8.5.2 直线与平面平行
基础过关练
题组一 直线与平面平行的判定
1.(2020内蒙古包头高三上期末)直线l与平面α平行的充要条件是( )
A.直线l上有无数个点不在平面α内
B.直线l与平面α内的一条直线平行
C.直线l与平面α内的无数条直线都平行
D.直线l与平面α内的任意一条直线都没有公共点
2.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为所在棱的中点,在下列各直线中,不与平面ACD1平行的是( )
A.直线EF
B.直线GH
C.直线EH
D.直线A1B
3.(2020安徽合肥第十一中学高二上期中)如果直线m∥直线n,且m∥平面α,那么n与α的位置关系是( )
A.相交
B.n∥α
C.n?α
D.n∥α或n?α
4.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是棱CC1的中点,E是棱AB的中点,证明:DE∥平面AB1C1.
5.(2020海南华侨中学高一下期末)如图,四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形,M为PC的中点.
(1)求证:BC∥平面PAD;
(2)求证:AP∥平面MBD.
6.(2020四川自贡高二上期末)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AB,A1D1的中点,判断MN与平面BB1D1D的位置关系,并说明理由.
题组二 直线与平面平行的性质
7.如图,已知S为四边形ABCD所在平面外一点,G,H分别为SB,BD上的点,若GH∥平面SCD,则( )
A.GH∥SA
B.GH∥SD
C.GH∥SC
D.以上均有可能
8.若一条直线同时平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是
( )
A.异面
B.平行
C.相交
D.不确定
9.(2020广东韶关高一上期末)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别为棱AA1,BB1的中点,过MN作一平面分别交底面三角形ABC的边BC,AC于点E,F(异于A,B,C),则( )
A.MF∥NE
B.四边形MNEF为梯形
C.四边形MNEF为平行四边形
D.A1B1∥NE
10.如图,三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,AD上的点,它们共面,且AC∥平面EFGH,BD∥平面EFGH,AC=m,BD=n,若四边形EFGH是菱形,求AE∶EB的值.
11.如图所示,已知两条异面直线AB,CD与平面MNPQ都平行,且点M,N,P,Q分别在线段AC,BC,BD,AD上,求证:四边形MNPQ是平行四边形.
12.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,点M,N分别为线段A1B,AC1的中点.
(1)求证:MN∥平面BB1C1C;
(2)若D在棱BC上,DN∥平面ABB1A1,求的值.
能力提升练
题组一 直线与平面平行的判定
1.(2020河南信阳高一上期末,)如图,在下列四个正方体中,A、B为正方体的两个顶点,M、N、Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( )
2.()如图所示,四面体A-BCD的一个截面为四边形EFGH,若==,则与平面EFGH平行的直线有( )
A.0条
B.1条
C.2条
D.3条
3.(多选)(2020广东中山第一中学高一月考,)一几何体的平面展开图如图所示(顶点P在展开图中分别为P1、P2、P3、P4),其中四边形ABCD为正方形,E、F分别为P4B、P1C的中点,在此几何体中,给出的下列结论中正确的是( )
A.直线AE与直线BF异面
B.直线AE与直线DF异面
C.直线EF∥平面PAD
D.直线EF∥平面ABCD
4.(2020辽宁辽阳高三上期末,)如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为梯形,AB∥CD,CD=1,AB=4,点G在线段AB上,AG=3GB,AA1=1.证明:D1G∥平面BB1C1C.
5.(2020上海交通大学附属中学高三上月考,)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,E、M、N分别是BC、BB1、A1D的中点,求证:MN∥平面C1DE.
6.(2020河南洛阳高一上期末,)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是棱DD1、C1D1的中点,证明:B1F∥平面A1BE.
题组二 直线与平面平行的性质
7.(2020广东韶关新丰第一中学高一上期末,)如图,在三棱锥P-ABQ中,D、C、E、F分别是AQ、BQ、AP、BP的中点,PD与EQ交于点G,PC与FQ交于点H,连接GH,则AB与GH的关系是( )
A.平行
B.垂直
C.异面
D.平行或垂直
8.(多选)(2020山东德州高一下线上检测,)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P1,P2分别是线段AB,BD1(不包括端点)上的动点,且线段P1P2平行于平面A1ADD1,则四面体P1-P2AB1的体积不可能是( )
A.
B.
C.
D.
9.(2020山东滕州第一中学高一下月考,)如图,E是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1上的一点,且BD1∥平面B1CE,则线段CE的长度为 .?
10.(2020浙江杭州第二中学高二上期中,)如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC为等腰直角三角形,AC=BC=AA1=2.
(1)求五面体A1B1C1BC的体积;
(2)若D为AB的中点,E为AC1上一点,且DE∥平面A1BC,求线段AE的长度.
