(共29张PPT)
第七章
复数
7.2 复数的四则运算
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．掌握复数代数形式的加、减运算法则，并会简单应用.(数学运算)
2．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.(直观想象)
1．类比向量加、减的坐标运算，感受和把握复数的加、减运算.
2．类比向量运算的平行四边形法则与三角形法则，感受和把握复数加、减法的几何意义.
必备知识·探新知
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则z1＋z2＝__________________，
z1－z2＝__________________.
复数的加、减法运算法则
知识点1
(a＋c)＋(b＋d)i
(a－c)＋(b－d)i
(1)交换律：_________________；
(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝_______________.
复数加法的运算律
知识点2
z1＋z2＝z2＋z1
z1＋(z2＋z3)
复数加、减法的几何意义
知识点3
[知识解读] 对复数的加法、减法运算应注意以下几点
(1)一种规定：复数代数形式的加法法则是一种规定，减法是加法的逆运算；
特殊情形：当复数的虚部为零时，与实部的加法、减法法则一致.
(2)运算律：实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立.实数的移项法则在复数中仍然成立.
(3)运算结果：两个复数的和(差)是唯一确定的复数.
关键能力·攻重难
(1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝_________.
(2)已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝_____.
[分析] 直接运用复数的加减运算法则进行计算.
题型探究
题型一
复数代数表示式的加、减法运算
典例
1
－2－i
[归纳提升] 复数加、减运算的法则
(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与虚部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部.
(2)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项)：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算.
【对点练习】? (1)－i－(－1＋5i)＋(－2－3i)－(i－1)＝________.
(2)已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝____.
－10i
3
如图，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应复数分别为0,3＋2i，－2＋4i，试求
[分析] 要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量的相等直接给出所求的结论.
题型二
复数加减法及复数模的几何意义
典例
2
[归纳提升] 利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论
①形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理.②数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中.
【对点练习】? 已知四边形ABCD是复平面上的平行四边形，顶点A，B，C分别对应于复数－5－2i，－4＋5i,2，求点D对应的复数及对角线AC，BD的长.
题型三
复数加法、减法几何意义的应用
典例
3
[分析] 涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解.
A
[归纳提升] 两个复数差的模的几何意义
(1)|z－z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式.
(2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆.
【对点练习】? 若本例(2)条件改为已知|z|＝1且z∈C，求|z－2－2i|(i为虚数单位)的最小值.
A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB一定是
( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
[错解] A
易错警示
典例
4
B
【对点练习】? △ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的
( )
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
[解析] 由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A、B、C距离相等，∴P为△ABC的外心.
A
课堂检测·固双基
素养作业·提技能7.2 复数的四则运算
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
基础过关练
题组一 复数的加、减运算
1.已知复数z1=3+4i,z2=3-4i,则z1+z2=( )
A.8i
B.6
C.6+8i
D.6-8i
2.若复数z满足z+i-3=3-i,则z等于( )
A.0
B.2i
C.6
D.6-2i
3.已知|z|=3,且z+3i是纯虚数,则z等于( )
A.-3i
B.3i
C.±3i
D.4i
4.设m∈R,复数z=(2m2+3i)+(m-m2i)+(-1+2mi),若z为纯虚数,则m等于( )
A.-1
B.3
C.
D.-1或3
5.若复数z1=1+3i,z2=-2+ai,且z1+z2=b+8i,z2-z1=-3+ci,则实数a= ,b= ,c= .?
6.已知z1=(3x-4y)+(y-2x)i,z2=(-2x+y)+(x-3y)i,x,y为实数,若z1-z2=5-3i,求|z1+z2|.
7.已知i为虚数单位,计算:
(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i);
(2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)];
(3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,b∈R).深度解析
题组二 复数加、减运算的几何意义
8.已知复数z对应的向量如图所示,则复数z+1所对应的向量正确的是( )
9.(2020河南名校联盟高二期末)已知为复数z的共轭复数,z+1=i+2,则z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
10.已知=(5,-1),=(3,2),对应的复数为z,则=( )
A.5-i
B.3+2i
C.-2+3i
D.-2-3i
11.A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O是坐标原点,若|z1+z2|=|z1-z2|,则△AOB一定是( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
12.已知z为复数,若|z-2|=|z+2|,则|z-1|的最小值是 .?
13.复数z1,z2满足|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,则|z1-z2|= .深度解析?
14.如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C对应的复数分别为0,3+2i,-2+4i,试求:
(1)所对应的复数,所对应的复数;
(2)所对应的复数;
(3)所对应的复数及的长度.
能力提升练
题组 复数的加、减运算及其几何意义的综合应用
1.()在复平面内,O是原点,,,对应的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,则对应的复数为( )
A.2+8i
B.-6-6i
C.4-4i
D.-4+2i
2.()△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1,z2,z3,若复数z满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则z对应的点Z为△ABC的( )
A.内心
B.垂心
C.重心
D.外心
3.()如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是(深度解析)
A.1
B.
