(共34张PPT)
第八章
立体几何初步
8.3 简单几何体的表面积与体积
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式.(逻辑推理)
2．理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系.(逻辑推理)
3．能利用计算公式求几何体的表面积与体积.(数学运算)
1．求棱柱、棱锥、棱台的表面积时，要充分利用侧面展开图与原几何体的关系；
2．求体积时，要准确把握底面积和高，尤其是四面体.优先选面积容易求出的面作为底面.
必备知识·探新知
多面体的表面积就是围成多面体_________的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的_________的面积的和.
棱柱、棱锥、棱台的表面积
知识点1
各个面
各个面
棱柱、棱锥、棱台的体积
知识点2
底面积
高
底面积
高
上、下底面面积
高
[知识解读] 1．棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积
(1)将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开分别是平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积.
(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和.
2．对于棱柱、棱锥、棱台的体积公式的几点认识
(1)等底、等高的两个棱柱的体积相同.
(2)等底、等高的棱锥和棱柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的棱柱的体积是棱锥的体积的3倍.
关键能力·攻重难
现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、表面积.
[分析] 利用体对角线的长求出底面对角线长，由此求出菱形的边长.
题型探究
题型一
棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
典例
1
[归纳提升] 棱柱、棱锥、棱台的表面积求法
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和.
(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和.
【对点练习】? 已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S－ABCD如图所示，求它的侧面积、表面积.
(1)已知高为3的三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥B1－ABC的体积为
( )
题型二
棱柱、棱锥、棱台的体积
典例
2
D
(2)正四棱台两底面边长分别为20
cm和10
cm，侧面面积为780
cm2．求其体积.
[分析] 利用体积公式计算求解.
【对点练习】? 如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1－BB1D1D的体积为_____.
(1)如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF的体积.
题型三
求体积的等积法与分割法
典例
3
(2)如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积.
[分析] (1)适合用等积法；(2)适合用分割法.
[归纳提升] 求几何体体积的常用方法
公式法
直接代入公式求解
等积法
例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可
补体法
将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等
分割法
将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积
【对点练习】? 如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求A到平面A1BD的距离d.
已知一个正三棱柱的侧面展开图是一个长为9
cm，宽为6
cm的矩形，求此正三棱柱的体积.
易错警示
典例
4
忽略对侧面展开图的分类讨论而致错
[错因分析] 若侧面展开图是一个长、宽不等的矩形，其长和宽都可能是正三棱柱的底面周长.该解法中忽略了另一种情况，导致答案不完整.
[误区警示] 解答此类问题一定要注意侧面展开图的长、宽都可能是底面的周长，不要漏解.
【对点练习】? 如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是
_____.
课堂检测·固双基
素养作业·提技能8.3 简单几何体的表面积与体积
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
基础过关练
题组一 棱柱、棱锥、棱台的面积
1.(2020湖南怀化高一上期末)已知正四棱柱的底面边长为3
cm,侧面的对角线长是3
cm,则这个正四棱柱的表面积为( )
A.90
cm2
B.36
cm2
C.72
cm2
D.54
cm2
2.(2019江苏南京六校联合体高一下期中)已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16,侧棱长为10,则该棱台的侧面积为( )
A.80
B.240
C.350
D.640
3.(2020安徽马鞍山二中高二上期末)正三棱锥的底面边长为a,高为a,则此棱锥的侧面积等于 .?
4.(2019福建三明三地三校高一下联考)一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形,矩形的长和宽分别为5
cm,4
cm,则该棱柱的侧面积为
cm2.?
5.(2020安徽合肥一中高二上月考)已知一个正四棱台的上、下底面的边长分别为1和2,其侧面积恰好等于两底面面积之和,则该正四棱台的高为 .?
6.如图,在正四棱锥S-ABCD中,SO是这个四棱锥的高,SM是斜高,且SO=8,SM=11.
(1)求这个四棱锥的侧棱长;
(2)求这个四棱锥的表面积.
题组二 棱柱、棱锥、棱台的体积
7.(2019北京高二学业考试)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,如果AB=3,AC=1,AA1=2,那么直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为( )
A.2
B.3
C.4
D.6
8.(2020辽宁丹东高二上期末)一个正四棱锥的侧面是正三角形,斜高为,那么这个四棱锥的体积为( )
A.
B.
C.
D.
9.(2020江西景德镇高一上期末)已知一个正三棱锥的高为3,如图是其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图,其中O'B'=O'C'=1,则此正三棱锥的体积为( )
A.
B.3
C.
D.
10.(2020江苏徐州高三上期中)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,P为棱AA1的中点,若正三棱柱ABC-A1B1C1的体积为9,则三棱锥C1-PBC的体积为 .?
11.(2020豫南九校高一上联考)一个正四棱锥的侧棱长与底面边长相等,体积为,则它的侧面积为 .?
12.已知点P为直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1上的一个动点,若四棱锥P-BCC1B1的体积为V,则三棱柱ABC-A1B1C1的体积为 .?
