第八章 立体几何初步
8.1 基本立体图形
第1课时 棱柱、棱锥、棱台
基础过关练
题组一 棱柱
1.下列几何体中棱柱有(深度解析)
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
一个棱柱有10个顶点,所有的侧棱长的和为60
cm,则每条侧棱长为
cm.?
3.(2020山东济宁高一下月考)给出下列关于四棱柱的三个命题:
①若侧棱垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;
②若四棱柱的底面是正方形,则该四棱柱为正四棱柱;
③若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱.
其中真命题的序号是 .?
4.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗?为什么?
(2)用平面BCEF把这个长方体分成两部分,各部分几何体的形状是什么?
题组二 棱锥
5.下列几何体中不是棱锥的为( )
6.对于棱锥,下列叙述正确的是( )
A.四棱锥共有四条棱
B.五棱锥共有五个面
C.六棱锥共有六个顶点
D.任何棱锥都只有一个底面
7.某人用如图所示的纸片沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”,正方形做灯底,且有一个三角形面上写上了“年”字,当灯旋转时,正好看到“新年快乐”的字样,则①、②、③处的字可能为( )
A.快、新、乐
B.乐、新、快
C.新、乐、快
D.乐、快、新
8.(2020湖北宜昌高一下期末)用长度为1的木棒摆放4个边长为1的正三角形,至少需要木棒的根数为( )
A.6
B.9
C.10
D.12
题组三 棱台
9.棱台不具备的特点是( )
A.两底面相似
B.侧面都是梯形
C.侧棱都相等
D.侧棱延长后都交于一点
10.以三棱台的顶点为三棱锥的顶点,这样可以把一个三棱台分成三棱锥的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.0
11.关于如图所示的几何体,正确说法的序号为 .?
①这是一个六面体;②这是一个四棱台;③这是一个四棱柱;④此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到;⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到.
12.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别是A1B1,A1C1的中点,连接BE,EF,FC,试判断几何体A1EF-ABC是什么几何体,并指出它的底面与侧面.
答案全解全析
基础过关练
1.C 根据棱柱的定义,知①②③④⑤中的几何体是棱柱,共5个.
方法归纳
判断一个几何体是不是棱柱的关键是看是否满足棱柱的定义:
①看“面”,即观察这个多面体是否有两个互相平行的面,且其余各面都是四边形;
②看“线”,即观察每相邻两个四边形的公共边是否互相平行.
2.答案 12
解析 由题意知,该棱柱为五棱柱,共5条侧棱,所以每条侧棱的长为=12(cm).
3.答案 ①
解析 对于①,符合直四棱柱的定义,故①正确;
对于②,将正方体的上底面向右移动一定的距离,使侧棱与底面不垂直,此时四棱柱的上、下底面仍为正方形,但该四棱柱不是正四棱柱,故②错误;
对于③,将正方体的上底面向右移动一定的距离,使侧棱与底面不垂直,此时四棱柱的侧面仍两两全等,但该四棱柱不是直四棱柱,故③错误.
4.解析 (1)长方体ABCD-A1B1C1D1是棱柱.
长方体中相对的两个面是平行的,其余每个面都是矩形(四边形),且每相邻的两个矩形的公共边都互相平行,符合棱柱的结构特征,
∴长方体ABCD-A1B1C1D1是棱柱.
(2)根据棱柱的定义可知,各部分几何体都是棱柱,分别为棱柱BB1F-CC1E和棱柱ABFA1-DCED1.
5.A 根据棱锥的定义,B、C、D中的几何体是棱锥,A中的几何体不是棱锥.故选A.
6.D 对于A,四棱锥共有八条棱,故A错误;对于B,五棱锥共有六个面,故B错误;易知C错误;对于D,根据棱锥的定义知,D正确.故选D.
7.A 根据题意及选项,可知顺序为②年①③,故选A.
8.A 当摆放为正四面体时,所需木棒的根数最少,且满足由4个正三角形构成,此时需要木棒的根数为6.
9.C 因为棱锥的侧棱不一定相等,
所以截得棱台的侧棱也不一定相等.
10.C 如图,三棱台ABC-A1B1C1可分割为三棱锥A1-ABC,三棱锥B-A1CC1,三棱锥C1-A1B1B,共3个.
11.答案 ①③④⑤
解析 ①正确,因为此几何体有六个面,符合六面体的定义;②错误,因为侧棱的延长线不能交于一点;③正确,把几何体放倒,就会发现是一个四棱柱;④正确,如图1所示;⑤正确,如图2所示.
12.解析 ∵E,F分别是A1B1,A1C1的中点,且A1B1=AB,A1C1=AC,B1C1=BC,
∴===.
