(共39张PPT)
第八章
立体几何初步
8.2 立体图形的直观图
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.(直观想象)
2．用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图.(直观想象)
3．掌握直观图与原图、直观图与三视图的关系.(数据分析)(直观想象)
1．结合初中所学的平行投影方法，把握图形投影的规则.
2．结合常见平面图形感受其直观图并体会斜二测的含义.
必备知识·探新知
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
知识点1
(1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可.
(2)画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出高线(与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可)，连线成图.
(3)擦去辅助线，被遮线用虚线表示.
用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤
知识点2
画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且使平行于z轴的线段的_________和_______都不变.
几何体直观图的画法规则
知识点3
平行性
长度
[知识解读] 1．对斜二测画法中“斜”“二测”的解读
“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x轴成45°或135°；
“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半.
斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点，并在直观图中画出.
2．在直观图中“变”的量与“不变”量
(1)平面图形用其直观图表示时，一般说来，平行关系不变；
(2)点的共线性不变，线的共点性不变，但角的大小有变化(特别是垂直关系有变化)；
(3)有些线段的度量关系也发生变化.因此图形的形状发生变化.
斜二测画法的位置特征与度量特征简记为：横不变、纵折半，平行位置不改变.
关键能力·攻重难
画正五边形的直观图.
[分析] (1)如何建立直角坐标系.
(2)确定不在坐标轴上的点.
(3)建立坐标系xOy后，B、E两点不在坐标轴上或平行于坐标轴的直线上，故需作BG⊥x轴于G，EH⊥x轴于H.
题型探究
题型一
水平放置的平面图形直观图的画法
典例
1
[解析] (1)以正五边形的中心为原点O，建立如图(1)所示的直角坐标系xOy，再建立如图(2)所示的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°；
[归纳提升] 画平面图形的直观图的关键点
画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置.顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或与轴平行的线段上；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，遇到这类顶点一般通过过此点作与轴平行的线段，将其转化到与轴平行的线段上来确定.
【对点练习】? 画边长为1
cm的正三角形的水平放置的直观图.
[解析] (1)如图所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.
用斜二测画法画出六棱锥P－ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF是正六边形，点P在底面的投影是正六边形的中心O(尺寸自定).
题型二
几何体的直观图画法
典例
2
[解析] 画法：(1)画六棱锥P－ABCDEF的底面.
①在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴相交于O(如图1所示)，画相应的x′轴和y′轴、z′轴，三轴交于O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°(如图2所示).
(3)成图.连接P′A′、P′B′、P′C′、P′D′、P′E′、P′F′，并擦去x′轴、y′轴、z′轴，便得到六棱锥P－ABCDEF的直观图P′－A′B′C′D′E′F′(图3).
[归纳提升] 简单几何体直观图的画法规则：
(1)画轴：通常以高所在直线为z轴建系.
(2)画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面.
(3)确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点.
(4)连线成图.
【对点练习】? 用斜二测画法画长、宽、高分别是4
cm、3
cm、2
cm的长方体ABCD－A′B′C′D′的直观图.
[解析] (1)画轴.如图①所示，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(4)成图.顺次连接A′、B′、C′、D′，并加以整理(擦掉辅助线，将被遮挡的线改为虚线)，就得到长方体的直观图(如图②).
题型三
直观图的还原与计算
典例
3
D
(2)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝3，B′C′∥x′轴，则原平面图形的面积为_______.
[分析] 利用斜二测画法的规则将直观图复原.
【对点练习】? (2019·河南省郑州市检测)水平放置的正方形ABCO如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(4,4)，则由斜二测画法画出的该正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为_____.
如图①所示，△ABC水平放置的直观图为△A′B′C′，∠B′A′C′＝30°，∠A′C′B′＝90°，请用作图法画出原△ABC，并量出△ABC的各内角，∠BAC是否等于∠B′A′C′的2倍？∠BCA是否等于∠B′C′A′？
易错警示
典例
4
对斜二测画法理解不透，导致判断错误.
[错解] ∠BAC＝2∠B′A′C′，∠BCA＝∠B′C′A′
[错因分析] 错误的原因是对斜二测画法理解不透，在用斜二测画法画直观图时，角的度数一般会发生变化，但这种变化并不是角的度数减小了一半，它的变化与角的两边的位置有关.
[正解] 如图②所示，画出直角坐标系xOy，以点A为原点.在直观图中过C′作C′D′∥O′y′轴，交A′B′于D′，在Ox轴上截取AB＝A′B′，AD＝A′D′.过D作DC∥Oy轴，使DC＝2D′C′，连接AC，BC，则△ABC为原三角形.用量角器量出∠BAC，可以得出∠BAC≠60°，所以∠BAC≠2∠B′A′C′，∠BCA≠∠B′C′A′.