C.2
D.
4.()若复数z=x+yi(x,y∈R)满足|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为( )
A.2
B.4
C.4
D.16
5.(多选)()已知i为虚数单位,下列说法中正确的是( )
A.若复数z满足|z|=,则复数z对应的点在以原点为圆心,为半径的圆上
B.若复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z=15+8i
C.复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模
D.复数z1对应的向量为,复数z2对应的向量为,若|z1+z2|=|z1-z2|,则⊥
6.(多选)()已知复数z0=1+2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0,复数z满足|z-1|=|z-i|,下列结论正确的是( )
A.点P0的坐标为(1,2)
B.复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称
C.复数z对应的点Z在一条直线上
D.P0与z对应的点Z间的距离的最小值为
7.()若复数z满足z-1=cos
θ+isin
θ,θ∈R,则|z|的最大值为 .?
8.()已知x∈R,y∈R,(xi+x)+(yi+4)=(y-i)-(1-3xi),则x= ,y= .?
9.(2020湖南怀化高二期末,)若z∈C,且z+2=3+4i,则|z|= .?
10.()已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i在复平面内对应的点分别为A,B,C,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值是 .?
11.(2019安徽合肥八中高二期末,)已知复数z的模为1,则|z+2|的最大值为 .?
12.()在复平面内,A,B,C三点分别对应复数1,2+i,-1+2i.
(1)求,,对应的复数;
(2)判断△ABC的形状.
13.(2020北京通州高一月考,)已知O为坐标原点,向量、分别对应复数z1、z2,且z1=+(10-a2)i,z2=+(2a-5)i(a∈R).若+z2是实数.
(1)求实数a的值;
(2)求以、为邻边的平行四边形的面积.
答案全解全析
基础过关练
1.B z1+z2=3+4i+3-4i=(3+3)+(4-4)i=6.
2.D z=3-i-(i-3)=6-2i.
3.B 设z=a+bi(a,b∈R),
则z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i为纯虚数,
∴a=0,b+3≠0,又|z|=3,∴|b|=3,∴b=3,∴z=3i.
4.C z=(2m2+m-1)+(3-m2+2m)i.
由题意,得解得m=.
5.
答案 5;-1;2
解析 z1+z2=(1-2)+(3+a)i=-1+(3+a)i=b+8i,z2-z1=(-2-1)+(a-3)i=-3+(a-3)i=-3+ci,所以解得
6.解析 z1-z2=[(3x-4y)+(y-2x)i]-[(-2x+y)+(x-3y)i]=[(3x-4y)-(-2x+y)]+[(y-2x)-(x-3y)]i=(5x-5y)+(-3x+4y)i=5-3i,
所以解得
所以z1=3-2i,z2=-2+i,则z1+z2=1-i,
所以|z1+z2|=.
7.解析 (1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i)=(4-2i)-(5+6i)=-1-8i.
(2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)]=5i-(4+i)=-4+4i.
(3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i=(a-2a)+[b-(-3b)-3]i=-a+(4b-3)i.
方法技巧
把复数的代数形式看成关于“i”的多项式,则复数的加、减法类似于多项式的加、减法,只需“合并同类项”就可以了.
8.A 由题图知z=-2+i,则z+1=-1+i,由复数的几何意义可知,A正确.
9.A 设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,代入z+1=i+2可得a+1+bi=2a+(1-2b)i,所以解得故z=1+,所以z在复平面内对应的点为,位于第一象限.故选A.
10.D 因为=(5,-1),=(3,2),所以=-=(-2,3),所以z=-2+3i,所以=-2-3i.
11.B 复数z1对应向量,复数z2对应向量,|z1+z2|=|+|,|z1-z2|=|-|,依题意有|+|=|-|,
所以以,为邻边的平行四边形是矩形,又||与||不一定相等,
所以△AOB一定是直角三角形.故选B.
12.答案 1
解析 由|z-2|=|z+2|,即|z-2|=|z-(-2)|,知z对应的点在以(2,0)和(-2,0)为端点的线段的垂直平分线上,即虚轴上.
|z-1|表示z对应的点与(1,0)的距离,
∴|z-1|min=1.
13.答案
解析 解法一:由|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,知z1,z2,z1+z2对应的点是边长为1的正方形的三个顶点,
所以|z1-z2|是这个正方形的一条对角线长,所以|z1-z2|=.
解法二:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1+z2=(a+c)+(b+d)i,z1-z2=(a-c)+(b-d)i,由题意可得a2+b2=1,c2+d2=1,(a+c)2+(b+d)2=2,即(a+c)2+(b+d)2=a2+c2+2ac+b2+d2+2bd=2,所以2ac+2bd=0,所以(a-c)2+(b-d)2=a2+c2+b2+d2-2ac-2bd=2,所以|z1-z2|==.
