8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
基础过关练
题组一 圆柱、圆锥、圆台的表面积
1.(2019湖南长沙雅礼中学高一上期末)圆柱的底面半径为1,高为1,则圆柱的表面积为( )
A.π
B.3π
C.2π
D.4π
2.圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4,若母线长为10,则圆台的表面积为( )
A.81π
B.100π
C.168π
D.169π
3.如果圆锥的表面积是底面面积的4倍,那么该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为( )
A.120°
B.150°
C.180°
D.240°
4.(2020湖南长沙一中高一上第二次阶段性考试)已知圆锥的母线长为5,高为4,则这个圆锥的表面积为( )
A.21π
B.24π
C.33π
D.39π
5.(2020重庆南开中学高二上期末)已知一个圆柱和圆锥等底等高,且圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形,则此圆锥和圆柱的表面积之比为( )
A.
B.
C.
D.
6.(2019上海大学附属中学高二下期中)若一圆柱的侧面积为6π,则经过圆柱的轴的截面的面积为 .?
题组二 圆柱、圆锥、圆台的体积
7.圆锥的轴截面是等腰直角三角形,侧面积是16π,则圆锥的体积是( )
A.
B.
C.64π
D.128π
8.(2020四川乐山十校高二上期中联考)圆台的上、下底面面积分别是π,4π,侧面积是6π,则这个圆台的体积是( )
A.π
B.2π
C.π
D.π
9.(2019福建莆田一中高一下期中)若一圆柱与圆锥的高相等,且轴截面面积也相等,那么圆柱与圆锥的体积之比为 .?
10.(2020湖南长沙一中高一上期中)如图所示的圆锥SO中,母线长为4,且其侧面积为8π,则该圆锥的体积为 .?
题组三 球的表面积和体积
11.(2020浙江舟山高二上期末)半径为2的球的表面积是( )
A.
B.
C.16π
D.32π
12.(2019湖南常德高一下期末)已知两个球的表面积之比为1∶9,则这两个球的体积之比为( )
A.1∶
B.1∶3
C.1∶9
D.1∶27
13.(2019河南濮阳高一下期末)一个平面截一球得到直径为6的圆面,球心到这个圆面的距离为4,则这个球的体积为( )
A.
B.
C.
D.
14.(2019重庆永川高二下期末)64个直径都为的球,记它们的体积之和为V甲,表面积之和为S甲;一个直径为a的球,记其体积为V乙,表面积为S乙,则( )
A.V甲>V乙且S甲>S乙
B.V甲C.V甲=V乙且S甲>S乙
D.V甲=V乙且S甲=S乙
题组四 简单组合体的表面积和体积
15.某组合体如图所示,上半部分是正四棱锥P-EFGH,下半部分是长方体ABCD-EFGH.正四棱锥P-EFGH的高为,EF=2,AE=1,则该组合体的表面积为( )
A.20
B.4+12
C.16
D.4+8
16.(2020安徽铜陵高二上期末)直角梯形ABCD如图放置,已知∠C=∠D=90°,CD=2,BC=3,AD=4.现将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周形成几何体.求这个几何体的体积.
能力提升练
题组一 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
1.(2020山东潍坊一中高一下期中,)圆锥的高h和底面半径r之比为2∶1,且圆锥的体积V=18π,则圆锥的表面积为( )
A.18π
B.9(1+2)π
C.9π
D.9(1+)π
2.(2020福建高三下月考,)已知某圆柱的底面直径与某圆锥的底面半径相等,且它们的表面积也相等,圆锥的底面积是圆锥侧面积的一半,则此圆锥与圆柱的体积之比为( )
A.8∶5
B.4∶5
C.2∶5
D.4∶11
3.(2019山东潍坊高二下期末,)若圆锥的高等于底面直径,侧面积为π,则该圆锥的体积为( )
A.π
B.π
C.2π
D.π
4.(2019重庆八中高二下期中,)南北朝时期杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅在数学上也有很多创造,其最著名的成就是祖暅原理:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.现有一个圆柱体和一个长方体,它们的底面面积相等,高也相等,若长方体的底面周长为4,圆柱体的体积为4π,则根据祖暅原理可推断圆柱体的高( )
A.有最小值π
B.有最大值π
C.有最小值4π
D.有最大值4π
5.(2020浙江宁波余姚中学高二上期中,)若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形,则此圆柱的体积是 ;若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120°,半径为1的扇形,则这个圆锥的表面积与侧面积的比是 .?
