(共46张PPT)
第八章
立体几何初步
8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.1 平面
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．理解并掌握平面的基本事实及推论.(逻辑推理)
2．会用基本事实及推论解决有关问题.(逻辑推理)
要充分利用长方体以及身边的生活中的物品认识空间点、直线、平面，要类比初中平面几何中点、直线去认识空间中的点、直线、平面，逐步过渡与抽象，并确定它们之间的关系.
必备知识·探新知
1．平面的概念
几何中所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等，这样的一些物体中抽象出来的.类似于直线向两端无限延伸，几何中的平面是向四周___________的.
平面
知识点1
无限延展
2．平面的画法
我们常用矩形的直观图，即_____________表示平面，它的锐角通常画成_______，且横边长等于其邻边长的____倍，如图①.
如果一个平面的一部分被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用_______画出来，如图②.
3．平面的表示法
图①的平面可表示为________、平面ABCD、_________或平面BD.
平行四边形
45°
2
虚线
平面α
平面AC
1．直线在平面内的概念
如果直线l上的_________都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.
点、线、面之间的位置关系
知识点2
所有点
2．一些文字语言与符号语言的对应关系：
文字语言表达
符号语言表示
文字语言表达
符号语言表示
点A在直线l上
_______
点A在直线l外
_______
点A在平面α内
_______
点A在平面α外
_______
直线l在平面α内
_______
直线l在平面α外
_______
直线l，m相交于点A
l∩m＝A
平面α，β相交于直线l
α∩β＝l
A∈l
A?l
A∈α
A?α
l?α
l?α
1．
平面的基本性质及应用
知识点3
有且只有
两个点
这个平面内
l?α
公共直线
2．利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论：
推论1_______________________________，有且只有一个平面.
推论2___________________，有且只有一个平面.
推论3___________________，有且只有一个平面.
经过一条直线和这条直线外一点
经过两条相交直线
经过两条平行直线
[知识解读] 1．平面的几个特点
(1)平面是平的；
(2)平面是没有厚度的；
(3)平面是无限延展而没有边界的.
2．从集合的角度理解点、线、面之间的位置关系
(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“?”表示.
(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“?”表示.
(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“?”或“?”表示.
3．准确认识三个基本事实的意义和作用
(1)基本事实1
意义：是在空间确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法.
作用：①确定平面；②证明点、线共面.
(2)基本事实2
意义：说明了平面与曲面的本质区别.通过直线的“直”来刻画平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展”.
作用：既是判断直线是否在平面内，又是检验平面的方法.
利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可推出不共线的三点，一条直线和这条直线外一点，两条相交直线，两条平行直线，都能唯一确定一个平面.
(3)基本事实3
意义：揭示了两个平面相交的主要特征，提供了确定两个平面交线的方法.
作用：①判断两个平面是否相交；
②确定两个平面的交线；
③证明若干点共线问题.
关键能力·攻重难
根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系.
(1)点P与直线AB；
(2)点C与直线AB；
(3)点M与平面AC；
(4)点A1与平面AC；
(5)直线AB与直线BC；
(6)直线AB与平面AC；
(7)平面A1B与平面AC.
题型探究
题型一
三种语言的相互转化
典例
1
[解析] (1)点P∈直线AB；
(2)点C?直线AB；
(3)点M∈平面AC；
(4)点A1?平面AC；
(5)直线AB∩直线BC＝点B；
(6)直线AB?平面AC；
(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.
[归纳提升] 三种语言的转换方法
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.
(2)要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“∈”或“?”，直线与平面的位置关系只能用“?”或“?”.
提醒：根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.
【对点练习】? (1)若点M在直线a上，a在平面α内，则M、a、α间的关系可记为___________________；
(2)根据图，填入相应的符号：A_____平面ABC，A_____平面BCD，BD_____平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝_____；
(3)用符号语言表示下面语句，并画出图形：三个
平面α、β、γ相交于一点P，且平面α与平面β交于PA，
平面α与平面γ交于PB，平面β与平面γ交于PC.
M∈a，a?α，M∈α
∈
?
?
AC
[解析] (3)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC.
图形表示：如图所示.
已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图.求证：P、Q、R三点共线.
[分析] (1)P、Q、R三点分别在哪几个平面上？
(2)在两个相交平面上的点，有什么特点？
题型二
点共线问题
典例
2
[解析] 证法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.
又AB?平面ABC，∴P∈平面ABC.
∴由公理3可知：
点P在平面ABC与平面α的交线上，
同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上.
∴P、Q、R三点共线.
证法二：∵AP∩AR＝A，
∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，
∴平面APR∩平面α＝PR.
∵B∈面APR，C∈面APR，∴BC?面APR.
又∵Q∈面APR，Q∈α，
∴Q∈PR.∴P、Q、R三点共线.
[归纳提升] 点共线的证明方法：证明多点共线通常利用基本事实3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上.
【对点练习】? 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，求证：C1、O、M三点共线.
[解析] 由AA1∥CC1，则AA1与CC1确定一个平面A1C.