13.正三棱台ABC-A1B1C1中,O1,O分别是上底面A1B1C1、下底面ABC的中心,已知A1B1=O1O=,AB=2.
(1)求正三棱台ABC-A1B1C1的体积;
(2)求正三棱台ABC-A1B1C1的侧面积.
14.(2020河北衡水武邑中学高一上月考)已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,过A1,C1,B三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图所示的几何体,这个几何体的体积为,求几何体ABCD-A1C1D1的表面积.
能力提升练
题组一 棱柱、棱锥、棱台的面积
1.(2020河南省实验中学高一上月考,)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是( )
A.24
B.28
C.20+4
D.20+4
2.()若正四棱锥的斜高是高的倍,则该正四棱锥的侧面积与底面积之比为 .?
3.(2020陕西榆林高一上期末,)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是正三角形,AA1⊥平面ABC,AB=AA1=a,D是BC边上的一点,且AD为∠BAC的平分线,若在三棱柱ABC-A1B1C1中去掉三棱锥C1-ACD后得到的几何体的表面积为3++18,求a的值.
题组二 棱柱、棱锥、棱台的体积
4.(2020黑龙江哈尔滨第九中学高三上期末,)我国古代名著《张邱建算经》中记载:“今有方锥,下广二丈,高三丈.欲斩末为方亭,令上方六尺.问:斩高几何?”大致意思是:有一个正四棱锥的下底面边长为二丈,高为三丈,现从上面截去一段,使之成为正四棱台,且正四棱台的上底面边长为六尺,则截去的正四棱锥的高是多少?如果我们把求截去的正四棱锥的高改为求剩下的正四棱台的体积,则该正四棱台的体积是(注:1丈=10尺)( )
A.1
946立方尺
B.3
892立方尺
C.7
784立方尺
D.11
676立方尺
5.(2019辽宁葫芦岛高一上期末,)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,点M,N分别为A1B和B1C1的中点,则三棱锥A1-MNC与三棱柱ABC-A1B1C1的体积之比为( )
A.1∶4
B.1∶5
C.1∶6
D.1∶7
6.(2020浙江宁波效实中学高二期中,)如图所示,已知三棱台ABC-A1B1C1的体积为V,AB=2A1B1,截去三棱锥A1-ABC后,剩余部分的体积为( )
A.V
B.V
C.V
D.V
7.(多选)(2020广东高三一模,)在四面体P-ABC中,PA=PB=PC=BC=1,则该四面体的体积可能是( )
A.
B.
C.
D.
8.(多选)(2020福建厦门高一下期中,)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2,AB=BC=1,∠ABC=90°,侧面AA1C1C的中心为O,点E是侧棱BB1上的一个动点,下列判断正确的是( )
A.直三棱柱的侧面积是4+2
B.直三棱柱的体积是
C.三棱锥E-AA1O的体积为定值
D.AE+EC1的最小值为2
9.(2020安徽合肥一中期末,)正四棱锥P-ABCD中,B1为PB的中点,D1为PD的中点,则三棱锥A-B1CD1和正四棱锥P-ABCD体积的比值是 .?
10.(2020天津静海一中高一下线上检测,)如图,求一个棱长为的正四面体的体积时,可以将正四面体看成是一个棱长为1的正方体截去四个角后得到的,类比这种方法,一个三对棱长相等的四面体A-BCD,其三对棱长分别为AB=CD=,AD=BC=,AC=BD=,则此四面体的体积为 .?
答案全解全析
基础过关练
1.A 由题意得,侧棱长为=6(cm),所以正四棱柱的表面积为4×3×6+2×32=90(cm2).故选A.
2.B 由题意可知,该棱台的侧面为上、下底分别为4和16,腰长为10的等腰梯形,
∴等腰梯形的高为=8,
∴等腰梯形的面积为×(4+16)×8=80,
∴该棱台的侧面积为3×80=240.
3.答案 a2
解析 如图所示,在正三角形ABC中,OB=×a=a.
所以在直角三角形POB中,PB===a,
所以在等腰三角形PAB中,底边AB上的高为=,所以正三棱锥的侧面积为3××a×=a2.
4.答案 60
解析 棱柱的侧面展开图的面积即为棱柱的侧面积,
∴棱柱的侧面积为3×5×4=60(cm2).
5.答案
解析 设正四棱台的高、斜高分别为h、h'.
由题意得,4××(1+2)×h'=12+22,解得h'=.
根据棱台的高、斜高、边心距构成直角梯形,可得h2+=,解得h=.
6.解析 (1)在Rt△SOM中,OM===.
在Rt△SBM中,SM=11,BM=OM=,
∴侧棱长SB===.
(2)结合(1)得,S侧=4××BC×SM=4××2×11=44,S底=BC2==228,
∴S表=44+228.