6.(2020福建南平高一上期中,)用一个边长为2R的正方形卷成一个圆柱的侧面,再用一个半径为R的半圆卷成一个圆锥的侧面,则该圆柱与圆锥的体积之比为 .?
7.(2020上海高三模拟,)某种“笼具”由内、外两层组成,无下底面,内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱,其中圆柱与圆锥的底面周长相等,圆柱有上底面,制作时需要将圆锥的顶端剪去,剪去部分和接头忽略不计,已知圆柱的底面周长为24π
cm,高为30
cm,圆锥的母线长为20
cm.
(1)求这种“笼具”的体积(π≈3.14,结果精确到0.1
cm3);
(2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”,该材料的造价为每平方米8元,共需多少元?(π≈3.14,结果精确到1元)
8.(2020辽宁葫芦岛高一期末,)用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截得圆台的母线长为12
cm,两底面面积分别为4π
cm2和25π
cm2,求:
(1)圆台的高;
(2)圆台的体积;
(3)截得此圆台的圆锥的表面积.深度解析
9.(2019上海行知中学高二下期中,)如图,AB是圆柱的底面直径,PA是圆柱的母线,且AB=PA=2,点C是圆柱底面圆周上的点.
(1)求圆柱的侧面积和体积;
(2)若AC=1,D是PB的中点,点E在线段PA上,求CE+ED的最小值.
题组二 球的表面积和体积
10.(2019福建龙岩一级达标校高一下期末,)一个圆柱的轴截面是正方形,其侧面积与一个球的表面积相等,那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为( )
A.1∶3
B.3∶1
C.2∶3
D.3∶2
11.(2019广东东莞高三上期末调研,)圆锥SD(其中S为顶点,D为底面圆的圆心)的侧面积与底面积的比是2∶1,则圆锥SD与它的外接球(即顶点在球面上且底面圆周也在球面上)的体积比为( )
A.9∶32
B.8∶27
C.9∶22
D.9∶28
12.(2020河南三门峡高一上期末,)麻团又叫煎堆,呈球形,北方地区称麻团,是一种古老的传统特色油炸面食.制作时以糯米粉团炸起,加上芝麻而制成,有些包麻茸、豆沙等馅料,有些没有.一个长方体形状的纸盒中恰好放入4个球形的麻团,它们彼此相切,同时与长方体纸盒的上、下底、侧面均相切,其俯视图如图所示,若长方体纸盒的表面积为576
cm2,则一个麻团的体积为( )
A.36π
cm3
B.48π
cm3
C.24π
cm3
D.72π
cm3
13.(2020重庆八中高二上月考,)古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的几何体,就是圆柱容器里放了一个球,这个球“顶天立地”,四周碰边,如图,若记这个球的表面积和体积分别为S1和V1,圆柱的表面积和体积分别为S2和V2,则( )
A.<
B.=
C.>
D.与的大小关系不确定
14.()已知球、母线长和直径相等的圆柱、正方体的体积依次为V1,V2,V3,若它们的表面积相等,则∶∶=( )
A.∶2∶
B.∶∶
C.6∶4∶π
D.3∶2∶π
题组三 简单组合体的表面积和体积
15.(2020四川成都树德中学高三上月考,)魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”,刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比为π∶4.若正方体的棱长为2,则“牟合方盖”的体积为( )
A.16
B.16
C.
D.32
16.(2020山西高二上期中联考,)唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示,它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(如图2),当这种酒杯内壁的表面积(假设内壁表面光滑,表面积为S平方厘米,半球的半径为R厘米)固定时,若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍,则R的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
17.(2019黑龙江牡丹江一中高一下期末,),如图,网格纸的小正方形的边长是1,在其上用粗实线和粗虚线画出了某几何体的三视图,则该几何体的体积是( )
A.7π
B.9π
C.11π
D.13π
(2020辽宁省实验中学高三上月考,)已知某款冰淇淋的包装盒为圆台,盒盖为直径为8的圆形纸片,每盒冰淇淋中包含香草口味、巧克力口味和草莓口味冰淇淋球各一个,假定每个冰淇淋球都是半径为的球体,三个冰淇淋球两两相切,且都与冰淇淋盒盖、盒底和盒子侧面的曲面相切,则冰淇淋盒的体积为 .?
答案全解全析
基础过关练
1.D 因为圆柱的底面半径为1,高为1,
所以圆柱的表面积S=2π×12+π×2×1=4π.