∵A1C?平面A1C，而O∈A1C，∴O∈平面A1C.
又A1C∩平面BC1D＝O，∴O∈平面BC1D.
∴O点在平面BC1D与平面A1C的交线上.
又AC∩BD＝M，∴M∈平面BC1D且M∈平面A1C.
又C1∈平面BC1D且C1∈平面A1C，
∴平面A1C∩平面BC1D＝C1M，∴O∈C1M，即C1、O、M三点共线.
已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面.
[证明] 如图所示.由已知a∥b，所以过a，b有且只有一个平面α.设a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l?α.即过a，b，l有且只有一个平面.
题型三
线共面问题
典例
3
[归纳提升] 在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：
(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内.
(2)同一法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内.
【对点练习】? 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.
[证明] 法一(纳入法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2．又∵l2?α，∴B∈α.同理可证C∈α.
又∵B∈l3，C∈l3，∴l3?α.
∴直线l1，l2，l3在同一平面内.
法二(同法一、重合法)∵l1∩l2＝A，
∴l1，l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2?α，∴A∈α.
∵A∈l2，l2?β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内.
∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.
已知：如图，空间四边形ABCD中，E、H分别为BC、AB的中点，F在CD上，G在AD上，且有DF︰FC＝DG︰GA＝1︰2．
求证：直线EF、BD、HG交于一点.
[分析] 先证EF、HG一定相交于一点，
再证这一点在直线BD上.
题型四
线共点问题
典例
4
设EF∩GH＝O，则O∈GH，O∈EF.
∵GH?平面ABD，EF?平面BCD，∴O∈平面ABD，O∈平面BCD.
∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴O∈BD，即直线EF、BD、HG交于一点.
[归纳提升] 三线共点的证明方法：
证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.
【对点练习】? 三个平面α、β、γ两两相交，交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，已知直线a和b不平行.
求证：a、b、c三条直线必过同一点.
[解析] ∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a?γ，b?γ，
∵a、b不平行，
∴a、b必相交，设a∩b＝P，
∵P∈a，a?β，
∴P∈β，同理P∈α，
而α∩β＝c，∴P∈c.∴a、b、c相交于一点P，
即a、b、c三条直线过同一点.
已知A、B、C、D、E五点中，A、B、C、D共面，B、C、D、E共面，则A、B、C、D、E五点一定共面吗？
[错解] 因为A、B、C、D共面，所以点A在B、C、D所确定的平面内，因为B、C、D、E共面，所以点E也在B、C、D所确定的平面内，所以点A、E都在B、C、D所确定的平面内，即A、B、C、D、E五点一定共面.
[错因分析] 错解忽略了公理2中“不在一条直线上的三点”这个重要条件，实际上B、C、D三点还可能共线.
易错警示
典例
4
对于条件所给的点的位置关系考虑不全面
[正解] (1)如果B、C、D三点不共线，则它们确定一个平面α.因为A、B、C、D共面，所以点A在平面α内，因为B、C、D、E共面，所以点E在平面α内，所以点A、E都在平面α内，即A、B、C、D、E五点一定共面.
(2)如果B、C、D三点共线于l，若A、E都在l上，则A、B、C、D、E五点一定共面；
若A、E中有且只有一个在l上，则A、B、C、D、E五点一定共面；
若A、E都不在l上，则A、B、C、D、E五点可能不共面.
【对点练习】? 如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是
( )
A．A，B，C，D四点中必有三点共线
B．A，B，C，D四点中不存在三点共线
C．直线AB与CD相交
D．直线AB与CD平行
[解析] 两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面.
B
课堂检测·固双基
素养作业·提技能8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.1 平面
基础过关练
题组一 点、直线、平面位置关系的三种语言转换
1.若点Q在直线b上,b在平面β内,则Q,b,β之间的关系可记作 ( )
A.Q∈b∈β
B.Q∈b?β
C.Q?b?β
D.Q?b∈β
2.下列关于两个相交平面的画法正确的是( )
3.如图所示,用符号语言可表示为( )
A.α∩β=m,n?α,m∩n=A
B.α∩β=m,n∈α,m∩n=A
C.α∩β=m,n?α,A?m,A?n
D.α∩β=m,n∈α,A∈m,A∈n
4.已知点A在直线l上,点B不在直线l上,l在平面α外,l在平面β内,下列表示正确的有 .(填序号)?
①A∈l,②A?l,③B?l,④B?l,⑤l?α,⑥l?α,⑦l?β,⑧l?β.