7.B 因为AB⊥AC,所以S△ABC==,所以=S△ABC×AA1=×2=3.故选B.
8.B 由题意设正四棱锥的棱长为a,
则其斜高为==,因此a=2,所以正四棱锥的高为=,所以这个四棱锥的体积为××22=.故选B.
9.A 因为O'B'=O'C'=1,所以B'C'=2.根据斜二测画法的知识可知,正三棱锥的底面是边长为2的等边三角形,其面积为×22=,所以正三棱锥的体积为××3=.故选A.
10.答案 3
解析 如图所示.
====C1C·S△ABC==×9=3,故答案为3.
11.答案 4
解析 设正四棱锥的侧棱长与底面边长均为2a,则底面面积为4a2,斜高为a,高为a,所以×4a3=,解得a=1.
所以S侧=×2a×a×4=4.
12.答案
解析 设三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V1.
在三棱柱ABC-A1B1C1中,点P在侧棱AA1上,所以=.
又V1=+=V1+V,
所以V1=,故答案为.
13.解析 (1)由题意得,正三棱台ABC-A1B1C1的上底面面积为×=,下底面面积为×=3,所以正三棱台ABC-A1B1C1的体积为
××=.
(2)设A1B1,AB的中点分别为M1,M,
则O1M1=,OM=1,
所以正三棱台ABC-A1B1C1的斜高M1M==,
所以正三棱台ABC-A1B1C1的侧面积为
3×=.
14.解析 由题意得,=-=2×2×AA1-××2×2×AA1=AA1=,∴AA1=4.
∴A1B=C1B=2,A1C1=2.
设A1C1的中点为H,则BH=3,
∴=×2×3=6,
∴几何体ABCD-A1C1D1的表面积为3×8+4+2+6=36.
能力提升练
1.C 根据三视图知,该几何体是下部为正方体,上部为正四棱锥的组合体,如图所示.
该几何体的表面积为5S正方形ABCD+4S△PAB=5×22+4××2×=20+4.
故选C.
2.答案 2∶1
解析 设正四棱锥的斜高为h',高为h,底面边长为a,
则h'=h,a=2=h.
∴该正四棱锥的侧面积为4×a×h'=h2,底面积为a2=h2,
∴该正四棱锥的侧面积与底面积之比为2∶1.
3.解析 由题意得AD==a,C1D==a,
AC1==a,
∴AD2+C1D2=A,∴AD⊥DC1,
∴=··=,
∴a2-··a+a2+a2+a2+a2+=a2=18+3+,解得a=2(负值舍去).
4.B 如图所示,正四棱锥S-ABCD的底面边长为2丈,即AB=20尺,高3丈,即SO=30尺.
截去一段后,得正四棱台ABCD-A1B1C1D1,且上底面边长A1B1=6尺,
∴=,解得OO1=21,
∴该正四棱台的体积是×21×(202+20×6+62)=3
892(立方尺).故选B.
5.C 因为M是A1B的中点,所以==VC-BMN==.
又=VA-CBN=VN-ABC==,
所以=×=×,所以体积之比为1∶6.故选C.
6.C 设三棱台的高为h,上底面A1B1C1的面积为S上,下底面ABC的面积为S下.
因为AB=2A1B1,所以S下=4S上,
所以三棱台的体积V=(S上+S下+)h=(5S上+)h=S上h.
三棱锥A1-ABC的体积为S下h=S上h,
所以剩余部分的体积为V.
7.BC 由题意得,面PBC是边长为1的正三角形,所以S△PBC=.设三棱锥A-PBC的高为h,则VP-ABC=VA-PBC=S△PBC·h=××h=h.
又h∈(0,1],所以该四面体的体积V∈.故选BC.
8.ACD 由题意得,底面ABC和A1B1C1是等腰直角三角形,侧面全是矩形,所以其侧面积为1×2×2+×2=4+2,故A正确;
直三棱柱的体积为S△ABC·AA1=×1×1×2=1,故B不正确;
∵点E是侧棱BB1上的一个动点,∴以平面AA1O为底面的三棱锥E-AA1O的高为定值,又=××2=,∴=××=,故C正确;
将面BB1C1C展开至与面AA1B1B共面,则四边形AA1C1C为正方形,连接AC1,交BB1于点E,即E为BB1的中点,此时AE+EC1的值最小,为2,故D正确.
9.答案
解析 如图所示,三棱锥A-B1CD1可由正四棱锥P-ABCD减去四个小三棱锥得到.设正四棱锥P-ABCD的体积为V,
因为B1为PB的中点,D1为PD的中点,
所以=V,=V,
易得=V,=V,
故三棱锥A-B1CD1和正四棱锥P-ABCD的体积的比值是=.故答案为.
10.答案 2
解析 该四面体A-BCD可以看作一个长方体截去四个角之后得到.
设长方体的长、宽、高分别为x,y,z,则解得
则VA-BCD=2×1×3-4×××2×1×3=2.
故答案为2.