故选D.
2.C 圆台的轴截面如图所示,设上底面半径为r,下底面半径为R,高为h,则R=h=4r,其母线长l===5r=10,所以r=2,R=8.
故S侧=π(R+r)l=π(8+2)×10=100π,
S表=S侧+πr2+πR2=100π+4π+64π=168π.
故选C.
3.A 设圆锥的母线长为l,底面半径为r,则πrl+πr2=4πr2,∴l=3r,
∴圆锥的侧面展开图的圆心角为==120°.故选A.
4.B 由题意得,圆锥的底面半径为=3,则底面圆的周长为6π,所以圆锥的侧面积是×6π×5=15π,又底面积为9π,
所以表面积为15π+9π=24π.故选B.
5.A 设圆柱与圆锥的底面半径为r.因为圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形,所以圆锥的高为r,母线长为r.所以圆柱的表面积为2πr2+2πr·r=4πr2,
圆锥的表面积为·2πr·r+πr2=(+1)πr2,
所以圆锥和圆柱的表面积之比为=.故选A.
6.答案 6
解析 设圆柱的底面半径为r,高为h,则6π=2πrh,即rh=3,因此圆柱的轴截面的面积为2rh=6.
7.A 设圆锥的底面半径为r,母线长为l,高为h.
∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形,
∴2r=,
即l=r.
由题意得,S侧=πrl=πr2=16π,解得
r=4,
∴l=4,h==4,
∴圆锥的体积为×π×42×4=.
故选A.
8.D 由于圆台的上、下底面面积分别是π,4π,故上、下底面半径分别为1,2.
设圆台的母线长为l,高为h.
由圆台的侧面积公式可得π×(2+1)l=6π,则圆台的母线长l=2,圆台的高h==,
∴这个圆台的体积V=×π××(4+1+2)=π.故选D.
9.答案 3∶4
解析 设圆柱与圆锥的底面半径分别为r,R,高均为h,
则2rh=×2Rh,∴R=2r,
∴圆柱和圆锥的体积之比为==.
10.答案
解析 设圆锥底面圆的半径为r,则·2πr·4=8π,解得r=2,
∴|SO|==2,
∴圆锥的体积为πr2·|SO|=π×4×2=.
11.C 由球的表面积公式可得S=4πR2=16π.故选C.
12.D 设两个球的半径分别为R1,R2.
由题意知,=,∴=,
∴两个球的体积之比为==,故选D.
13.C 如图,过球心O作OO'垂直圆面于O',连接O与圆面上一点A,
则OA==5,
故球的体积V=π×53=.故选C.
14.C V甲=64×π×=,S甲=64×4π×=4πa2,V乙=π×=,S乙=4π×=πa2.
故V甲=V乙且S甲>S乙,故选C.
15.A 由题意得,正四棱锥P-EFGH的斜高为=2,故该组合体的表面积为2×2+4×2×1+4××2×2=20.故选A.
16.解析 旋转后的几何体是由一个圆柱和一个圆锥组成的组合体.该几何体的体积为4π×3+π×4×1=π.
能力提升练
1.D 由题意得,h=2r.设圆锥的母线长为l.
∵圆锥的体积V=18π,即πr2h==18π,解得r=3,∴h=6,
∴l===3,
∴圆锥的表面积S=πrl+πr2=π×3×3+π×32=9(1+)π.故选D.
2.A 设圆锥的底面半径为r,母线长为l,高为h1,则πr2=××2πr·l,所以l=2r,所以圆锥的高h1=r,圆锥的体积为πr2h1=πr3.
由题意知,圆柱的底面半径为,设圆柱的高为h2.
因为圆锥与圆柱的表面积相等,所以3πr2=2π+2π××h2,解得h2=r,
所以圆柱的体积为πh2=πr3.
所以圆锥与圆柱的体积之比为=,故选A.
3.B 设圆锥的底面半径为R,母线长为l,则高为2R,母线长l==R,
又S侧=πRl=πR2=π,所以R=1,
所以圆锥的体积为×πR2×2R=π.故选B.
4.C 由题意得,长方体的体积为4π.
设圆柱的高为h,长方体的底面相邻两边长分别为x,y,则x+y=2,
xy≤=1,当且仅当x=y=1时,等号成立,∴h=≥4π.故选C.
5.答案 ;4∶3
解析 设圆柱的底面半径为r,则2πr=2,故r=,
又圆柱的高为2,所以圆柱的体积为π××2=.
