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第七章
复数
7.1 复数的概念
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程，理解复数集出现的一些基本概念.(逻辑推理)
2．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件.(逻辑推理)
3．会根据复数相等的充要条件解方程.(数学运算)
1．每一种数的出现都是在研究代数方程的过程中产生的，学习时可以查阅一元多项式方程求解的历史，感受数的产生，体会复数产生的必要性.
2．类比数的分类方法，感受复数的分类.
必备知识·探新知
1．复数的定义
我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做___________，满足i2＝______.全体复数所构成的集合C＝____________________叫做复数集.
复数及相关概念
知识点1
虚数单位
－1
{a＋bi|a，b∈R}
2．复数的表示
复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中的a与b分别叫做复数z的_______与_______.
3．复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定a＋bi与c＋di相等当且仅当_____________.
实部
虚部
a＝c且b＝d
复数的分类
知识点2
实数
虚数
[知识解读] 1．数系扩充的脉络
自然数集→整数集→有理数集→实数集→复数集.
2．复数概念的三点说明
(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.
(2)复数的虚部是实数b而非bi.
(3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是.
3．两个复数相等的条件
(1)在两个复数相等的条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不能成立.
(2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解.
关键能力·攻重难
(1)给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1虚部是2i；③2i的实部是0．其中真命题的个数为
( )
A．0
B．1
C．2
D．3
(2)(2019·启东高二检测)已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是__________.
题型探究
题型一
复数的概念
典例
1
B
(3)判断下列命题的真假.
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋2i的充要条件是x＝1，y＝2；
②若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
③实数集的补集是虚数集.
[解析] (1)对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－1＜0，所以①为假命题；
对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，所以②为假命题；
对于③，2i＝0＋2i，其实部是0，所以③为真命题.
[归纳提升] 判断与复数有关的命题是否正确的方法
1．举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类型题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答.
2．化代数式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部.
特别提醒：解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记i的性质.
【对点练习】? 给出下列说法：①复数由实数、虚数、纯虚数构成；②若复数z＝3m＋2ni，则其实部与虚部分别为3m,2n；③在复数z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，则复数z一定不是纯虚数；④若a∈R，a≠0，则(a＋3)i是纯虚数.其中正确的说法的序号是_____.
③
[解析] ①错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数.
②错，只有当m，n∈R时，才能说复数z＝3m＋2ni的实部与虚部分别为3m,2n.
③正确，复数z＝x＋yi(x，y∈R)为纯虚数的条件是x＝0且y≠0，只要x≠0，则复数z一定不是纯虚数.
④错，只有当a∈R，且a≠－3时，(a＋3)i才是纯虚数.
[分析] 根据复数分类的标准及条件，建立关于实数m的方程或不等式(组)，求解m满足的条件.
题型二
复数的分类及其应用
典例
2
[归纳提升] 利用复数的分类求参数的方法及注意事项.
1．利用复数的分类求参数时，首先应将复数化为标准的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，若不是这种形式，应先化为这种形式，得到实部与虚部，再求解；
2．要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解；
3．要特别注意复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0，且b≠0．
已知x是实数，y是纯虚数，且满足(3x－10)＋i＝y－3i，求x与y.
[分析] 因为y是纯虚数，所以可设y＝bi(b∈R，b≠0)代入等式，把等式的左、右两边都整理成a＋bi的形式后，可利用复数相等的充要条件得到关于x与b的方程组，求解后得x与b的值.
题型三
复数相等的条件
典例
3
[归纳提升] 一般利用复数相等的充要条件，可由一个复数等式得到两个实数等式组成的方程组，从而可确定两个独立参数.复数相等是实现复数向实数转化的桥梁.
C
－1
给出下列命题：(1)若x＋yi＝0，则x＝y＝0；(2)若a＋bi＝3＋8i，则a＝3，b＝8；(3)若x为实数，且(x2－4)＋(x2＋2x)i是纯虚数，则x＝±2；(4)若x，m∈R且3x＋mi<0，则有x<0．其中正确命题的序号是______.
