8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
基础过关练
题组一 空间中两条直线之间的位置关系
1.(2020重庆育才中学高二上月考)已知a,b是两条异面直线,b∥c,那么a,c的位置关系是( )
A.平行或相交
B.异面或平行
C.异面或相交
D.平行或异面或相交
2.长方体的一条体对角线所在直线与长方体的棱所在直线组成的异面直线有( )
A.2对
B.3对
C.6对
D.12对
3.(2020广东中山第一中学高一上第二次段考)平行于同一平面的两条直线的位置关系是( )
A.平行
B.相交
C.异面
D.平行或相交或异面
4.(2019辽宁沈阳东北育才实验学校高一上期末)如图,G,H,M,N均是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示GH,MN是异面直线的图形的序号为(深度解析)
A.①②
B.③④
C.①③
D.②④
5.(2019重庆高二上期末)已知空间中的三条直线a,b,c满足a⊥c,b⊥c,则直线a与直线b的位置关系是( )
A.平行
B.相交
C.异面
D.平行或相交或异面
题组二 空间中直线与平面之间的位置关系
6.(2020安徽宿州十三所重点中学高二上期中联考)直线l∥平面α,直线a?α,则l与a的位置关系是( )
A.l∥a
B.l与a异面
C.l与a相交
D.l与a平行或异面
7.若直线l与平面α相交,则下列结论正确的是( )
A.平面α内存在无数条直线与直线l异面
B.平面α内存在唯一的一条直线与直线l平行
C.平面α内存在唯一的一条直线与直线l相交
D.平面α内的直线与直线l都相交
8.三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在平面之间的关系是( )
A.相交
B.平行
C.直线在平面内
D.平行或直线在平面内
9.若直线a,b是异面直线,且a∥α,则直线b与平面α的位置关系是( )
A.b?α
B.b∥α
C.b与α相交
D.以上都有可能
10.如果平面α外有两点A,B,它们到平面α的距离都是a,则直线AB和平面α的位置关系一定是( )
A.平行
B.相交
C.平行或相交
D.AB?α
11.已知m,n为异面直线,α,β为两个不同的平面,m∥α,n∥β,α∩β=l,则( )
A.l与m,n都相交
B.l与m,n中至少一条相交
C.l与m,n都不相交
D.l与m,n中的一条相交
题组三 空间中平面与平面之间的位置关系
12.若点M∈平面α,点M∈平面β,则α与β的位置关系是 ( )
A.平行
B.相交
C.异面
D.不确定
13.在底面为正六边形的六棱柱中,互相平行的面视为一组,则共有
组互相平行的面,记其中一个侧面所在平面为α,则与α相交的面共有 个.?
14.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中:(1)AD1所在直线与平面B1BCC1的位置关系是 ;(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是 .?
15.两个平面α,β,如果α∥β,且直线c?β,判断c与α的位置关系,并说明理由.
能力提升练
题组一 平面的基本性质及其应用
1.(2020江西南昌八一中学高二下期中,)如图所示,α∩β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C?l,则平面ABC与平面β的交线是( )
A.直线AC
B.直线AB
C.直线CD
D.直线BC
2.(2020上海华东师范大学第二附属中学高二下月考,)设P1、P2、P3、P4为空间中的四个不同点,则“P1、P2、P3、P4中有三点在同一条直线上”是“P1、P2、P3、P4在同一个平面内”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.(2020广东汕头高三二模,)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=,点G为正方形ABCD的中心,点E为A1D1的中点,点F为AE的中点,则( )
A.C、E、F、G四点共面,且CF=EG
B.C、E、F、G四点共面,且CF≠EG
C.C、E、F、G四点不共面,且CF=EG
D.C、E、F、G四点不共面,且CF≠EG
4.(2020广西崇左高一上期末,)过直线l外两点作与l平行的平面,则这样的平面( )
A.不存在
B.只能作一个
C.能作无数个
D.以上都有可能
5.(2020上海复旦大学附属中学高三下月考,)对于空间中的三条直线,有以下四个条件:①三条直线两两相交;②三条直线两两平行;③三条直线共点;④两直线相交,第三条平行于其中一条,且与另一条相交.其中使这三条直线共面的充分条件有 (填正确结论的序号).?
6.(2020吉林梅河口第五中学高一下月考,)下列命题中正确的个数为 .?
①若△ABC在平面α外,它的三条边所在的直线分别交α于P,Q,R,则P,Q,R三点共线;
②若三条直线a,b,c互相平行且分别交直线l于A,B,C三点,则这四条直线共面;
③空间中不共面的五个点一定能确定10个平面.