11.(2020辽宁辽阳高三上期末,)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,F、G分别是棱CC1、AA1的中点,E、M分别为棱AB、A1B1上一点,B1M=3MA1,且GM∥平面B1EF.
(1)证明:E为AB的中点;
(2)若四棱锥F-B1MGE的体积为,求正方体ABCD-A1B1C1D1的表面积.
答案全解全析
基础过关练
1.D 无数个点不是所有的点,所以A不正确;由线面平行的判定定理知,缺少条件直线l在平面α外,所以B不正确;当直线l在平面α内时,满足直线l与平面α内的无数条直线都平行,但直线l与平面α不平行,所以C不正确;由直线与平面平行的定义知D正确.故选D.
2.C 连接A1C1,AB1.
对于A,因为E、F分别为棱AA1、CC1的中点,所以易得EF∥AC,又EF?平面ACD1,AC?平面ACD1,所以EF∥平面ACD1;
对于B,易得GH∥A1C1∥AC,因为GH?平面ACD1,AC?平面ACD1,所以GH∥平面ACD1;
对于C,易得EH∥AB1,因为AB1与平面ACD1相交,所以EH与平面ACD1相交;
对于D,易得A1B∥CD1,因为A1B?平面ACD1,CD1?平面ACD1,所以A1B∥平面ACD1.
3.D ∵直线m∥直线n,且m∥α,∴当n不在平面α内时,n∥α;当n在平面α内时,也符合条件,∴n与α的位置关系是n∥α或n?α,故选D.
4.证明 如图,取AB1的中点H,连接EH,HC1.
∵E是棱AB的中点,∴EH∥BB1,且EH=BB1.
∵D是棱CC1的中点,∴DC1=CC1,
又BB1∥CC1,且BB1=CC1,∴DC1∥BB1,且DC1=BB1,
∴EH∥DC1,且EH=DC1,
∴四边形EHC1D为平行四边形,∴DE∥HC1.
又∵HC1?平面AB1C1,DE?平面AB1C1,
∴DE∥平面AB1C1.
5.证明 (1)∵四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形,∴BC∥AD,
又BC?平面PAD,AD?平面PAD,
∴BC∥平面PAD.
(2)连接AC交BD于O,连接OM,如图.
∵底面ABCD为平行四边形,∴O是AC的中点,又M为PC的中点,∴OM∥AP.
∵OM?平面MBD,AP?平面MBD,
∴AP∥平面MBD.
6.解析 MN∥平面BB1D1D,理由如下:
如图,取B1D1的中点E,连接NE,BE,
则NE∥A1B1,且NE=A1B1,又A1B1∥AB,A1B1=AB,MB=AB,
∴NE∥MB,且NE=MB,∴四边形MNEB为平行四边形,∴MN∥BE,
又MN?平面BB1D1D,BE?平面BB1D1D,
∴MN∥平面BB1D1D.
7.B ∵GH∥平面SCD,GH?平面SBD,平面SBD∩平面SCD=SD,
∴GH∥SD,易知选项A、C、D不成立.故选B.
8.B 如图所示,直线a∥α,a∥β,α∩β=b.
设经过a的平面与α相交于直线c,∵a∥α,∴a∥c,同理,设经过a的平面与β相交于直线d,则a∥d,由基本事实4得c∥d,
∵c?β,d?β,∴c∥β,又c?α,α∩β=b,∴c∥b,又a∥c,∴a∥b.故选B.
9.B 易得MN∥AB,MN=AB.
∵MN?平面ABC,AB?平面ABC,
∴MN∥平面ABC.
又MN?平面MNEF,平面MNEF∩平面ABC=EF,
∴MN∥EF,∴EF∥AB.
显然在△ABC中,EF≠AB,∴EF≠MN,
∴四边形MNEF为梯形.
故选B.
10.解析 因为AC∥平面EFGH,AC?平面ABC,平面ABC∩平面EFGH=EF,所以EF∥AC,所以=.①
同理可得=.②
若四边形EFGH是菱形,则EF=EH,结合①②,得=,
又AC=m,BD=n,所以=.
11.证明 ∵AB∥平面MNPQ,AB?平面ABC,平面ABC∩平面MNPQ=MN,
∴AB∥MN.又AB?平面ABD,平面ABD∩平面MNPQ=PQ,∴AB∥PQ,
∴MN∥PQ.
同理可证NP∥MQ,
∴四边形MNPQ是平行四边形.
12.解析 (1)证明:连接A1C,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C为矩形,N为AC1的中点,所以N为A1C的中点,又M为A1B的中点,所以MN∥BC,又MN?平面BB1C1C,BC?平面BB1C1C,所以MN∥平面BB1C1C.
(2)因为DN∥平面ABB1A1,DN?平面A1BC,平面A1BC∩平面ABB1A1=A1B,所以DN∥A1B,所以==1.
