8.5.3平面与平面平行-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册课件 36张PPT

第八章
立体几何初步
8.5　空间中直线、平面的平行
8.5.3　平面与平面平行
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．掌握线面平行的判定定理和性质定理.(逻辑推理)
2．掌握面面平行的判定定理和性质定理.(逻辑推理)
3．会用面面平行的判定定理和性质定理证明面面平行、线面平行、线线平行.(逻辑推理)
借助长方体，通过直观感知，探索发现平面与平面平行的判定定理和性质定理，培养数学抽象，提升逻辑推理及直观想象素养.
必备知识·探新知
两个平面平行的判定定理
知识点1
两条相交直线　
两个平面平行的性质定理
知识点2
平行　
a∥b　
[知识解读]　1．剖析平面与平面平行的判定定理
(1)具备两个条件
判定平面α与平面β平行时，必须具备两个条件.
①平面β内两条相交直线a，b，即a?α，b?α，a∩b＝P.
②两条相交直线a，b都与平面β平行，即a∥β，b∥β.
(2)体现了转化思想
此定理将证明面面平行的问题转化为证明线面平行.
(3)此定理可简记为：线面平行?面面平行.
2．解读平面与平面平行的性质定理
(1)两个平面平行的性质定理揭示了“两个平面平行之后它们具有什么样的性质”.该性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理.可简述为“若面面平行，则线线平行”.
(2)用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：
①平面α和平面β平行，即α∥β；
②平面γ和α相交，即α∩γ＝a；
③平面γ和β相交，即β∩γ＝b.
以上三个条件缺一不可.
(3)在应用这个定理时，要防止出现“两个平面平行，则一个平面内的直线平行于另一个平面一切直线”的错误.
3．两个平面平行的一些常见结论
(1)如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都与另一个平面平行.
(2)如果一条直线和两个平行平面中的一个相交，那么它也和另一个平面相交.
(3)夹在两个平行平面间的所有平行线段相等.
关键能力·攻重难
　如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点.求证：平面A1EB∥平面ADC1．

题型探究
题型一
两个平面平行的判定
典例 1
[分析]　要证平面A1EB∥平面ADC1，只需证平面A1EB内有两条相交直线平行于平面ADC1即可.
[解析]　如图，由棱柱的性质知，B1C1∥BC，B1C1＝BC.
又D、E分别为BC，B1C1的中点，
所以C1E∥DB，C1E＝DB，
则四边形C1DBE为平行四边形，
因此EB∥C1D.
又C1D?平面ADC1，EB?平面ADC1，
所以EB∥平面ADC1．

连接DE，同理，EB1∥BD，EB1＝BD，
所以四边形EDBB1为平行四边形，则ED∥B1B，ED＝B1B.
因为B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质)，
所以ED∥A1A，ED＝A1A，
则四边形EDAA1为平行四边形，所以A1E∥AD.
又A1E?平面ADC1，AD?平面ADC1，
所以A1E∥平面ADC1．
由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，A1E?平面A1EB，EB?平面A1EB，且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1．
[归纳提升]　平面与平面平行的判定方法：
(1)定义法：两个平面没有公共点；
(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面；
(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β；
(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
【对点练习】?　如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM︰MA＝BN︰ND＝PQ︰QD，求证：平面MNQ∥平面PBC.
[解析]　∵在三角形PBD中，BN︰ND＝PQ︰QD，
∴QN∥PB，∴QN∥平面PBC，
同理PM︰MA＝PQ︰QD，∴MQ∥AD.
又底面ABCD是平行四边形，则AD∥BC，
∴MQ∥BC，∴MQ∥平面PBC.
而MQ∩NQ＝Q，MQ?平面MNQ，NQ?平面MNQ，
∴平面MNQ∥平面PBC.
(2020·河南郑州高一检测)如图，两条异面直线AB，CD与三个平行平面α，β，γ分别相交于A，E，B及C，F，D，又AD，BC与平面β的交点为H，G.
求证：四边形EHFG为平行四边形.

题型二
面面平行性质的应用
典例 2
[分析]　利用面面平行的性质说明EH∥BD，GF∥BD及EG∥AC，HF∥AC.从而说明四边形EHFG为平行四边形.
【对点练习】?　(2020·山东济南联考)如图所示，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点.M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.
[证明]　因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.
又DE?平面ABC，AB?平面ABC，
所以DE∥平面ABC.
同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，
所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PCM∩平面DEF＝NF，平面PCM∩平面ABC＝CM，所以NF∥CM.
如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E，E1分别是棱AD，AA1上的点.设F是棱AB的中点.
求证：直线EE1∥平面FCC1．

题型三
线线、线面、面面平行的转化
典例 3

[证明]　因为F为AB的中点，所以AB＝2AF
又因为AB＝2CD，所以CD＝AF，因为AB∥CD，所以CD∥AF，
所以AFCD为平行四边形，所以FC∥AD，又FC?平面ADD1A1，
AD?平面ADD1A1，所以FC∥平面ADD1A1，
因为CC1∥DD1，CC1?平面ADD1A1，DD1?平面ADD1A1，
所以CC1∥平面ADD1A1，又FC∩CC1＝C，
所以平面ADD1A1∥平面FCC1．
又EE1?平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1．
[归纳提升]　空间中各种平行关系相互转化关系的示意图
【对点练习】?　(1)将本例改为：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F是棱C1D1，A1D1的中点.
求证：AF∥平面BDE.


(2)将本例改为：如图所示，在长方体
ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，M，
N分别是AE，CD1的中点.求证：MN∥平面ADD1A1．
[证明]　(1)法一：如图，连接EF，AC，AC∩BD＝G，显然四边形EFAG为平行四边形，又AF?平面BDE，EG?平面BDE，所以AF∥平面BDE.
法二：取A1B1中点H，连接AH，FH，证明平面AFH∥平面BDE即可.
(2)如图所示，取CD的中点K，连接MK，NK.
因为M，N，K分别为AE，CD1，CD的中点，
因为MK∥AD，NK∥DD1，
所以MK∥平面ADD1A1，NK∥平面ADD1A1．
而NK与MK相交，
所以平面MNK∥平面ADD1A1．
因为MN?平面MNK，所以MN∥平面ADD1A1．

　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点，求证：平面EFGH∥平面ABCD.

易错警示
典例 4
应用定理条件不足，推理论证不严密致误
[错解]　∵E、F分别是AA1和BB1的中点，∴EF∥AB，
又EF?平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD，
同理可证，HG∥平面ABCD.
又EF?平面 EG，HG?平面EG，
∴平面EFGH∥平面ABCD.
[错因分析]　错解中，EF与HG是平面EG内的两条平行直线，不是相交直线，不符合面面平行的判定定理的条件，因此证明不正确.
[正解]　∵E、F分别是AA1和BB1的中点，
∴EF∥AB，又EF?平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD.
同理可证EH∥平面ABCD.
又EF?平面EG，EH?平面EG，EF∩EH＝E，
∴平面EFGH∥平面ABCD.
[误区警示]　利用面面平行的判定定理证明两个平面平行时，所满足的条件必须是明显或已经证明成立的，并且要与定理条件保持一致，否则容易导致错误.
【对点练习】?　如图所示，设E、F、E1、F1分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB、CD、A1B1、C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是 (　　)
A．平行　　
B．相交　　
C．异面　　
D．不确定
A　
课堂检测·固双基
素养作业·提技能