题组二 空间中直线、平面的位置关系
7.(2020湖南师大附中高三上月考,)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线( )
A.不存在
B.有且只有两条
C.有且只有三条
D.有无数条
8.(2020四川乐山十校高二上期中,)下列四个命题:
(1)存在与两条异面直线都平行的平面;
(2)过空间中一点,一定能作一个平面与两条异面直线都平行;
(3)过平面外一点可作无数条直线与该平面平行;
(4)过直线外一点可作无数个平面与该直线平行.
其中正确命题的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
9.(2020黑龙江牡丹江一中高一下月考,)M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点,给出下列四个命题:①过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C都相交;②过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C都相交;③过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C都平行.其中真命题是( )
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
10.(2020上海交通大学附属中学高二下期中,)三条直线两两异面,同时与这三条直线相交的直线有( )
A.一条
B.两条
C.无数条
D.没有
11.()在直三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别为A1B1,B1C1的中点.求证:平面ACC1A1与平面BEF相交.
答案全解全析
基础过关练
1.C 由于a,b是两条异面直线,b∥c,所以a,c的位置关系是异面或相交.故选C.
2.C 如图所示,与直线AC1异面的直线有BB1,A1D1,A1B1,BC,CD,DD1,∴长方体的一条体对角线所在直线与长方体的棱所在直线组成的异面直线有6对,故选C.
3.D 若a∥α,且b∥α,则a与b可能平行,也可能相交,也有可能异面,故平行于同一个平面的两条直线的位置关系是平行或相交或异面,故选D.
4.D 在题图②④中,直线GH、MN是异面直线;
在题图①中,由G、M均为棱的中点易得GH∥MN;
在题图③中,∵G、M均为棱的中点,
∴易得四边形GMNH为梯形,
则GH与MN相交.
故选D.
方法技巧
判断异面直线的方法:①与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线;②定义法:不同在任何一个平面内的两条直线称为异面直线;③反证法:既不平行也不相交的两条直线即为异面直线.
5.D 如图,直三棱柱DEF-ABC中,
BE⊥BC,BE⊥EF,BC∥EF;
BE⊥DE,BE⊥EF,DE∩EF=E;
BE⊥DE,BE⊥BC,DE与BC异面,
所以直线a与直线b的位置关系是平行或相交或异面.故选D.
6.D 因为直线l∥平面α,所以平面α内的直线与l平行或异面.
又直线a?α,所以l与a平行或异面.
故选D.
7.A 在A中,平面α内存在无数条直线与直线l异面,故A正确;
在B中,平面α内不存在直线与直线l平行,故B错误;
在C中,平面α内存在无数条直线与直线l相交,故C错误;
在D中,平面α内的直线与直线l相交或异面,故D错误.
故选A.
8.A 由延长各侧棱恢复成棱锥的形状可知,三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在平面相交,故选A.
9.D 直线b与平面α可能平行,可能相交,也可能直线b在平面α内,故选D.
10.C 如图1、2所示,结合图形可知选项C正确.
11.C 因为m∥α,所以m与平面α没有公共点,所以m与l无公共点.同理,n与l无公共点,故l与m,n都没有公共点,即l与m,n都不相交.故选C.
12.B ∵M∈平面α,M∈平面β,∴α与β相交于过点M的一条直线.
13.答案 4;6
解析 六棱柱的两个底面互相平行,每个侧面与其直接相对的侧面平行,故共有4组互相平行的面.六棱柱共由8个面围成,在除所选侧面的7个面中,与α平行的面有1个,其余6个面与α均为相交的关系.
14.答案 (1)平行 (2)相交
解析 (1)AD1所在的直线与平面B1BCC1没有公共点,所以平行.
(2)平面A1BC1与平面ABCD有公共点B,故相交.
15.解析 c∥α.理由如下:因为α∥β,所以α与β没有公共点.又c?β,所以c与α无公共点,所以c∥α.
能力提升练
1.C 由题意知,D∈l,l?β,所以D∈β,又因为D∈AB,所以D∈平面ABC,即D在平面ABC与平面β的交线上,又C∈平面ABC,C∈β,所以点C在平面ABC与平面β的交线上,所以平面ABC∩平面β=CD.故选C.
2.A 若P1、P2、P3、P4中有三点在同一条直线上,则有一点不在该直线上,由推论1可知,P1、P2、P3、P4在同一平面内,故充分性成立;当P1∈l1,P2∈l1,P3∈l2,P4∈l2,l1∥l2时,P1、P2、P3、P4在同一平面内,但P1、P2、P3、P4中无三点共线,故必要性不成立.故选A.
3.B 如图,连接AC,FG,EC,因为G为正方形ABCD的中心,所以AG=GC.又因为F为AE的中点,所以AF=FE,所以由三角形的中位线定理可知,FG∥EC,所以由推论3知,C、E、F、G四点共面.
