(共35张PPT)
第七章
复数
7.2 复数的四则运算
7.2.2 复数的乘、除运算
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．掌握复数代数形式的乘法和除法运算，并会简单应用.(数学运算)
2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.(逻辑推理)
1．对比向量坐标的数量积运算，感觉复数乘法运算的差异，体会复数乘法运算与实数运算的异同.
2．对比复数除法运算与实数除法运算的差异，类比分母有理化与共轭的关系.
必备知识·探新知
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝______________________.
复数的乘法法则
知识点1
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
对任意复数z1，z2，z3∈C，有
复数乘法的运算律
知识点2
交换律
z1·z2＝_________
结合律
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
分配律
z1(z2＋z3)＝_____________
z2·z1
z1z2＋z1z3
复数代数形式的除法法则
理想化
知识点3
[知识解读] 1．对复数乘法的三点说明
(1)类比多项式运算：复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行，但结果要将实部、虚部分开(i2换成－1).
(2)运算律：多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用.
(3)常用结论
①(a±bi)2＝a2±2abi－b2(a，b∈R)；
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；
③(1±i)2＝±2i.
2．对复数除法的两点说明
(1)实数化：分子、分母同乘以分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似.
(2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开.
特别提醒：复数的除法类似于根式的分母有理化.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一
复数代数表示式的乘法运算
典例
1
D
D
(3)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是
( )
A．(－∞，1)
B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞)
D．(－1，＋∞)
[分析] 利用乘法公式进行运算.
[解析] (1)由题意可得z2－2z＝2i－2(1＋i)＝－2．
故|z2－2z|＝|－2|＝2．
故选D．
B
[归纳提升] 两个复数代数形式乘法的一般方法
(1)首先按多项式的乘法展开；
(2)再将i2换成－1；
(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式.
【对点练习】? (1)计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝
( )
A．2－13i
B．13＋2i
C．13－13i
D．－13－2i
(2)(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是
( )
A．i(1＋i)2
B．i2(1－i)
C．(1＋i)2
D．i(1＋i)
D
C
[解析] (1)(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.故选D．
(2)A项，i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是纯虚数；
B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数；
C项，(1＋i)2＝2i,2i是纯虚数；
D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数.故选C．
[分析] 复数的除法运算就是分子分母同乘分母的共轭复数，转化为乘法进行.
题型二
复数代数形式的除法运算
典例
2
D
A
B
－2＋i
已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根.
(1)求实数a，b的值；
(2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明.
[分析] 解决实系数一元二次方程的基本方法是复数相等的充要条件.
题型三
实系数一元二次方程在复数范围内根的问题
典例
3
(2)由(1)知方程为x2＋2x＋2＝0．
设另一个根为x2，由根与系数的关系，得－1＋i＋x2＝－2，
∴x2＝－1－i.
把x2＝－1－i代入方程x2＋2x＋2＝0，
则左边＝(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝0＝右边，
∴x2＝－1－i是方程的另一个根.
[归纳提升] (1)实系数一元二次方程的虚根是成对出现的，即若复数a＋bi(a，b∈R，b≠0)是实系数一元二次方程的根，则其共轭复数a－bi是该方程的另一根.
(2)和在实数范围内对比，在复数范围内解决实系数一元二次方程问题，韦达定理和求根公式仍然适用，但是判别式判断方程根的功能就发生改变了.
【对点练习】? (1)方程x2＋6x＋13＝0的一个根是
( )
A．－3＋2i
B．3＋2i
C．－2＋3i
D．2＋3i
(2)已知a，b∈R，且2＋ai，b＋i(i是虚数单位)是实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根，求p，q的值.
A
已知复数z满足条件z2－|z|－6＝0，求复数z.
[错解] 由z2－|z|－6＝0?(|z|－3)(|z|＋2)＝0．
因为|z|＋2≠0，所以|z|＝3．
则在复平面内以原点为圆心，3为半径的圆上的所有点对应的复数均符合要求.
