(共28张PPT)
第八章
立体几何初步
8.5 空间中直线、平面的平行
8.5.1 直线与直线平行
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．掌握基本事实4及等角定理.(逻辑推理)
2．会用基本事实4证明线线平行.(逻辑推理)
借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线平行的关系.
必备知识·探新知
平行于同一条直线的两条直线_______.
基本事实4
知识点1
平行
定理
知识点2
相等
互补
[知识解读] 1．对基本事实4的认识
(1)基本事实4，它表述的性质通常叫做平行线的传递性.
(2)基本事实4是论证平行问题的主要依据.
2．对等角定理的两点认识
(1)等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是基本事实4的直接应用.
(2)当这两个角的两边方向分别相同或相反时，它们相等，否则它们互补.因此等角定理用来证明两个角相等或互补.
关键能力·攻重难
如图所示，在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点.
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)如果AC＝BD，求证：四边形EFGH是菱形.
题型探究
题型一
证明直线与直线平行
典例
1
[归纳提升] 证明空间两条直线平行的方法
(1)平面几何法
三角形中位线、平行四边形的性质等.
(2)定义法
用定义证明两条直线平行，要证明两个方面：一是两条直线在同一平面内；二是两条直线没有公共点.
(3)基本事实4
用基本事实4证明两条直线平行，只需找到直线b，使得a∥b，同时b∥c，由基本事实4即可得到a∥c.
【对点练习】? 如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，若E，F分别为AA′，CC′的中点，求证：四边形BFD′E是平行四边形.
[证明] 如图所示，取BB′的中点G，连接GC′，GE.
因为F为CC′的中点，
所以BG∥FC′，且BG＝FC′.
所以四边形BFC′G是平行四边形.
所以BF∥GC′，BF＝GC′，
又因为EG∥A′B′，EG＝A′B′，
A′B′∥C′D′，A′B′＝C′D′，
所以EG∥C′D′，EG＝C′D′.
所以四边形EGC′D′是平行四边形.
所以ED′∥GC′，ED′＝GC′，
所以BF∥ED′，BF＝ED′，
所以四边形BFD′E是平行四边形.
题型二
等角定理的应用
典例
2
所以BM∥A1E，所以CF1∥A1E.
同理可证A1F∥CE1．
因为∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行，且方向都相反，所以∠EA1F＝∠E1CF1．
[归纳提升] 求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似.
【对点练习】? 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CC1，BB1，DD1的中点，试证明：∠BGC＝∠FD1E.
设已知空间两个角α，β且α，β的两边分别平行，α＝60°，则β＝______________.
[错解] 60°
[错因分析] 在应用等角定理解题时一定要注意“两组边对应平行且方向相同”这一条件，在求解本题时容易忽略此条件而出错误答案60°.
[正解] 因为角α，β的两边分别平行，所以α，β相等或互补，又α＝60°，所以β＝60°或120°.
易错警示
典例
3
等角定理理解不准确
60°或120°
【对点练习】? 下列结论中，正确的结论有
( )
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；
④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
[解析] ②④是正确的.
B
课堂检测·固双基
素养作业·提技能8.5 空间直线、平面的平行
8.5.1 直线与直线平行
基础过关练
题组一 基本事实4及其应用
1.如图所示,在三棱锥S-MNP中,E,F,G,H分别是棱SN,SP,MN,MP的中点,则EF与HG的位置关系是( )
A.平行
B.相交
C.异面
D.平行或异面
2.如图,设E、F、G、H依次是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上除端点外的点,==λ,==μ,则下列结论中不正确的是( )
A.当λ=μ时,四边形EFGH是平行四边形
B.当λ≠μ时,四边形EFGH是梯形
C.当λ≠μ时,四边形EFGH一定不是平行四边形
D.当λ=μ时,四边形EFGH是梯形
3.如图,平面α与平面β相交于直线a,直线b在平面α内,直线c在平面β内,且b∩a=P,c∥a,求证:直线b,c是异面直线.
4.如图所示,已知E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1,CC1的中点,求证:四边形BED1F是平行四边形.
