7.3
复数的三角表示
7.3.1 复数的三角表示式
7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
基础过关练
题组一 复数的三角表示式
1.复数-i的三角形式是( )
A.cos+isin
B.cos
+isin
C.cos
-isin
D.cos
+isin
2.复数z=sin
15°+icos
15°的三角形式是( )
A.cos
195°+isin
195°
B.sin
75°+icos
75°
C.cos
15°+isin
15°
D.cos
75°+isin
75°
3.(多选)下列各角可以作为复数3-3i的辐角的是( )
A.-
B.
C.-
D.
4.复数z=1-cos
θ+isin
θ(π<θ<2π)的辐角的主值为( )
A.-
B.
C.-
D.-
5.复数z=cos
-isin
的辐角的主值为 .?
6.把下列复数表示成三角形式.
(1)-1-i;(2)ai(a<0);(3)-(sin
θ-icos
θ).深度解析
7.把下列复数表示成代数形式.
(1)z1=3;
(2)z2=;
(3)z3=2.
题组二 复数三角形式的乘、除运算
8.如果θ∈,那么复数(1+i)(cos
θ-isin
θ)的三角形式是( )
A.
B.[cos(2π-θ)+isin(2π-θ)]
C.
D.
9.设复数z1=1+i,z2=+i,则的辐角的主值是 .?
10.计算:
(1)8×4;
(2)(cos
225°+isin
225°)÷[(cos
150°+isin
150°)];
(3)4÷.
题组三 复数三角形式乘、除运算的几何意义
11.把复数1+i对应的向量按逆时针方向旋转,所得到的向量对应的复数是 .?
12.已知向量对应的复数为-2i,把绕原点O按顺时针方向旋转45°后,再把模变为原来的倍得到向量,则对应的复数为 .(用代数形式表示)?
13.在复平面内,把复数3-i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转,求所得向量对应的复数.
答案全解全析
基础过关练
1.A 依题意得,r==1,cos
θ=,复数-i对应的点在第四象限,所以arg=,所以
-i=cos
+isin
=cos+isin
=cos+isin.
2.D z=sin
15°+icos
15°=cos
75°+isin
75°,故选D.
3.AB 依题意得,r==6,cos
θ==,复数3-3i对应的点在第四象限,所以arg(3-3i)=,所以2kπ+(k∈Z)都可以作为复数3-3i的辐角,结合选项可知,A、B正确.
4.C z=1-cos
θ+isin
θ=2sin2+2isin
·cos
=2sin
=2sin
cos
+isin-,
∵π<θ<2π,∴<<π,
∴-<-<0.
∵辐角的主值的取值范围为[0,2π),
∴复数z的辐角的主值为-.
5.答案
解析 z=cos
-isin
=cos
+isin=cos
+isin
.故复数z的辐角的主值为.
6.解析 (1)依题意得,r=,cos
θ=-,复数对应的点在第三象限,
所以-1-i的辐角的主值为.
所以-1-i=或-1-i=.
(2)因为a<0,所以r=|a|=-a,复数对应的点在y轴的负半轴上,取θ=-,
所以ai=-a.
(3)-(sin
θ-icos
θ)=(-sin
θ+icos
θ)
=.
深度剖析
(1)复数三角形式的特征:
(2)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值,且这些值相差2π的整数倍.例如,复数i的辐角是+2kπ,其中k可以取任何整数.
(3)对于复数0,因为它对应着零向量,而零向量的方向是任意的,所以复数0的辐角也是任意的.
7.解析 (1)z1=3cos
+3isin
=+i.
(2)z2=cos
+isin
=--i.
(3)z3=2cos
-2isin
=-+i.
8.A 因为1+i=,
cos
θ-isin
θ=cos
(2π-θ)+isin
(2π-θ),
所以(1+i)(cos
θ-isin
θ)
=cos+isin+2π-θ
=.
9.答案
解析 由题得,z1=2,z2=2,
所以的辐角是-=,又因为∈[0,2π),所以的辐角的主值是.
10.解析 (1)8×4
=32cos+isinπ+π
=32
=32
=32
=16+16i.
(2)(cos
225°+isin
225°)÷[(cos
150°+isin
150°)]
=[cos
(225°-150°)+isin
(225°-150°)]
=(cos
75°+isin
75°)
=
=+i.
(3)4÷
=4(cos
0+isin
0)÷
=4
=2-2i.
11.答案 -1+i
解析 由题意得,(1+i)cos
+isin
=(1+i)i=-1+i.
12.答案 --i
解析 对应的复数为-2i·
=-2i=--i.
13.解析 由题意得,
(3-i)
=(3-i)
=3+i,
(3-i)
=(3-i)
=-2i.
故把复数3-i对应的向量按逆时针方向旋转后得到的复数为3+i,按顺时针方向旋转后得到的复数为-2i.(共35张PPT)
第七章
复数
7.3
复数的三角表示
7.3.1 复数的三角表示式
7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．复数的三角表示.(数学抽象)
2．复数的代数表示与三角表示之间的关系.(数学运算)
3．复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.(数学运算与直观想象)
1．在复数几何意义的基础上感受复数的三角表示.
2．类比三角函数的单位圆定义体会复数三角表示的特征.
3．类比三角函数的特点，结合复数的几何意义，体会复数运算的三角表示与三角函数之间的关联.
必备知识·探新知
复数的三角形式
知识点1
r(cos
θ＋isin
θ)
辐角
三角形式
代数形式
规定在___________范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作_________.
辐角主值
知识点2
0≤θ<2π
arg
z
两个复数相乘，积的模等于各复数模的_____，积的辐角等于各复数的辐角的_____.
r1(cos
θ1＋isin
θ1)·r2(cos
θ2＋isin
θ2)
＝__________________________.
复数三角形式的乘法
知识点3
积
和
r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]
复数三角形式的除法
知识点4
商
差
关键能力·攻重难
[分析] 先求复数的模，再根据复数所在象限确定复数的辐角主值，然后写出复数的三角形式.
题型探究
题型一
复数的代数形式化为三角形式
典例
1
[归纳提升] 将复数的代数形式转化为三角形式的步骤：
(1)先求复数的模；(2)决定辐角所在的象限；(3)根据象限求出辐角；(4)求得复数的三角形式.
[分析] 将复数的三角形式化为代数形式，只需要将其中蕴含的三角函数值求出数值即可.
题型二
将复数的三角形式化为代数形式
典例
2
[归纳提升] 将复数的三角形式化为复数代数形式的方法是：复数三角形式z＝r(cos
A＋isin
A)，代数形式为z＝x＋yi，对应实部等于实部，虚部等于虚部，即x＝rcos
A，y＝rsin
A.
1－i
[分析] 按照复数三角形式的乘法法则进行.
题型三
复数三角形式的乘法运算
典例
3
[归纳提升] 直接利用复数三角形式的乘法运算法则进行运算，即两个复数相乘，所得的结果是模相乘，辐角相加.
2i
[分析] 根据复数三角形式的除法法则进行.
题型四
复数三角形式的除法运算
典例
4
[归纳提升] 直接利用复数三角形式的除法运算法则进行运算，即两个复数相除，所得的结果是模相除，辐角相减.
求复数z＝1＋cos
θ＋isin
θ(π<θ<2π)的模与辐角主值.
易错警示
典例
5
求辐角主值时的常见误区
【对点练习】? 求复数z＝1＋cos
θ－isin
θ(π<θ<2π)的模与辐角主值.
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