过点E作EH⊥AD于H,连接HG,则EG===2.
过点F作FT⊥AD于T,连接CT,则CF===,所以CF≠EG,故选B.
4.D 过直线l外两点作与l平行的平面,若两点所在的直线与l相交,则这样的平面不存在;若两点所在的直线与直线l异面,则这样的平面有且仅有一个;若两点所在的直线与直线l平行,则这样的平面有无数个.故选D.
5.答案 ④
解析 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB,AD,AA1两两相交,且三条直线共点,但三条直线不共面,故①③不符合要求;②三条直线两两平行也可能构成三个平面,故②不符合要求;④设a∥b,a∩c=M,b∩c=N,则a,b可唯一确定一个平面,记为α,且M∈α,N∈α,所以MN?α,即c?α,即三条直线共面,故④符合要求.
6.答案 2
解析 对于①,因为P∈α,P∈平面ABC,所以P在平面α与平面ABC的交线上,同理R,Q也在两平面的交线上,故P、Q、R三点共线,①正确;
对于②,因为a∥b,所以a,b可唯一确定一个平面,记为α,因为A∈a,B∈b,a?α,b?α,所以AB?α,即l?α,即a,b,l共面于α;同理,a,c,l三线也共面,不妨设为β,而α,β有两条公共直线a,l,所以α,β重合,即a,b,c,l共面,故②正确;
对于③,以如图所示的四棱锥P-ABCD为例.
A、B、C、D、P五点不共面,但这五个点确定了7个平面,故③错误.
故正确命题的个数为2.
7.D 如图所示,在EF上任意取一点M,直线A1D1与M确定一个平面,这个平面与CD有且仅有一个交点N,当M取不同的位置时就确定了不同的平面,从而与CD有不同的交点N,而直线MN与这三条异面直线都有交点,故有无数条.故选D.
8.C (1)将一个平面内的两条相交直线平移到平面外,且平移后不相交,则这两条直线异面且都与该平面平行,故(1)正确;(2)当点在其中一条直线上时,作不出满足要求的平面,故(2)不正确;(3)过平面外一点存在一个平面与该平面平行,这个平面内过该点的无数条直线都与已知平面平行,故(3)正确;易知(4)正确.故选C.
9.B 由题意得直线AB与B1C是两条互相垂直的异面直线,点M不在这两异面直线中的任何一条上,假设过M点有两条直线与直线AB、B1C都相交,设交点分别为E、F、G、H,如图,
E,F∈AB,G,H∈B1C,则E、F、G、H四点共面,从而直线AB、B1C共面,与AB与B1C异面矛盾,因此假设不成立;显然过M点有多于两条的直线与直线AB、B1C都相交也不成立,故过点M有且只有一条直线与直线AB、B1C都相交,①正确.
因为点M不在两条异面直线中的任何一条上,所以作平面α与直线AB、B1C都平行,如图,根据作法知平面α只有一个,所以过点M只有一个平面与直线AB、B1C都平行,故③正确.
在平面α内过点M作直线l2(与A'1B'、B'1C'不重合),如图,
则l1,l2确定的平面与直线AB、B1C都相交,由于l2有无数条,所以过点M有无数个平面与直线AB、B1C都相交,故②不正确.
10.C 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线A1B1、BC、DD1两两异面,取DD1上一点P,则P、A1、B1确定一个平面,记为α,使平面α与直线BC交于C2,则PC2与A1B1必相交,有无数个点P满足条件,故满足题意的直线有无数条,故选C.
11.证明 ∵在矩形AA1B1B中,E为A1B1的中点,
∴AA1与BE不平行,则AA1的延长线与BE的延长线相交于一点,设此点为G,则G∈AA1,G∈BE.
又AA1?平面ACC1A1,BE?平面BEF,
∴G∈平面ACC1A1,G∈平面BEF,
∴平面ACC1A1与平面BEF相交.(共32张PPT)
第八章
立体几何初步
8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.(数学抽象)(直观想象)
2．会用符号语言表示空间点、直线、平面的位置关系.(数学抽象)
3．根据有关概念，学会判断(证明)空间点、直线、平面的位置关系.(逻辑推理)
学习本节知识要多观察实物，感知现实中空间点、直线、平面的位置关系，再给出并学习定义.长方体是一个特殊的图形，当点、线、面关系比较复杂时，可以寻找长方体作为载体，将它们置于其中，立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映.
必备知识·探新知
1．异面直线的定义和画法
(1)定义：_______________________的两条直线叫做异面直线.
(2)画法：如果直线a，b为异面直线，为了表示它们不共面的特点，作图时，通常用一个或两个_______衬托.