【对点练习】? 水平放置的△ABC，有一边在水平线上，用斜二测画法作出的直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是
( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．任意三角形
[解析] 将△A′B′C′还原，由斜二测画法知，△ABC为钝角三角形.
C
课堂检测·固双基
素养作业·提技能8.2 立体图形的直观图
基础过关练
题组一 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图
1.(2020湖南衡阳八中高一月考)如图是水平放置的三角形的直观图,D'是△A'B'C'中B'C'边上的一点,且D'离B'比D'离C'近,A'D'∥y'轴,B'C'∥x'轴,那么原△ABC的AB,AD,AC三条线段中,最长、最短的线段分别是( )
A.AB,AC
B.AC,AD
C.AD,AC
D.AB,AD
2.(2020黑龙江大庆实验中学高一下月考)如图为一平面图形的直观图,则此平面图形是下列选项中的( )
3.如图,建立平面直角坐标系,得到的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是( )
4.用斜二测画法画出图中四边形OBCD的直观图.
题组二 空间几何体的直观图的画法
5.已知一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样,长方体的长、宽、高分别为20
m,5
m,10
m,四棱锥的高为8
m.如果按1∶500的比例画出它的直观图,那么在直观图中,长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( )
A.4
cm,1
cm,2
cm,1.6
cm
B.4
cm,0.5
cm,2
cm,0.8
cm
C.4
cm,0.5
cm,2
cm,1.6
cm
D.4
cm,0.5
cm,1
cm,0.8
cm
6.已知两个圆锥的底面重合在一起,其中一个圆锥顶点到底面的距离为2
cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为3
cm,则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )
A.2
cm
B.3
cm
C.2.5
cm
D.5
cm
7.用斜二测画法画出底面为正方形的四棱台的直观图,其中上、下底面边长分别为2,3,高为2.
题组三 平面图形直观图的有关计算
8.(2020安徽合肥一中高二上期中)一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD(如图所示),若∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,则这个平面图形的面积为( )
A.+
B.2+
C.+
D.+
9.(2020陕西汉中高一上期末校级联考)如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图,则原平面图形的面积为 .?
10.(2020河南济源高一上期末)已知水平放置的四边形ABCD按照斜二测画法画出的直观图A'B'C'D'如图所示,其中A'D'=2,B'C'=4,A'B'=1,则DC的长度是 .?
能力提升练
题组 与直观图有关的计算
1.(2020黑龙江大庆实验中学高一下期中,)△ABC按斜二测画法得到△A'B'C',如图所示,其中B'O'=C'O'=1,A'O'=,那么△ABC的形状是( )
A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.三边互不相等的三角形
2.(2020山西大学附属中学高二上期中,)如图,平行四边形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O'A'=4,O'C'=2,∠A'O'C'=30°,则下列叙述正确的是( )
A.原图形是正方形
B.原图形是非正方形的菱形
C.原图形的面积是8
D.原图形的面积是8
3.(2020山东烟台二中高一下月考,)如图,水平放置的一个平面图形的直观图是边长为1
cm的正方形,则原图形的周长是( )
A.8
cm
B.6
cm
C.2(1+)
cm
D.2(1+)
cm
4.(2020黑龙江齐齐哈尔实验中学高一下期中,)如图,一个水平放置的平面图形的斜二测直观图为直角梯形O'A'B'C',且O'A'=2,O'C'=1,A'B'平行于y'轴,则这个平面图形的面积为( )
A.5
B.5
C.
D.
5.(2020四川绵阳中学高二上月考,)如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是( )
A.2+
B.
C.
D.1+
6.(2020河北衡水武邑中学高一上月考,)如图所示,四边形ABCD为一平面图形的直观图,AB=2,AD=2BC=4,AD∥BC,AB∥y'轴,AD∥x'轴,则原四边形的面积为( )
A.4
B.8
C.12
D.10
7.(2020江西赣州十五县高二上期中,)水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示,已知A'C'=3,B'C'=2,则AB边上的中线为 .?
8.(2020黑龙江鸡西第一中学高一下期末,)如图是△AOB用斜二测画法画出的直观图△A'O'B',其中A'D'∥y'轴,则△AOB的周长是 .?
9.()在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形
A'B'C'D',如图,其对角线A'C'在水平位置,已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图,试画出该四边形的平面图形并求出其面积.