∴△A1EF∽△ABC,且AA1,BE,CF延长后交于一点.
又面A1B1C1与面ABC平行,
∴几何体A1EF-ABC是三棱台.
其中面ABC是下底面,面A1EF是上底面,面ABEA1,面BCFE和面ACFA1是侧面.(共45张PPT)
第八章
立体几何初步
8.1 基本立体图形
第1课时 多面体
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．通过对实物模型的观察，归纳认知简单多面体——棱柱、棱锥、棱台的结构特性.(直观想象)
2．能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来判断、描述现实生活中的实物模型.(直观想象)
1．通过观察和感知实物模型，从整体上认识棱柱、棱锥、棱台的结构特性.
2．与平面几何的有关概念、图形和性质进行适当类比，逐步学会用类比思想分析问题和解决问题.
必备知识·探新知
1．概念：如果只考虑物体的_______和_______，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的___________叫做空间几何体.
空间几何体
知识点1
形状
大小
空间图形
2．多面体与旋转体
(1)多面体：由若干个_____________围成的几何体叫做多面体(如图)，围成多面体的各个多边形叫做多面体的_____；相邻两个面的_________叫做多面体的棱；棱与棱的_________叫做多面体的顶点.
(2)旋转体：我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定_______旋转所形成的_____________叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴.
平面多边形
面
公共边
公共点
直线
封闭几何体
[归纳总结] 对多面体概念的理解，注意以下几个方面：
(1)多面体是由平面多边形围成的，不是由圆面或其它曲面围成，也不是由空间多边形围成.
(2)本章所说的多边形，一般包括它内部的平面部分，故多面体是一个“封闭”的几何体.
(3)围成一个多面体至少要有四个面.
(4)规定：在多面体中，不在同一面上的两个顶点的连线叫做多面体的对角线，不在同一面上的两条侧棱称为多面体的不相邻侧棱，侧棱和底面多边形的边统称为棱.
(5)一个多面体是由几个面围成，那么这个多面体称为几面体.
1．棱柱
几种常见的多面体
知识点2
定义
一般地，有两个面互相_______，其余各面都是_________，并且每_______两个四边形的公共边都互相_______，由这些面所围成的_________叫做棱柱
有关
概念
棱柱中，两个互相_______的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的_________叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的___________叫做棱柱的顶点
平行
四边形
相邻
平行
多面体
平行
公共边
公共顶点
字母
边数
[归纳总结] 棱柱的简单性质：
(1)侧棱互相平行且相等；侧面都是平行四边形.
(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形，如图①所示.
(3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形，如图②所示.
棱柱概念的推广：
(1)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱.
(2)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.
(3)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.
(4)平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，即平行六面体的六个面都是平行四边形.
(5)长方体：底面是矩形的直棱柱叫做长方体.
(6)正方体：棱长都相等的长方体叫做正方体.
2．棱锥
定义
一般地，有一个面是_________，其余各面都是_________________的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥
有关
概念
多边形面叫做棱锥的底面或底；有___________的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的___________叫做棱锥的顶点；相邻侧面的_________叫做棱锥的侧棱
多边形
有一个公共顶点
公共顶点
公共顶点
公共边
字母
S－ABCD
边数
四面体
[归纳总结] 棱锥的性质：
(1)侧棱有公共点，即棱锥的顶点；侧面都是三角形.
(2)底面与平行于底面的截面是相似多边形，如图①所示.
(3)过不相邻的两条侧棱的截面是三角形，如图②所示.
3．棱台
定义
用一个_________棱锥底面的平面去截棱锥，_____________之间的部分叫做棱台
有关
概念
原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的_________和_________；其余各面叫做棱台的_______；相邻侧面的_________叫做棱台的侧棱；底面与_______的公共顶点叫做棱台的顶点
平行于
底面与截面
下底面
上底面
侧面
公共边
侧面
字母
ABCD－A′B′C′D′
边数
[归纳总结] 棱台的性质：
(1)侧棱延长后交于一点；侧面是梯形.
(2)两个底面与平行于底面的截面是相似多边形，如图①所示.
(3)过不相邻的两条侧棱的截面是梯形，如图②所示.
关键能力·攻重难
下列关于棱柱的说法：
(1)所有的面都是平行四边形；
(2)每一个面都不会是三角形；
(3)两底面平行，并且各侧棱也平行；
(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱.
其中正确说法的序号是_________.
题型探究
题型一
棱柱的结构特征
典例
1
(3)(4)
[分析] 首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他性质.
[解析] (1)错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；
(2)错误，棱柱的底面可以是三角形；
(3)正确，由棱柱的定义易知；
(4)正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，
所以说法正确的序号是(3)(4).