设圆锥的底面半径为r,则底面周长为2πr,故展开后的扇形弧长为2πr,
又扇形圆心角为120°=π,半径为1,故=π,所以r=,故圆锥的侧面积为×1×2π×=,表面积为+π×=π.
故表面积与侧面积的比是=.
6.答案
解析 由题意得,圆柱的底面圆的周长为2R.设圆柱的底面圆的半径为r1,则2πr1=2R,即r1=.
又圆柱的高为2R,所以圆柱的体积为π×2R=.
由题意得,圆锥的底面圆的周长为πR.
设圆锥的底面圆的半径为r2,则2πr2=πR,即r2=,所以圆锥的高为=R,
所以圆锥的体积为π×R=.
所以圆柱与圆锥的体积之比为=.
7.解析 设圆柱的底面半径为r
cm,圆锥的高为h1
cm.
(1)由题意得,2πr=24π,所以r=12,h1==16,
所以“笼具”的体积为30πr2-πr2h1=3
552π≈11
158.9
cm3.
(2)圆柱的侧面积为2πr×30=720π
cm2,圆柱的底面积为πr2=144π
cm2,
圆锥的侧面积为πr×20=240π
cm2,
所以“笼具”的表面积为720π+144π+240π=1
104π
cm2,
故制作50个“笼具”共需=≈139元.
8.解析 (1)圆台的轴截面示意图如图所示:
过点D作DH⊥AB于H.
因为圆台的上底面面积为4π
cm2,
所以上底面圆的半径DG=2
cm.
因为圆台的下底面面积为25π
cm2,
所以下底面圆的半径BE=5
cm,
所以BH=5-2=3
cm,所以圆台的高DH===3
cm.
(2)圆台的体积为×DH×(4π+25π+)=×3×39π=39π
cm3.
(3)设圆锥的母线长为l',圆台的母线长为l,则==,所以l'=20
cm,
所以圆锥的表面积为25π+π×5×20=125π
cm2.
解题反思
求解圆台的有关问题时,画出圆台的轴截面示意图是关键,求解圆台所在的圆锥的有关问题时,可将圆台轴截面示意图中的两条母线延长相交于一点,根据比例关系求解相关值.
9.解析 (1)由题意得,圆柱的底面半径为1,高为2,所以圆柱的侧面积为2π×1×2=4π,
圆柱的体积为π×12×2=2π.
(2)将△PAC绕PA所在直线旋转到△PAC'的位置,使其与平面PAB共面,且C'在AB的反向延长线上.此时C'D与PA的交点即为使CE+ED取得最小值的点E的位置.
∵PA=AB=2,∴∠PBA=,BD=BP=,又BC'=BA+AC'=2+1=3,
∴在△C'BD中,由余弦定理得C'D==,
∴CE+ED的最小值为.
10.D 设圆柱的底面半径为r,轴截面正方形的边长为a,则a=2r,
所以圆柱的侧面积为2πra=4πr2.
设与圆柱侧面积相等的球的半径为R,则球的表面积为4πR2=4πr2,解得R=r.
因此圆柱的体积为πr2×a=2πr3,球的体积为πR3=πr3.
所以圆柱的体积与球的体积之比为.
11.A 设圆锥底面圆的半径为r,高为h,母线长为l,则侧面积为πrl,
所以侧面积与底面积的比为==2,所以l=2r,h==r,
所以圆锥的体积为πr2h=πr3.
设外接球的球心为O,半径为R,截面图如图,则OB=OS=R,OD=h-R=r-R,
BD=r.
在直角三角形BOD中,由勾股定理得
OB2=OD2+BD2,即R2=r2+,
整理,得R=r,所以外接球的体积为πR3=π×r3=.
故所求体积比为=.故选A.
12.A 设麻团的半径为r
cm.
因为麻团与长方体纸盒的上、下底、侧面都相切,
所以长方体的长为4r
cm,宽为4r
cm,高为2r
cm.
又长方体的表面积为576
cm2,所以32r2+16r2+16r2=576,解得r=3,故麻团的体积为πr3=36π(cm3).
13.B 设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R,
∴V2=πR2×2R=2πR3,V1=πR3,S2=2πR×2R+2×πR2=6πR2,S1=4πR2,
∴==,
==,
∴=.故选B.
14.C 设球的半径为R,圆柱底面圆的半径为r,正方体的棱长为a.
由它们的表面积相等,得4πR2=6πr2=6a2,则R2∶r2∶a2=∶∶,
所以∶∶=∶∶=6∶4∶π.故选C.