[错因分析] 本题将复数z的模等同于实数的绝对值，误认为|z|2＝z2．
易错警示
典例
4
误认为|z|2＝z2
[误区警示] 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，|z|2＝a2＋b2，即z2≠|z|2，二者不可混淆.
【对点练习】? (2019·湖南省长沙市检测)已知复数z满足z＝－|z|，则z的实部
( )
A．不小于0
B．不大于0
C．大于0
D．小于0
B
课堂检测·固双基
素养作业·提技能7.2.2 复数的乘、除运算
基础过关练
题组一 复数的乘、除运算
1.若复数z1=1+i,z2=3-i,则z1·z2等于( )
A.4+2i
B.2+i
C.2+2i
D.3+i
2.(2020山东滕州一中高一检测)已知复数z=(i为虚数单位),则复数z的虚部是( )
A.1
B.-1
C.i
D.-i
3.已知=b+i(a,b∈R),其中i为虚数单位,则a+b等于( )
A.-1
B.1
C.2
D.3
4.若z是复数,且(3+z)i=1(i为虚数单位),则z为( )
A.-3+i
B.3+i
C.-3-i
D.3-i
5.已知i为虚数单位,则复数的模等于( )
A.
B.
C.
D.
6.(2020湖北名师联盟高二期末)已知i是虚数单位,复数为纯虚数,则实数a的值为( )
A.1
B.-1
C.
D.2
7.(2020河北辛集中学高二月考)已知(a+i)(1+bi)=1+3i,其中a,b均为实数,i为虚数单位,则|a+bi|=( )
A.
B.2
C.5
D.2
8.(2020天津高一期末)已知i是虚数单位,z1=.若复数z2的虚部为2,且z1z2的虚部为0,求z2.深度解析
题组二 复数范围内实系数一元二次方程根的问题
9.若1+3i是方程x2+bx+c=0(b,c∈R)的一个根,则方程的另一个根为( )
A.3+i
B.1-3i
C.3-i
D.-1+3i
10.(2019上海曹杨二中高二期末)若1+2i是关于x的实系数一元二次方程x2+bx+c=0的一个根,则( )
A.b=2,c=5
B.b=-2,c=5
C.b=-2,c=-5
D.b=2,c=-1
11.(多选)(2019上海交大附中高二期末)下列关于一元二次方程ax2+bx+c=0(其中a,b,c∈R,a≠0)的说法正确的是( )
A.两根x1,x2满足x1+x2=-,x1x2=
B.两根x1,x2满足|x1-x2|=
C.若判别式Δ=b2-4ac≠0,则该方程有两个相异的根
D.若判别式Δ=b2-4ac=0,则该方程有两个相等的实数根
12.在复数范围内解下列方程.
(1)x2+5=0;
(2)3x2+2x+1=0;
(3)x2+4x+6=0.
13.(2020江苏南京秦淮中学高二期末)已知复数z1=+(a2-3)i,z2=2+(3a+1)i(a∈R,i是虚数单位).
(1)若复数z1-z2在复平面内对应的点落在第一象限,求实数a的取值范围;
(2)若虚数z1是实系数一元二次方程x2-6x+m=0的根,求实数m的值.
能力提升练
题组一 复数运算的综合应用
1.(2020东北三省三校高三联考,)设复数z满足=z-2i(i为虚数单位),则z=( )
A.-i
B.+i
C.--i
D.-+i
2.()复数z=,则ω=z2+z4+z6+z8+z10的值为( )
A.1
B.-1
C.i
D.-i
3.(多选)()对任意z1,z2,z∈C,下列结论成立的是( )
A.当m,n∈N
时,有zmzn=zm+n
B.=·
C.互为共轭复数的两个复数的模相等,且||2=|z|2=z·
D.z1=z2的充要条件是|z1|=|z2|
4.()若一个复数的实部与虚部互为相反数,则称此复数为“理想复数”.已知z=+bi(a,b∈R)为“理想复数”,则( )
A.a-5b=0
B.3a-5b=0
C.a+5b=0
D.3a+5b=0
5.(2020天津一中高二期末,)已知复数z=(i为虚数单位,a为实数)为纯虚数,则|a+2i|= .?