[归纳提升] 棱柱结构特征问题的解题策略
(1)有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义：
①两个底面互相平行；
②其余各面是平行四边形；
③相邻两个平行四边形的公共边互相平行且相等.
求解时，首先看是否有两个面平行，再看是否满足其他特征.
(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除.
【对点练习】? 下列说法正确的是
( )
A．棱柱的侧面都是矩形
B．棱柱的侧棱都相等
C．棱柱的棱都平行
D．棱柱的侧棱总与底面垂直
B
[解析] 由棱柱的定义知，棱柱的侧面都是平行四边形，不一定都是矩形，故A不正确；而平行四边形的对边相等，故侧棱都相等，所以B正确；对选项C，侧棱都平行，但底面多边形的边(也是棱)不一定平行，所以错误；棱柱的侧棱可以与底面垂直也可以不与底面垂直，故D不正确.
(1)下列说法正确的有____个.
①有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.
②正棱锥的侧面是等边三角形.
③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.
题型二
棱锥、棱台的结构特征
典例
2
0
(2)下列关于棱锥、棱台的说法：
①棱台的侧面一定不会是平行四边形；
②棱锥的侧面只能是三角形；
③由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；
④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
其中正确说法的序号是_________.
[分析] 根据棱锥、棱台的结构特征进行判断.
①②③
[解析] (1)①错误.棱锥的定义是：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.而“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，故此说法是错误的.如图所示的几何体不是棱锥，理由是△ADE和△BCF无公共顶点.
②错误.正棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是等边三角形.
③错误.由已知条件知，此三棱锥的三个侧面未必全等，所以不一定是正三棱锥.如图所示的三棱锥中有AB＝AD＝BD＝BC＝CD，满足底面△BCD为等边三角形，三个侧面△ABD，△ABC，△ACD都是等腰三角形，但AC长度不一定，三个侧面不一定全等.
(2)①正确，棱台的侧面都是梯形.
②正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形.
③正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥.
④错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.
[归纳提升] (1)棱柱、棱台、棱锥关系图
(2)关于棱锥、棱台结构特征题目的判断方法：
①举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.
②直接法
?
棱锥
棱台
定底面
只有一个面是多边形，此面即为底面
两个互相平行的面，即为底面
看侧棱
相交于一点
延长后相交于一点
【对点练习】? 下列说法正确的有
( )
①由五个面围成的多面体只能是四棱锥；
②仅有两个面互相平行的五面体是棱台；
③两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
④有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
A
[解析] 由五个面围成的多面体还可能是三棱台、三棱柱等，故①错；三棱柱是只有两个面平行的五面体，故②错.如图，可知③④错误.
如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？
题型三
空间想象能力与几何体的侧面展开
典例
3
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
(1)都是多面体；
(2)①中的折痕是平行线，是棱柱；
②中折痕交于一点，是棱锥；
③中侧面是梯形，是棱台.
[解析] ①五棱柱；②五棱锥；③三棱台.如图所示.
[归纳提升] 多面体展开图问题的解题策略
(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图.
(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推.同一个几何体表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图.
【对点练习】? 纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，如图1，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到右侧的平面图形，如图2．则标“△”的面的方位是
( )
A．南
B．北
C．西
D．下
B
[解析] 将所给图形还原为正方体，如图3所示，最上面为△，最左面为东，最里面为上，将正方体旋转后让左面向东，让“上”面向上可知“△”的方位为北.
对如图1所示的几何体描述正确的是___________(填序号).
①这是一个六面体；
②这是一个四棱台；
③这是一个四棱柱；
④此几何体可由三棱柱截去
一个小三棱柱而得到；
⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱而得到.
易错警示
典例
4
凭直观感觉判断几何体致误
①③④⑤
[错解] ①②③④⑤
[错因分析] 解答本题时，学生易直观上感觉是棱台，忽略此几何体侧棱的延长线不能相交于一点，从而错选②.
[正解] ①正确，因为该几何体有六个面，属于六面体.
②错误，因为侧棱的延长线不能交于一点.
③正确，如果把几何体正面或背面作为底面就会发现是一个四棱柱.
④⑤都正确，如图2(1)(2)所示.
[误区警示] 在解答关于空间几何体概念的判断题时，要注意紧扣定义，这就需要我们熟悉各种空间几何体概念的内涵和外延，切忌只凭图形主观臆断，如本例若意识不到棱台各侧棱延长后交于一点则会致错.
【对点练习】? 有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形，这些面围成的几何体是否一定是棱柱？
[解析] 满足题目条件的几何体不一定是棱柱，如图所示的几何体满足题中条件，但都不是棱柱.
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