15.C 因为正方体的棱长为2,
所以其内切球的半径r=1,
所以V球=π×13=π,
又=,
所以V牟合方盖=×π=,
故选C.
16.D 设圆柱的高与半球的半径分别为h,R,酒杯的容积为V,则S=2πR2+2πRh,
所以πRh=-πR2,
所以V=πR3+πR2h=πR3+R=-R3+R≤πR3,
解得R≥.
又h>0,所以-πR2>0,解得R<.
所以≤R<.故选D.
17.A 原空间几何体如图所示.
该几何体的体积为π×23××+π×22×3×=7π.故选A.
18.答案 π
解析 由题得三个球是平放在一起的,三个球的球心O1,O2,O3组成一个边长为2的等边三角形,其中心为O″,所以O1O″=×=2.
由题得圆台的高为2,其轴截面如图所示,
由题得OA=4,AF=4-2=2,设BE=x,则BM=x,
在直角三角形ABG中,(x+2)2=+(2-x)2,所以x=,
所以下底面的半径为2+=,
所以圆台的体积为42π+π+×2=π.
故答案为π.(共41张PPT)
第八章
立体几何初步
8.3 简单几何体的表面积与体积
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式.(逻辑推理)
2．理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积.(逻辑推理)(数学运算)
1．求几何体的表面积时，要充分利用侧面展开图与原几何体的关系.求体积问题时，要准确把握底面积和高.
2．球心和球的半径是球的“灵魂”.
3．在许多有关球的问题中，要画出实际空间图形比较困难，可以通过构造多面体或取球的截面，把球的问题转化为多面体或平面图形的问题来解决.
必备知识·探新知
圆柱、圆锥、圆台的表面积
知识点1
2πr2
2πrl
2πr(r＋l)
πr2
πrl
πr(r＋l)
πr′2
πr2
π(r′l＋rl)
π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
圆柱、圆锥、圆台的体积
知识点2
πr2h
1．球的表面积公式S＝_______(R为球的半径).
?
2．球的体积公式V＝__________.
球的表面积和体积公式
知识点3
4πR2
[知识解读] 1．对圆柱、圆锥、圆台侧面积与表面积的求解
(1)求圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时，可直接使用公式.但圆台的表面积公式比较复杂，不要求记忆，因此，表面积的求解方法是最重要的.
(2)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积时，应根据条件计算以上旋转体的母线长和底面圆的半径长.
(3)这些公式的推导方法向我们提示了立体几何问题的解题思路，那就是主要通过空间观念等有关知识，将立体几何问题转化为平面几何问题.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一
圆柱、圆锥、圆台的表面积
典例
1
B
2π
168π
[归纳提升] 求旋转体表面积的要点
(1)因为轴截面联系着母线、底面半径、高等元素，因此处理好轴截面中边角关系是解题的关键；
(2)对于圆台问题，要重视“还台为锥”的思想方法；
(3)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时，应根据已知条件先计算出它们的母线和底面圆半径的长，而求解这些未知量常常需要列方程.
【对点练习】? (1)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的表面积为574π，则圆台较小的底面半径为____.
(2)一个圆柱的底面面积是S，其侧面积展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为______.
(3)(2020·浙江卷)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是____.
7
4πS
1
题型二
圆柱、圆锥、圆台的体积
典例
2
A
(2)如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为
( )
A．5π
B．6π
C．20π
D．10π
(3)已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这
个圆台的体积是______.
D
(2)用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.
[归纳提升] 求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解.一些不规则几何体体积可以利用割补法.
【对点练习】? (1)若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的体积是______.
(2)(2020·江苏卷)如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2
cm，高为2
cm，内孔半径为0.5
cm，则此六角螺帽毛坯的体积是___________cm.
12π
题型三
球的体积与表面积
典例
3
B
B
C
100π
(2)如图，由条件知，O1A＝3，OO1＝4，所以OA＝5，所以球的表面积为100π.
一个球的内接正方体的表面积是54，求该球的表面积和体积.
易错警示
典例
4
找错内切球截面致错
[错因分析] 将球的内接正方体所取截面理解为正方体一个面所在截面，错误得到正方体的面对角线的长等于球的直径的结论.
[误区警示] 正方体的一个面所在截面是球的小圆面，不是球的大圆面.解决此类问题应取正方体的体对角线所在的截面.
【对点练习】? 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_____.
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