能力提升练
1.A B选项中,易知AB∥MQ,且AB?平面MNQ,MQ?平面MNQ,则AB∥平面MNQ;C选项中,易知AB∥MQ,且AB?平面MNQ,MQ?平面MNQ,则AB∥平面MNQ;D选项中,易知AB∥NQ,且AB?平面MNQ,NQ?平面MNQ,则AB∥平面MNQ.故选A.
2.C 因为=,所以EF∥AB.
又EF?平面EFGH,AB?平面EFGH,
所以AB∥平面EFGH.
同理可证CD∥平面EFGH.
所以与平面EFGH平行的直线有2条.
3.ACD 如图,将平面展开图还原,
显然AE、BF异面,可知A正确;
易得EF∥BC,又BC∥AD,∴EF∥AD,又EF?平面PAD,AD?平面PAD,∴EF∥平面PAD,可知C正确;
易知四边形AEFD为梯形,可知B错误;
∵EF∥BC,BC?平面ABCD,EF?平面ABCD,∴EF∥平面ABCD,故D正确.
故选ACD.
4.证明 连接C1B,∵底面ABCD为梯形,AB∥CD,CD=1,AB=4,AG=3GB,∴GB∥CD∥D1C1,且GB=D1C1=1,∴四边形GBC1D1为平行四边形,∴D1G∥C1B,
又C1B?平面BB1C1C,D1G?平面BB1C1C,∴D1G∥平面BB1C1C.
5.证明 连接B1C、ME,
∵M、E分别是BB1、BC的中点,∴ME∥B1C,且ME=B1C,∵N为A1D的中点,
∴ND=A1D.
由题设知A1B1?DC,∴四边形A1B1CD是平行四边形,
∴B1C?A1D,∴ME?ND,∴四边形MNDE是平行四边形,
∴MN∥ED,又MN?平面C1DE,DE?平面C1DE,
∴MN∥平面C1DE.
6.证明 连接AB1,交A1B于点O,连接EF、EO、C1D.
∵E、F分别是棱DD1、C1D1的中点,∴EF∥C1D,EF=C1D.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,易得
B1A∥C1D,B1A=C1D,∴EF=B1A=B1O,EF∥B1O,
∴四边形EFB1O是平行四边形,
∴B1F∥OE,
又B1F?平面A1BE,EO?平面A1BE,
∴B1F∥平面A1BE.
7.A 连接EF、CD.
∵D、C、E、F分别是AQ、BQ、AP、BP的中点,∴EF∥AB,DC∥AB,∴EF∥DC,
又∵EF?平面PCD,DC?平面PCD,
∴EF∥平面PCD,又EF?平面EFQ,平面EFQ∩平面PCD=GH,∴EF∥GH,又∵EF∥AB,
∴AB∥GH.故选A.
8.BCD 连接AD1,∵P1P2∥平面A1ADD1,P1P2?平面ABD1,平面ABD1∩平面A1ADD1=AD1,∴AD1∥P1P2,∴△P1P2B∽△AD1B.
设P1B=x,x∈(0,1),则P1P2=x,P2到平面AA1B1B的距离为x,
∴四面体P1-P2AB1的体积V=××(1-x)×1×x=(x-x2),
当x=时,体积取得最大值,
故选BCD.
9.答案
解析 连接BC1,交B1C于点O,则O为BC1的中点,连接EO,
∵BD1∥平面B1CE,BD1?平面D1BC1,平面D1BC1∩平面B1CE=OE,
∴OE∥BD1,故E为D1C1的中点,
∴EC1=,
在Rt△EC1C中,CE===,
故答案为.
10.解析 (1)五面体A1B1C1BC为四棱锥A1-BB1C1C,
=·A1C1=×4×2=.
(2)设AC1与A1C相交于点O,连接OB,如图,
∵DE∥平面A1BC,DE?平面ABO,平面ABO∩平面A1BC=BO,
∴DE∥BO,∵D是AB的中点,∴E是AO的中点,
∴AE=AC1==.
11.解析 (1)证明:取A1B1的中点N,连接AN,如图,
∵B1M=3MA1,∴M为A1N的中点,又G为AA1的中点,∴GM∥AN,
∵GM∥平面B1EF,GM?平面ABB1A1,平面ABB1A1∩平面B1EF=B1E,
∴GM∥B1E,∴AN∥B1E,
又B1N∥AE,∴四边形AEB1N为平行四边形,∴AE=B1N,∴E为AB的中点.