[错解] (1)(2)(4)
[错因分析] a，b∈R是复数代数形式定义中的必不可少的条件，忽视了这一条件，就会导致错误的答案.
易错警示
典例
4
对复数相关概念的理解不清致误
(4)
[点评] 复数中的许多结论，都是建立在复数为标准的代数形式这一条件下的，如果没有这一条件，相应结论不一定能够成立.例如：a＋bi＝0?a＝b＝0成立的条件是a，b∈R；a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d成立的条件是a，b，c，d∈R.另外，复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的条件是a＝0，且b≠0，切记不能丢掉“b≠0”这一条件.
课堂检测·固双基
素养作业·提技能第七章 复数
7.1 复数的概念
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
基础过关练
题组一 数系的扩充和复数的概念
1.下列复数中,满足方程x2+2=0的是( )
A.±1
B.±i
C.±i
D.±2i
2.(2020北京通州高一下期末)已知i为虚数单位,复数z=2-3i的虚部为( )
A.3i
B.-3i
C.3
D.-3
3.已知复数z=a2-(2-b)i的实部和虚部分别是2和3,则实数a,b的值分别是( )
A.,1
B.,5
C.±,5
D.±,1
4.以3i-的虚部为实部,3i2+i的实部为虚部的新复数是( )
A.3-3i
B.3+i
C.-+i
D.+i
5.(多选)下列说法不正确的是( )
A.复数2+3i的虚部是3i
B.形如a+bi(b∈R)的数一定是虚数
C.若a∈R,a≠-3,则(a+3)i是纯虚数
D.若两个复数能够比较大小,则它们都是实数
题组二 复数的分类
6.用C,R,I分别表示复数集、实数集、纯虚数集,且取全集为C,则下列结论成立的是( )
A.R∪I=C
B.R∩?CI=?
C.?CR=I
D.?CR∪?CI=C
7.在+2,i,0,8+5i,(1+)i,-i2这几个数中,纯虚数的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
8.下列说法中正确的是( )
A.复数由实数、虚数、纯虚数构成
B.若复数z=x+yi(x,y∈R)是虚数,则必有x≠0
C.在复数z=x+yi(x,y∈R)中,若x≠0,则复数z一定不是纯虚数
D.若a,b∈R且a>b,则a+i>b+i
9.若复数z=(m+1)+(m2-9)i<0,则实数m的值为 .深度解析?
10.(2020湖南长沙高二期末)设m∈R,复数z=(m2-3m-4)+(m2+3m-28)i,其中i为虚数单位.
(1)当m为何值时,复数z是虚数?
(2)当m为何值时,复数z是纯虚数?
题组三 复数相等的充要条件及其应用
11.若xi-i2=y+2i,x,y∈R,则复数x+yi=( )
A.-2+i
B.2+i
C.1-2i
D.1+2i
12.(2019浙江杭州高二期末)若z1=-3-4i,z2=(n2-3m-1)+(n2-m-6)i(m,n∈R),且z1=z2,则m+n=( )
A.4或0
B.-4或0
C.2或0
D.-2或0
13.如果复数x-1+yi与i-3x相等,x,y为实数,则x= ,y= .?
14.已知=(x2-2x-3)i(x∈R),则x= .?
15.已知A={1,2,a2-3a-1+(a2-5a-6)i},B={-1,3},A∩B={3},求实数a的值.深度解析
能力提升练
题组一 复数的相关概念及其应用
1.(2020北京通州高一期末,)欧拉公式eiθ=cos
θ+isin
θ(e为自然对数的底数,i为虚数单位,θ∈R)是瑞士著名数学家欧拉发明的,eiπ+1=0是英国科学期刊《物理世界》评选出的十大最伟大的公式之一.根据欧拉公式可知,复数的虚部为( )
A.-
B.
