
kg.故选B.
8.A 如图,设A为渔船,BC所在直线为对岸,AB=4
km,实际航程AC=8
km,则∠BCA=30°,又|vAB|=2
km/h,∴|vAC|=4
km/h,
∴|vBC|=2
km/h,故选A.
9.D 如图,以正东方向为x轴正方向,正北方向为y轴正方向,建立平面直角坐标系,
则F1=(1,),F2=(2,2),F3=(-3,3),
所以合力F=F1+F2+F3=(2-2,2+4).
由题意得,位移s=(4,4),
故合力F所做的功W=F·s=(2-2)×4+(2+4)×4=6×4=24(J).
故选D.
10.解析 画出物体的受力分析图,如图.
(1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则得,G=-(F1+F2),|F1|=,|F2|=|G|·tan
θ.
当角θ从0°趋向于90°时,|F1|、|F2|都逐渐增大.
(2)由|F1|=≤2|G|,得cos
θ≥.
∵0°≤θ<90°,∴0°≤θ≤60°,
∴角θ的取值范围是0°≤θ≤60°.
能力提升练
1.B ∵P是△ABC所在平面上一点,且|-|-|+-2|=0,
∴||-|(-)+(-)|=0,
即||=|+|,∴|-|=|+|,
两边平方并化简得·=0,∴⊥,
∴A=90°,即△ABC是直角三角形.无法判断△ABC是不是等腰三角形.故选B.
2.B 根据特殊位置法,可以判断,当直线EF经过C点时,++=0,即+=0,于是||=||,EF即为AB边上的中线,同理,当EF经过A点时,EF是BC边上的中线,当EF经过B点时,EF是AC边上的中线,因此,点M是△ABC的三条中线的交点,故选B.
3.答案 1
解析 ∵⊥,∴·=(a-b)·(a+b)=0,∴a2-b2=0,∴|a|=|b|,
∵||=||,∴|a-b|=|a+b|,∴a2+b2-2a·b=a2+b2+2a·b,∴a·b=0,
又|a|=1,
∴a、b是互相垂直的单位向量,∴||=||=,∴S△OAB=||×||=1.
4.答案 4
解析 设=a,=b,以a,b为一组基底,则=+=a+b,=+=a+b.
∵点A,P,E与点D,P,C分别共线,
∴存在实数λ和μ,使=λ=λa+λb,=μ=μa+μb.
又∵=+=a+μb,
∴解得
∴S△PAB=S△ABC=14×=8
cm2,S△PBC=14×=2
cm2,∴S△APC=14-8-2=4
cm2.
5.答案 -,1
解析 以B为坐标原点,BC所在直线为x轴,BC的垂线为y轴建立平面直角坐标系,则A(,1).
由=可设BE=tBC=t,CF=tCD=2t(0则E(t,0),F(+t,t),
∴=(t-,-1),=(t,t-1),
∴·=t·(t-)-(t-1)=3t2-4t+1=3t-2-,
∵0∴当t=时,·有最小值,为-;当t无限趋近于0时,·无限趋近于1.
故·的取值范围为-,1.
6.解析 (1)设=a,=b,则=+=+=+(-)=+=a+b.
∴||2===a2+2×a·b+b2=×9+2××3×3×cos
120°+×9=3,∴AD=(负值舍去).
(2)设∠DAC=θ(0°<θ<120°),则θ为与的夹角.
∴cos
θ=====0,∴θ=90°,即∠DAC=90°.
7.C 如图所示,设鹰的飞行速度为v1,鹰在地面上的影子的速度为v2,则|v2|=40
m/s.因为鹰的运动方向与水平方向成30°角向下,所以|v1|==
m/s.
8.答案 与水速成120°角
解析 如图,为使小船所走路程最短,v水+v船应与岸垂直.又|v水|=||=1,|v船|=||=2,∠ADC=90°,所以∠CAD=30°.所以小船应朝与水速成120°角的方向行驶.
9.答案 25e;1
000
J
解析 ∵|F|=50,且F与小车的位移方向的夹角为60°,
∴F在小车位移上的投影向量为|F|·cos
60°e=25e.
∵力F作用于小车G,使小车G发生了40米的位移,
∴力F做的功W=25×40=1
000(J).
10.解析 (1)船垂直到达对岸,即v1+v2与v2垂直,即(v1+v2)·v2=0.
所以v1·v2+=0,即|v1||v2|cos
θ+|v2|2=0,所以40cos
θ+16=0,解得cos
θ=-.
(2)设船航行到对岸所需的时间为t,
则t===(h).
故当θ=90°时,船的航行时间最短,为
h.故当船垂直到达对岸时,航行所需时间不是最短的.(共39张PPT)
第六章
平面向量及其应用
6.4 平面向量的应用
6.4.1 平面几何中的向量方法
6.4.2 向量在物理中的应用举例
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题.(直观想象)
2．体会向量是一种处理几何问题、物理问题的重要工具.(数学抽象)
1．向量是工具，实现这一工具应用的关键是运算，平行与相交是平面几何中的重要线性关系，线性运算常用于解决平行(共线)问题，数量积运算常用于解决相交问题.
2．凡是涉及平行的问题都可以用数乘运算处理，而与相交有关的夹角、垂直、长度等问题则可以用数量积运算处理.其中基底法和坐标法能实现形与数的相互转化，体现的是数形结合思想.
素养目标
学法指导
3．能够将几何问题和物理问题转化为平面向量问题.(数学建模)
4．培养运用向量知识解决实际问题和物理问题的能力.(数据分析)
3．速度、位移是向量，与线性运算挂钩；功是数量，与数量积运算相连.凡涉及速度、位移均可以考虑用线性运算工具(向量加法的平行四边形法则)，而功的问题则直接运用数量积处理.
必备知识·探新知
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
知识点1
(1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等.
(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中.
(3)动量mv是向量的数乘运算.
(4)功是力F与位移s的数量积.
向量在物理中的应用
知识点2
关键能力·攻重难
如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF.
题型探究
题型一
向量在平面几何证明问题中的应用
典例
1
[归纳提升] 向量法解决平面几何问题的两种方法
用向量法解决平面几何问题，一般来说有两种方法：
(1)基底法：选取适当的基底(尽量用已知模或夹角的向量作为基底)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；
(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.一般地，题目中已建好坐标系或易建坐标系的问题适合用坐标法.
【对点练习】? 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2．求对角线AC的长.
题型二
平面几何中的长度问题
典例
2
(1)在重300
N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°(如图)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小.
(2)已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)，求F1，F2分别对质点所做的功.
题型三
向量在物理中的应用
典例
3
[分析] (1)向量在解决涉及速度、位移等物理量的合成与分解时，实质就是向量的线性运算.
(2)物理上力的做功就是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，即W＝|F||s|cos〈F，s〉，功是一个实数，它可正可负，也可以为零.力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，它的实质是向量F与s的数量积.
[归纳提升] 用向量方法解决物理问题的“三步曲”
如图所示，某人用1.5
m长的绳索，施力25
N，把重物沿坡度为30°的斜面向上拖了6
m，拖拉点距斜面的垂直高度为1.2
m.求此人对物体所的功.
易错警示
典例
4
做功问题因对角度认识不清而致错
【对点练习】? 如图所示，在倾斜角为37°(sin37°＝0.6)，高为2
m的斜面上，质量为5
kg的物体m沿斜面下滑，物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m的支持力所做的功为____J，重力对物体m所做的功为_____J(g＝9.8
m/s2).
0
98
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