6.()设z的共轭复数是,若z+=4,z·=8,则等于 .?
7.(2020北京大兴高一期末,)已知复数z=(m2-m)+(m+3)i(m∈R)在复平面内对应点Z.
(1)若m=2,求z·;
(2)若点Z在直线y=x上,求m的值.
8.(2020北京通州高一期末,)已知复数z=1-i(i是虚数单位).
(1)求z2-z;
(2)如图,复数z1,z2在复平面内对应的点分别为A,B,求.
题组二 复数范围内方程根的问题
9.(2019河南南阳高三期中,)已知1+i是关于x的方程ax2+bx+2=0(a,b∈R)的一个根,则a+b=( )
A.-1
B.1
C.-3
D.3
10.(2019上海吴淞中学高二期中,)在复数范围内分解因式:-x2+x-3= .?
11.()关于复数z的方程|z|+2z=13+6i的解是 .?
12.()已知关于x的方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有实数根b.
(1)求实数a,b的值;
(2)若复数z满足|z-b|=1,求z为何值时,|z|有最小值,并求出|z|的最小值.深度解析
答案全解全析
基础过关练
1.A z1=1+i,z2=3-i,
所以z1·z2=(1+i)·(3-i)=3-i2+2i=4+2i.
2.B ∵z===-1-i,
∴复数z的虚部是-1.
3.B ∵=b+i,∴a+2i=-1+bi,
∴a=-1,b=2.∴a+b=1.
4.C 由(3+z)i=1,得3+z==-i,
所以z=-3-i.
5.D 因为===-+i,所以===,故选D.
6.A ∵===+i为纯虚数,
∴解得a=1.
7.A 因为(a+i)(1+bi)=1+3i,
所以(a-b)+(1+ab)i=1+3i,
即
解得或
当a=-1,b=-2时,|a+bi|=|-1-2i|==;
当a=2,b=1时,|a+bi|=|2+i|==.
综上,|a+bi|=.故选A.
8.解析 z1====2+i,
设z2=a+2i(a∈R),
则z1z2=(2+i)(a+2i)=(2a-2)+(a+4)i,
因为z1z2的虚部为0,
所以a+4=0,即a=-4.
所以z2=-4+2i.
方法技巧
复数的乘法与多项式的乘法类似,但要注意i2=-1,复数的除法运算中,除数为虚数时,应利用分母实数化,将除法转化为乘法,体现了转化思想.
9.B 根据复数范围内实系数一元二次方程的求根公式,知两个虚数根互为共轭复数,所以另一个根为1-3i.
10.B 由题意可知,关于x的实系数一元二次方程x2+bx+c=0的两个根分别为1+2i和1-2i,由根与系数的关系,得
解得
故选B.
11.ACD 由一元二次方程根与系数的关系,可得x1+x2=-,x1x2=,当x1,x2是复数时,此关系式仍然成立,故A正确;
当x1,x2为虚根时,|x1-x2|≠,故B错误;
当判别式Δ=b2-4ac>0时,该方程有两个相异的实数根,当判别式Δ=b2-4ac<0时,该方程有两个虚数根,且它们互为共轭复数,故C正确;
若判别式Δ=b2-4ac=0,则方程有两个相等的实数根,D正确.
12.解析 (1)因为x2+5=0,
所以x2=-5,
又因为(i)2=(-i)2=-5,
所以x=±i,
所以方程x2+5=0的根为x=±i.
(2)因为Δ=4-4×3×1=-8<0,
所以方程3x2+2x+1=0的根为x==-±i.
(3)解法一:由x2+4x+6=0,知Δ=42-4×1×6=-8<0,
所以方程x2+4x+6=0的根为x=,即x=-2±i.