C.-i
D.i
2.(多选)()下列命题是真命题的是( )
A.复数m+ni的实部是m,虚部是n
B.1+i2不是虚数
C.若(a2-1)+(a2+3a+2)i(a∈R)是纯虚数,则实数a=1
D.若z∈C,则z2≥0
3.(多选)()已知i为虚数单位,下列命题中正确的是( )
A.若a≠0,则ai是纯虚数
B.虚部为-的虚数有无数个
C.实数集是复数集的真子集
D.两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等
题组二 复数的分类及其应用
4.(2019湖北荆州沙市中学高二期末联考,)“a=0”是“复数a+bi(a,b∈R)是纯虚数”的( )
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.(2020辽宁辽阳高二期末,)若复数a2-a-2+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则( )
A.a=-1
B.a≠-1且a≠2
C.a≠-1
D.a≠2
6.()若log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)>1,则实数x的值是 .?
7.()已知复数z=+(x2-2x-15)i,则实数x取什么值时,z是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?
题组三 复数相等的充要条件及其应用
8.()已知i为虚数单位,复数cos
θ+isin
θ和sin
θ+icos
θ(θ∈R)相等,则θ的值为( )
A.
B.或
C.2kπ+(k∈Z)
D.kπ+(k∈Z)
9.(多选)()已知i为虚数单位,下列命题正确的是( )
A.若x,y∈C,则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1
B.(a2+1)i(a∈R)是纯虚数
C.若+=0,则z1=z2=0
D.当m=4时,复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i是纯虚数
10.()满足方程x2-2x-3+(9y2-6y+1)i=0的有序实数对(x,y)表示的点的个数为 .?
11.(2020北京西城高一月考,)定义运算=ad-bc,如果(x+y)+(x+3)i=(i为虚数单位),那么实数x,y的值分别为 .?
12.()已知关于x,y的方程组有实数解,求实数a,b的值.
13.()已知i为虚数单位,集合M={(a+3)+(b2-1)i,8},集合N={3i,(a2-1)+(b+2)i},且M∩N≠?,求整数a,b的值.
答案全解全析
基础过关练
1.C 由题意得,x2=-2=2i2,所以x=±i.
2.D 复数2-3i的虚部是-3.故选D.
3.C 由题意,得a2=2,-(2-b)=3,
∴a=±,b=5.故选C.
4.A 3i-的虚部为3,3i2+i=-3+i的实部为-3,故新复数为3-3i.故选A.
5.AB 复数2+3i的虚部是3,故A中说法不正确;形如a+bi(b∈R)的数不一定是虚数,例如,当a∈R,b=0时,a+bi不是虚数,故B中说法错误;只有当a∈R,a+3≠0,即a≠-3时,(a+3)i是纯虚数,故C中说法正确;因为虚数不能比较大小,所以若两个复数能够比较大小,则它们都是实数,故D中说法正确.故选AB.
6.D 利用复数集C,实数集R,虚数集,纯虚数集I之间的关系,结合Venn图可知选项D正确.
7.C 在这些数中,i,(1+)i是纯虚数,所以纯虚数有2个,故选C.
8.C 选项A错误,复数由实数与虚数构成,虚数又分为纯虚数和非纯虚数;选项B错误,若复数z=x+yi(x,y∈R)是虚数,则必有y≠0,对x的取值没有限定;选项C正确,复数z=x+yi(x,y∈R)是纯虚数?x=0且y≠0,因此只要x≠0,复数z一定不是纯虚数;选项D错误,当a,b∈R时,a+i与b+i都是虚数,不能比较大小.
9.答案 -3
解析 因为z<0,所以解得m=-3.
方法技巧
由于虚数不能比较大小,因此若z<0,则z一定是实数.
10.解析 (1)要使复数z是虚数,必须使m2+3m-28≠0?m≠4且m≠-7,
所以当m≠4且m≠-7时,复数z是虚数.