题组二 平面的基本事实及其应用
5.下列命题正确的是( )
A.一条直线和一点确定一个平面
B.两条相交直线确定一个平面
C.四点确定一个平面
D.三条平行直线确定一个平面
6.下列四个命题:①任意两条直线都可以确定一个平面;②若两个平面有3个不同的公共点,则这两个平面重合;③对于直线a,b,c,若a与b共面,b与c共面,则a与c共面;④若直线l上有一点在平面α外,则l在平面α外.其中错误命题的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
7.(2020河北衡水武邑中学高一上月考)下列说法正确的是( )
A.三点确定一个平面
B.四边形一定是平面图形
C.梯形一定是平面图形
D.不重合的平面α和平面β有不同在一条直线上的三个公共点
8.(2020广东中山第一中学高一段考)下列说法不正确的是( )
A.三角形一定是平面图形
B.若四边形的两条对角线相交于一点,则该四边形是平面图形
C.圆心和圆上两点可确定一个平面
D.三条平行线最多可确定三个平面
9.已知平面α与平面β、γ分别相交,则这三个平面的交线有( )
A.1条或2条
B.2条或3条
C.1条或3条
D.1条或2条或3条
题组三 共点、共线、共面问题
10.空间四边形ABCD中,在AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果GH,EF交于一点P,则( )
A.P一定在直线BD上
B.P一定在直线AC上
C.P在直线AC或BD上
D.P既不在直线BD上,也不在直线AC上
11.(2020河南南阳一中高三上月考)如图所示,六面体ABCD-A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是( )
A.A,M,O三点共线
B.A,M,O,A1不共面
C.A,M,C,O不共面
D.B,B1,O,M共面
12.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:
(1)D,B,F,E四点共面;
(2)若A1C交平面DBFE于点R,则P,Q,R三点共线.
答案全解全析
基础过关练
1.B 因为点Q(元素)在直线b(集合)上,所以Q∈b.因为直线b(集合)在平面β(集合)内,所以b?β.所以Q∈b?β.
2.D 对于A,图中没有画出平面α与平面β的交线,另外图中的虚、实线也没有按照画法原则去画,因此A的画法不正确,同理,B,C的画法也不正确,D的画法正确.
3.A 两个平面α与β相交于直线m,直线n在平面α内,直线m和直线n相交于点A,故用符号语言可表示为α∩β=m,n?α,m∩n=A,故选A.
4.答案 ①③⑥⑧
解析 ∵点A在直线l上,直线l在平面α外,点B不在直线l上,l在平面β内,
∴A∈l,l?α,B?l,l?β.
故正确的为①③⑥⑧.
5.B 根据一条直线和这条直线外一点确定一个平面,知A不正确;B显然正确;C中,当四点在一条直线上时,可确定无数个平面,故C不正确;三条平行直线可以确定一个平面或三个平面,故D不正确.故选B.
6.C ①显然错误;
在②中,若两个平面有3个不共线的公共点,则这两个平面重合,若两个平面有3个共线的公共点,则这两个平面相交或重合,故②错误;
在③中,对于直线a,b,c,若a与b共面,b与c共面,则a与c不一定共面,如图所示的四面体S-ABC中,SA与AB共面,AB与BC共面,但SA与BC不共面,故③错误;
在④中,若直线l上有一点在平面α外,则l在平面α外,故④正确.
故选C.
7.C A错误,不共线的三个点才可以确定一个平面;
B错误,四边形不一定是平面图形;
C正确,梯形有一组对边平行,两条平行线确定一个平面;
D错误,若平面α与β有公共点,则这些公共点都在两个平面的交线上.故选C.
8.C 三角形一定是平面图形,A中说法正确;由两条相交直线确定一个平面可知,若四边形的两条对角线相交于一点,则该四边形是平面图形,B中说法正确;当圆心和圆上两点在同一条直线上(即圆的直径)时,可确定无数个平面,C中说法不正确;三条平行线最多可确定三个平面,D中说法正确.故选C.
9.D 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD和平面A1B1C1D1都与平面BB1D1D相交,这三个平面有两条交线;平面ABB1A1和平面BB1D1D都与平面BB1C1C相交,这三个平面有一条交线;平面ABB1A1和平面AA1D1D都与平面BB1D1D相交,这三个平面有三条交线.故若平面α与平面β、γ分别相交,则这三个平面的交线有1条或2条或3条.故选D.
10.B 由题意知GH?平面ADC.因为GH,EF交于一点P,所以P∈平面ADC.同理,P∈平面ABC.因为平面ABC∩平面ADC=AC,所以由基本事实3可知点P一定在直线AC上.故选B.
11.A 连接A1C1,AC,易知A1C1∥AC,
∴A1,C1,A,C四点共面,
∴A1C?平面ACC1A1.
∵M∈A1C,∴M∈平面ACC1A1,
又M∈平面AB1D1,
∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,同理点A、点O均在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,
∴A,M,O三点共线.
故选A.
12.证明 (1)连接B1D1,
∵E,F分别为D1C1,C1B1的中点,
∴EF∥B1D1.
在正方体AC1中,易知B1D1∥BD,
∴EF∥BD,
∴EF,BD可确定一个平面,即D,B,F,E四点共面.
(2)正方体AC1中,设A1A、CC1确定的平面为α,平面BDEF为β.
∵Q∈A1C1,∴Q∈α,又Q∈EF,∴Q∈β,
∴点Q在平面α与β的交线上,
同理P∈α,P∈β,
∴点P在平面α与β的交线上,
∴α∩β=PQ.
又A1C∩β=R,∴R∈β,R∈A1C,∴R∈α,
∴R∈PQ,故P,Q,R三点共线.