解法二:因为x2+4x+6=0,
所以(x+2)2=-2,
因为(i)2=(-i)2=-2,
所以x+2=i或x+2=-i,
即x=-2+i或x=-2-i,
所以方程x2+4x+6=0的根为x=-2±i.
13.解析 (1)由条件得,z1-z2=+(a2-3a-4)i.
因为z1-z2在复平面内对应的点落在第一象限,所以
所以解得-2
所以a的取值范围是{a|-2(2)因为虚数z1是实系数一元二次方程x2-6x+m=0的根,
所以z1+==6,即a=-1,
所以z1=3-2i,=3+2i,
所以m=z1·=13.
能力提升练
1.B z====+i.
2.B z===-i,z2=(-i)2=-1,
所以ω=-1+1-1+1-1=-1.
3.ABC 由复数乘法的运算律知A正确;设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则=a-bi,=c-di,所以z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,·=(a-bi)(c-di)=(ac-bd)-(ad+bc)i,所以=(ac-bd)-(ad+bc)i=·,故B正确;由复数的模及共轭复数的概念知C正确;由z1=z2能推出|z1|=|z2|,但由|z1|=|z2|推不出z1=z2,因此|z1|=|z2|是z1=z2的必要不充分条件,D错误.
4.D z=+bi=+bi=+i.
由题意知,=--b,则3a+5b=0.
5.答案
解析 因为z===为纯虚数,所以a=,
所以|a+2i|==,
故答案为.
6.答案 ±i
解析 设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,
由z+=4,z·=8,得
∴∴z=2+2i,=2-2i或z=2-2i,=2+2i,
∴==-i或==i,即=±i.
7.解析 (1)因为m=2,
所以z=2+5i,=2-5i,
所以z·=(2+5i)(2-5i)=29.
(2)复数z=(m2-m)+(m+3)i(m∈R).
在复平面内对应的点为Z(m2-m,m+3).
因为点Z在直线y=x上,
所以m2-m=m+3,
所以m=-1或m=3.
8.解析 (1)∵z=1-i,
∴z2-z=(1-i)2-(1-i)=1-2i+i2-1+i
=-1-i.
(2)由题图得,z1=2i,z2=2+i,
∴===
=-+i.
9.A 当a=0时,解得b?R,不符合题意,所以原方程为一元二次方程.
因为实系数一元二次方程的虚根互为共轭复数,所以方程的另一个根为1-i,
根据根与系数的关系,可得解得
所以a+b=-1.
10.答案 -(x-1+i)(x-1-i)
解析 将-x2+x-3=0化简并整理,得x2-2x+6=0,Δ=(-2)2-4×1×6=-20<0,则x==1±i,所以-x2+x-3=-(x-1+i)(x-1-i).
11.答案 z=4+3i
解析 设z=x+yi(x,y∈R),则有+2x+2yi=13+6i,于是
解得或
因为13-2x=≥0,所以x≤,故x=舍去,故z=4+3i.
12.解析 (1)因为b是方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)的实数根,
所以(b2-6b+9)+(a-b)i=0,
故解得a=b=3.
(2)由(1)得,b=3,
所以|z-b|=1即为|z-3|=1,
设z=m+ni(m,n∈R),
则z在复平面内对应的点Z的坐标为(m,n),|z-3|=1可以看成是点Z(m,n)到点(3,0)的距离为1,则点Z(m,n)是以(3,0)为圆心,1为半径的圆,如图所示.由图可知,当z=2时,|z|的最小值为2.
深度剖析
一元二次方程az2+bz+c=0(a≠0)的系数为虚数时,仍然可以用求根公式z=求出方程的根,但是不能用“根的判别式”判别方程有无实数根,也可以设方程的根为z=x+yi(x,y∈R),利用待定系数法将z=x+yi代入原方程,利用复数相等的充要条件,得出关于x,y的方程(组),从而求出x,y的值,进而得出方程的根.