空间中直线与直线的位置关系
知识点1
不同在任何一个平面内
平面
2．空间中直线与直线的位置关系
位置关系
是否在同一平面内
公共点个数
共面直线
相交直线
_____
1
平行直线
是
0
异面直线
_____
0
是
否
空间中直线与平面的位置关系
知识点2
无数
有且只有一个
a∩α＝A
a∥α
空间中平面与平面的位置关系
知识点3
α∥β
α∩β＝l
[知识解读] 对异面直线的理解
(1)异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线.
(2)注意异面直线定义中“任何”两字，它指空间中的所有平面，因此异面直线也可以理解为：在空间中找不到一个平面，使其同时经过a，b两条直线.
关键能力·攻重难
如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是_______；
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是_______；
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是_______；
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是_______.
题型探究
题型一
直线与直线位置关系的判断
典例
1
平行
异面
相交
异面
[解析] (1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥D1C.
(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内.
(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1．
(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内.
[归纳提升] 判定两条直线是异面直线的方法
(1)定义法：证明两条直线既不平行又不相交.
(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为l?α，A?α，B∈α，B?l?AB与l是异面直线(如图).
【对点练习】? 正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为
( )
A．4
B．5
C．6
D．7
[解析] 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与直线BA1是异面的直线有CD，C1D1，C1C，D1D，B1C1，AD，共6条，故选C．
C
下列五个结论中正确结论的个数是
( )
①如果a、b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；
②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α
内的任何一条直线平行；
③如果直线a、b满足a∥α，b∥α，那么a∥b；
④如果直线a、b和平面α满足a∥b，a∥α，b?α，那么b∥α；
⑤如果a与平面α上的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面α.
A．0
B．1
C．2
D．3
题型二
直线与平面的位置关系
典例
2
B
[解析] 如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′却在过BB′的平面ABB′A′内，故①错；AA′∥平面BB′C′C，BC?平面BB′C′C，但AA′不平行于BC，故②错；AA′∥平面BB′C′C，A′D′∥平面BB′C′C，但AA′与A′D′相交，故③错；A′B′∥C′D′，A′B′∥平面ABCD，C′D′?平面ABCD，则C′D′∥平面ABCD，故④正确；AA′显然与平面ABB′A′中的无数条直线平行，但AA′?平面ABB′A′，故⑤错误，故选B．
[归纳提升] 直线与平面位置关系的判断：
(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决.另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法.
(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点.
【对点练习】? 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，指出B1C，BD1与各面的位置关系.
[解析] (1)B1C?平面BCC1B1，B1C∥平面ADD1A1，B1C与其余4个面相交.
(2)BD1与6个面都相交.
观察下面的两个图：
(1)一楼、二楼的地面所在平面的位置关系是什么？
(2)房顶所在平面的位置关系是什么？
(3)怎样用图形表示两平面的位置关系？
题型三
平面与平面的位置关系
典例
3
[解析] (1)平行.
(2)相交.
(3)①两平行平面的画法：画两平行的平面时要注意把表示平面的两个平行四边形画成对应边平行.
②两相交平面的画法：
先画表示两个平面的平行四边形的相交两边，如图(1).
再画表示两平面交线的线段，如图(2).
再过图(1)中线段的端点分别画线段使它平行且等于(2)表示交线的线段，如图(3).
再画表示平面的平行四边形的其他边，如图(4).
[归纳提升] 平面与平面的位置关系的判断方法：
(1)平面与平面相交的判断，主要以基本事实3为依据找出一个交点.
(2)平面与平面平行的判断，主要说明两个平面没有公共点.
【对点练习】? 以下四个命题中，正确的命题有
( )
①在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；
②在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；
③平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行；
④平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交.
A．③④
B．②③④
C．②④
D．①④
A
设P是异面直线a、b外的一点，则过P与a、b都平行的平面
( )
A．有且只有一个
B．恰有两个
C．没有或只有一个
D．有无数个
易错警示
典例
4
对空间线面位置关系考虑不全面致误
C
[错解] 如图，过P作a1∥a，b1∥b.∵a1∩b1＝P，∴过a1、b1有且只有一个平面.故选A．
[错因分析] 错解是因为对空间概念理解不透彻，对P点位置没有作全面地分析，只考虑了一般情况，而忽略了特殊情形.事实上，当直线a(或b)与点P确定的平面恰与直线b(或a)平行时，与a、b都平行的平面就不存在了.
[正解] C
[误区警示] 对于空间中的线面和面面位置关系问
题，应注意结合实例，全面考虑，认真分析所有可能的
情形，才能避免判断失误.
【对点练习】? 若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是
( )
A．平行
B．异面
C．相交
D．平行、相交或异面
D
[解析] 可借助长方体来判断.
如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，A′D′所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD－A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.故a和c可以平行、相交或异面.
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