(2)设AB=a,则△A1MG、△AGE、△BEB1的面积分别为、、,
又四棱锥F-B1MGE的高即正方体的棱长a,
∴=·a·=×a2---×a==,
解得a=2,故所求正方体的表面积为6a2=24.(共29张PPT)
第八章
立体几何初步
8.5 空间中直线、平面的平行
8.5.2 直线与平面平行
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．掌握线面平行的判定定理和性质定理.(逻辑推理)
2．会用线面平行的判定定理和性质定理证明线面平行、线线平行.(逻辑推理)
1．充分利用空间基本模型——长方体来认识空间中的直线、平面的平行关系，帮助认识和直观感知定理.
2．梳理初中阶段所学的平面内的线线平行的知识，如中位线定理、平行四边形的对边相互平行等.
3．要善于从充要条件的角度看待判定定理和性质定理的关系.
必备知识·探新知
直线与平面平行的判定定理
知识点1
平面外
平面内
平行
a?α，b?α，且a∥b
直线与平面平行的性质定理
知识点2
平行
交线
a?β，α∩β＝b
[知识解读] 直线与平面平行的判定(证明)
1．定义法：判定(证明)直线与平面无公共点.
2．判定定理：
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.用符号表示：a?α，b?α且a∥b?a∥α.
3．体现了转化思想
此定理将证明线面平行的问题转化为证明线线平行.此定理可简记为：线线平行?线面平行.
关键能力·攻重难
如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是
( )
A．相交
B．b∥α
C．b?α
D．b∥α或b?α
[解析] 由a∥b，且a∥α，知b∥α或b?α.
题型探究
题型一
线面平行判定定理的理解
典例
1
D
[归纳提升] 线面平行的判定定理必须具备三个条件
(1)直线a在平面α外，即a?α；
(2)直线b在平面α内，即b?α；
(3)两直线a，b平行，即a∥b，这三个条件缺一不可.
【对点练习】? 下列说法正确的是
( )
A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α
B．若直线a在平面α外，则a∥α
C．若直线a∩b＝?，直线b?α，则a∥α
D．若直线a∥b，b?α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线
[解析] A错误，直线l还可以在平面α内；B错误，直线a在平面α外，包括平行和相交；C错误，a还可以与平面α相交或在平面α内.故选D．
D
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.
题型二
直线与平面平行的判定
典例
2
[证明] 连接BC1，则由E，F分别是BC，CC1的中点，知EF∥BC1．
又AB∥A1B1∥D1C1，且AB＝A1B1＝D1C1，
所以四边形ABC1D1是平行四边形，
所以BC1∥AD1，所以EF∥AD1．
又EF?平面AD1G，AD1?平面AD1G，
所以EF∥平面AD1G.
【对点练习】? (1)在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是_________________.
(2)如果四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点.
求证：MN∥平面PAD.
平面ABD、平面ABC
[解析] (1)如图所示，取CD的中点E.
则EM︰MA＝1︰2，
EN︰BN＝1︰2，
所以MN∥AB.
又MN?平面ABD，
MN?平面ABC，
AB?平面ABD，AB?平面ABC，
所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.
如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
题型三
线面平行性质定理的应用
典例
3
[分析] 根据线面平行的性质定理，要证AP∥GH，只需证AP∥平面BDM，只需证AP与平面BDM中的某一条直线平行.
[证明] 如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点.
又M是PC的中点，∴AP∥OM.
又AP?平面BMD，OM?平面BMD，
∴AP∥平面BMD.
又∵AP?平面PAHG，
平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴AP∥GH.
[归纳提升] (1)利用线面平行的性质定理解题的步骤
(2)运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行.
【对点练习】? 如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形.
[证明] 因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB?平面ABC，
所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN.
同理AB∥PQ，所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.
所以截面MNPQ是平行四边形.
证明：已知平面外的两条直线中的一条平行于这个平面，那么另一条直线也平行于该平面.
已知：a∥b，a?β，b?β，a∥β.
求证：b∥β.
易错警示
典例
4
忽视定理的必备条件
[错解] 因为a∥b，所以直线a，b确定平面γ，设β∩γ＝c.
因为a∥β，所以a∥c，又因为a∥b，所以b∥c，
又因为c?β，b?β，所以b∥β.
出错的原因是此时直线a，b确定的平面γ与β不一定相交，也可能平行，所以直线c也可能不存在.
[错因分析] 使用定理证明或判断线线平行或线面平行时，一定要注意定理成立的条件，缺一不可.
[正解] 证明：在平面β内任一点A，因为a∥β，所以A?a.
设点A与直线a确定平面γ，β∩γ＝c.
又a∥β，由线面平行的性质定理可得a∥c，
又a∥b，所以b∥c，又c?β，b?β，所以b∥β.
【对点练习】? b是平面α外的一条直线，可以推出b∥α的条件是
( )
A．b与α内的一条直线不相交
B．b与α内的两条直线不相交
C．b与α内的无数条直线不相交
D．b与α内的任何一条直线都不相交
[解析] ∵b∥α，∴b与α无公共点，从而b与α内任何一条直线无公共点.
D
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