答案全解全析
基础过关练
1.B 原△ABC的平面图如图所示.
由题意可知,AD⊥BC,BDAB>AD,所以△ABC的AB,AC,AD三条线段中,最长的是AC,最短的是AD.故选B.
2.C 由斜二测画法的规则知,C正确.
3.C 在A、B、D中,三角形ABC的直观图的底和高均相等,它们是全等的,只有C不全等.
4.解析 (1)过点C作CE⊥x轴,垂足为E,如图①所示.
(2)画出对应的x'轴、y'轴,使∠x'O'y'=45°,如图②所示,在x'轴上取点B',E',使得O'B'=OB,O'E'=OE;在y'轴上取一点D',使得O'D'=OD;过E'作E'C'∥y'轴,使E'C'=EC.
(3)连接B'C',C'D',并擦去x'轴与y'轴及其他辅助线,如图③所示,四边形O'B'C'D'就是所求的直观图.
5.C 由比例可知,长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4
cm,1
cm,2
cm和1.6
cm,再结合斜二测画法可知,直观图的相应尺寸分别为4
cm,0.5
cm,2
cm和1.6
cm.
6.D 由题意可知其直观图如图所示.
由图可知,两个顶点之间的距离为5
cm.故选D.
7.解析 (1)画轴.画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.
(2)画下底面.以O为中心,在x轴上取线段MN,使MN=3;在y轴上取线段PQ,使PQ=1.5.分别过点M和点N作y轴的平行线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,则面ABCD即为四棱台的下底面.
(3)画上底面.在z轴上取一点O',使OO'=2,过点O'作平行于轴Ox的轴O'x',作平行于轴Oy的轴O'y',在平面x'O'y'内以O'为中心画水平放置的边长为2的正方形的直观图A'B'C'D'.
(4)连线.被遮挡的线画成虚线(如图①),擦去辅助线并整理,就得到四棱台的直观图(如图②).
8.B ∵在直观图中,∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,
∴BC=1+,
∴原平面图形是上底长为1,下底长为1+,高为2的直角梯形,
∴原平面图形的面积为××2=2+.
故选B.
9.答案 4
解析 由斜二测画法可知,原平面图形为两直角边分别为2,4的直角三角形,故面积为×2×4=4.
10.答案 2
解析 画出原图形如下图所示,过点D作DE⊥BC于E,则DC==2.
能力提升练
1.A 原△ABC如图所示.
由图易得,AB=BC=AC=2,故△ABC为等边三角形,故选A.
2.C 过点C'作y'轴的平行线交x'轴于点D',如图(1),由题意得,O'C'=2,∠C'O'D'=30°,∠C'D'O'=135°,∠D'C'O'=15°,所以由正弦定理可得==,
解得O'D'=-1,D'C'=.
图(1)
将直观图还原为平面图形,如图(2),
则OD=O'D'=-1,CD=2D'C'=2,所以OC==,
又OA=OA'=4,所以OC≠OA,所以原图形既不是正方形也不是菱形,原图形的面积为4×2=8.
图(2)
3.A 由斜二测画法的规则知,原平面图形如图所示.
则其周长为2(1+)=8
cm.故选A.
4.B 根据斜二测画法的规则可知,水平放置的图形OABC为直角梯形.由题意可知,OA=2,AB=2,BC=2+1=3,所以原平面图形的面积为×(3+2)×2=5.
5.A 如图所示,建立坐标系,
由图可知,原平面图形OABC为直角梯形,OC=2,BC=1,OA=+1,
所以原平面图形的面积为×(1+1+)×2=2+.故选A.
6.C 根据题意得,∠BAD=45°,原图形为一个直角梯形,且上、下底的长分别与BC,AD相等,高为AB的2倍,
所以原平面图形的面积为×(2+4)×4=12.故选C.
7.答案
解析 由题易得,△ABC为直角三角形,且AC=3,BC=4,∠C为直角,
所以AB==5,因此,AB边上的中线为AB=.
8.答案 4+4
解析 根据直观图画出原图如下图所示.
根据原图与直观图的关系可知,OB=4,OD=BD=2,AD=8,所以OA=AB==2,所以△AOB的周长是4+2×2=4+4.
9.解析 四边形ABCD的平面图形如图所示,
因为A'C'在水平位置,四边形A'B'C'D'为正方形,
所以∠D'A'C'=∠A'C'B'=45°,
所以在四边形ABCD中,DA⊥AC,AC⊥BC.
因为DA=2D'A'=2,AC=A'C'=,
所以S四边形ABCD=×AC×AD×2=2.