题组二 等角定理及其应用
5.下列命题中,正确的结论有( )
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等;
②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等;
③如果两条直线和第三条直线所成的角相等,那么这两条直线平行.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
6.空间两个角α,β的两边分别对应平行,且α=60°,则β为( )
A.60°
B.120°
C.30°
D.60°或120°
7.已知∠BAC=∠B1A1C1,AB∥A1B1,则AC与A1C1的位置关系是( )
A.相交
B.异面
C.平行
D.以上均有可能
8.在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别是棱AB,AD,B1C1,C1D1的中点.
求证:(1)EF?E1F1;
(2)∠EA1F=∠E1CF1.深度解析
9.如图所示,在三棱锥A-BCD中,E,F,G分别是棱AB,AC,AD上的点,且满足==.求证:△EFG∽△BCD.
答案全解全析
基础过关练
1.A 因为E、F分别是SN、SP的中点,所以EF∥PN,同理可证HG∥PN,所以EF∥HG.
2.D 连接BD.因为==λ,==μ,所以EH∥BD,且EH=λBD,FG∥BD,且FG=μBD,所以若λ=μ,则EH?FG,四边形EFGH是平行四边形;若λ≠μ,则EH∥FG,但EH≠FG,四边形EFGH是梯形.故选D.
3.证明 假设b∥c,由c∥a,得b∥a,与b∩a=P矛盾,所以b与c不平行.
假设直线b与c相交,
且b∩c=M,
因为直线b在平面α内,直线c在平面β内,所以M∈α,M∈β.
又α∩β=a,所以M∈a,
故c与a相交或重合,与c∥a矛盾.
所以b与c不相交.
综上,直线b,c是异面直线.
4.证明 如图,取D1D的中点G,连接EG,GC.
因为E是A1A的中点,G是D1D的中点,
所以EG?AD,
由正方体的性质知,AD?BC,所以EG?BC,
所以四边形EGCB是平行四边形,
所以EB?GC.
因为G,F分别是D1D,C1C的中点,
所以D1G?FC,
所以四边形D1GCF为平行四边形,
所以D1F?GC,所以EB?D1F,
所以四边形BED1F是平行四边形.
5.B ①中,如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补,故①错误;②中,如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等,故②正确;③中,两条直线和第三条直线所成的角相等,这两条直线不一定平行,故③错.故选B.
6.D 根据等角定理知,两个角的两边分别对应平行,则这两个角相等或互补,所以β为60°或120°,故选D.
7.D 如图①②③所示,∠BAC=∠B1A1C1,AB∥A1B1,AC与A1C1的位置关系分别是平行、相交、异面.故选D.
图① 图②
图③
8.证明 (1)连接BD、B1D1,在△ABD中,因为E、F分别为AB、AD的中点,所以EF∥BD,且EF=BD,同理E1F1∥B1D1,且E1F1=B1D1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为AA1?DD1,AA1?BB1,所以B1B?DD1,所以四边形BDD1B1是平行四边形,所以BD?B1D1,所以EF?E1F1.
(2)取A1B1的中点M,连接BM、F1M,则MF1?B1C1,又B1C1?BC,所以MF1?BC,所以四边形BCF1M是平行四边形,所以MB∥CF1.易知A1M?EB,所以四边形EBMA1是平行四边形,所以A1E∥MB,所以A1E∥CF1,同理可证A1F∥E1C,又∠EA1F与∠E1CF1的对应两边的方向相反,所以∠EA1F=∠E1CF1.
方法归纳
证明两个角相等的常用方法:(1)三角形相似;(2)三角形全等;(3)等角定理.
依据等角定理证明两角相等的步骤:①证明两个角的两边分别对应平行;②证明两个角的两边的方向都相同或者都相反.
9.证明 在△ABC中,∵=,
∴EF∥BC,且=.
同理,EG∥BD,且=.
∴=.
∵∠FEG与∠CBD的对应两边方向相同,
∴∠FEG=∠CBD.
∴△EFG∽△BCD.