(2)要使复数z是纯虚数,必须使解得m=-1,
所以当m=-1时,复数z是纯虚数.
11.B 由i2=-1,得xi-i2=1+xi,则由题意,得1+xi=y+2i,根据复数相等的充要条件,得x=2,y=1,故x+yi=2+i.
12.
A 由z1=z2,得解得
所以m+n=4或0,故选A.
13.
答案 ;1
解析 由复数相等的充要条件可知所以
14.答案 3
解析 因为x∈R,所以∈R,由复数相等的充要条件,得解得x=3.
15.
解析 由题意知,a2-3a-1+(a2-5a-6)i=3(a∈R),
所以解得a=-1.
所以实数a的值为-1.
深度剖析
复数相等的充要条件为我们提供了将复数问题转化为实数问题来解决的途径.
能力提升练
1.B 由欧拉公式得=cos
+isin
=+i,其虚部为,故选B.
2.BC 复数m+ni中,未指明m,n是实数,故A错误;1+i2=1-1=0,是实数,所以B正确;若(a2-1)+(a2+3a+2)i(a∈R)是纯虚数,则a2-1=0且a2+3a+2≠0,解得a=1,所以C正确;若z=i,则z2=-1<0,所以D错误.故选BC.
3.BCD 对于A
,若a=i,则ai=i2=-1,不是纯虚数,故A错误;对于B,虚部为-的虚数可以表示为m-i(m∈R),有无数个,故B正确;C显然正确;两个复数相等一定能推出实部相等,必要性成立,但两个复数的实部相等推不出两个复数相等,充分性不成立,故D正确.故选BCD.
4.A 复数a+bi(a,b∈R)是纯虚数?a=0且b≠0,所以“a=0”是“复数a+bi(a,b∈R)是纯虚数”的必要不充分条件.
5.C 解法一:复数a2-a-2+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则有a2-a-2≠0或|a-1|-1=0,解得a≠-1.故选C.
解法二:若该复数为纯虚数,则a2-a-2=0且|a-1|-1≠0,解得a=-1,所以若该复数不是纯虚数,则a≠-1.故选C.
6.答案 -2
解析 因为log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)>1,
所以
即解得x=-2.
7.解析 (1)当x满足即x=5时,z是实数.
(2)当x满足即x≠-3且x≠5时,z是虚数.
(3)当x满足即x=-2或x=3时,z是纯虚数.
8.D 由复数相等的充要条件,知sin
θ=cos
θ,
解得θ=kπ+(k∈Z).
9.BD 取x=i,y=-i,则x+yi=1+i,但不满足x=y=1,故A错误;?a∈R,a2+1>0恒成立,所以(a2+1)i(a∈R)是纯虚数,故B正确;取z1=i,z2=1,则+=0,但z1=z2=0不成立,故C错误;当m=4时,复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i=lg
1+42i=42i,是纯虚数,故D正确.故选BD.
10.答案 2
解析 由题意知,x,y都是实数,由x2-2x-3+(9y2-6y+1)i=0,得解得或所以有序实数对(x,y)表示的点有,,共2个.
11.答案 -1,2
解析 由=ad-bc,得=3x+2y+yi,
故有(x+y)+(x+3)i=3x+2y+yi.
因为x,y为实数,所以
即解得
12.解析 设(x0,y0)是方程组的实数解,
由已知及复数相等的充要条件,得
由①②,得代入③④,得
所以实数a,b的值分别为1,2.
13.解析 由题意,得(a+3)+(b2-1)i=3i,①
或8=(a2-1)+(b+2)i,②
或(a+3)+(b2-1)i=(a2-1)+(b+2)i.③
由①得a=-3,b=±2,
由②得a=±3,b=-2,
③中,a,b无整数解,不符合题意.
综上,a=-3,b=2或a=-3,b=-2或a=3,b=-2.