解法三:易知|z1+z2|2+|z1-z2|2=2(|z1|2+|z2|2),
将已知数值代入,可得|z1-z2|2=2,
所以|z1-z2|=.
深度剖析
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则|z1+z2|2+|z1-z2|2=(a+c)2+(b+d)2+(a-c)2+(b-d)2=2(a2+c2+b2+d2)=2(|z1|2+|z2|2).
14.解析 (1)∵=-,
∴所对应的复数为-3-2i.
∵=,∴所对应的复数为-3-2i.
(2)∵=-,
∴所对应的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.
(3)=+,
∴所对应的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,
||==.
能力提升练
1.C ∵=-=-(+),∴对应的复数为3+2i
-(-2+i+1+5i)=4-4i.
2.D 由题意知,点Z到△ABC的三个顶点的距离相等,故z对应的点Z是△ABC的外心.
3.A 设复数-i,i,-1-i在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,Z3,复数z在复平面内对应的点为Z,则Z1(0,-1),Z2(0,1),Z3(-1,-1).
根据|z-z0|的几何意义,可知|z+i|+|z-i|=2表示点Z到点Z1(0,-1)和Z2(0,1)的距离之和为2,又因为|Z1Z2|=2,所以点Z在线段Z1Z2上.
问题转化为动点Z在线段Z1Z2上移动,求|ZZ3|的最小值,
因为Z3Z1⊥Z1Z2,且|Z3Z1|=1,
所以|z+i+1|min=1.
知识拓展
设复数z,z0在复平面内对应的点分别为A,B,则|z-z0|(z,z0∈C)的几何意义是点A到点B的距离.
4.C 由|z-4i|=|z+2|,得|x+(y-4)i|=|x+2+yi|,所以x2+(y-4)2=(x+2)2+y2,即x+2y=3,所以2x+4y=2x+22y≥2=2=4,当且仅当x=2y=时,2x+4y取得最小值4.
5.ACD 满足|z|=的复数z对应的点在以原点为圆心,为半径的圆上,A正确;设z=a+bi(a,b∈R),则|z|=,由z+|z|=2+8i,得a+bi+=2+8i,
∴解得∴z=-15+8i,B错误;由复数的模的定义知C正确;由|z1+z2|=|z1-z2|的几何意义知,以,为邻边的平行四边形为矩形,从而两邻边垂直,D正确.故选ACD.
6.ACD 复数z0=1+2i在复平面内对应的点为P0(1,2),A正确;复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称,B错误;设z=x+yi(x,y∈R),代入|z-1|=|z-i|,得|(x-1)+yi|=|x+(y-1)i|,即=,整理得y=x,即点Z在直线y=x上,C正确;易知点P0到直线y=x的垂线段的长度即为P0、Z之间距离的最小值,结合平面几何知识知D正确.故选ACD.
7.答案 2
解析 因为z-1=cos
θ+isin
θ,
所以z=(1+cos
θ)+isin
θ,
故|z|==≤2,即|z|的最大值为2.
8.答案 6;11
解析 原式整理得x+4+(x+y)i=(y-1)+(3x-1)i,
∴解得
9.答案
解析 设z=x+yi(x,y∈R),则=x-yi,z+2=3x-yi=3+4i,所以x=1,y=-4,所以z=1-4i,所以|z|==.
10.答案 1
解析 由题意得=(3,-4),=(-1,2),=(1,-1).由=λ+μ,
得(3,-4)=λ(-1,2)+μ(1,-1)=(-λ+μ,2λ-μ),所以
解得所以λ+μ=1.
11.答案 3
解析 设复数z对应的点为Z(x,y),因为复数z的模为1,所以点Z的轨迹是以原点O为圆心,1为半径的圆,由于|z+2|的几何意义是圆上的点(x,y)到点P(-2,0)的距离,
因此|z+2|的最大值为|OP|+1=2+1=3.
12.解析 (1)因为A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i,
所以,,对应的复数分别为1,2+i,-1+2i(O为坐标原点),
所以=(1,0),=(2,1),=(-1,2).
所以=-=(1,1),=-=(-2,2),=-=(-3,1),
所以对应的复数为1+i,对应的复数为-2+2i,对应的复数为-3+i.
(2)因为||==,||==2,||==,
所以||2+||2=10=||2,
又因为||≠||,
所以△ABC是以角A为直角的直角三角形.
13.解析 (1)由题意可得=-(10-a2)i,
又因为z2=+(2a-5)i,
所以+z2=-(10-a2)i++(2a-5)i
=+(a2+2a-15)i.
因为+z2是实数,
所以解得a=3.
(2)由(1)可得z1=+i,z2=-1+i,
则点Z1,Z2(-1,1),
因此,以,为邻边的平行四边形的面积为|Z1Z2|×1=.
