8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.1 直线与直线垂直
基础过关练
题组一 空间两条直线垂直
1.若空间三条直线a,b,c满足a⊥b,b∥c,则直线a与c( )
A.一定平行
B.一定垂直
C.一定是异面直线
D.一定相交
2.(2020安徽铜陵高二上期末)若a是空间中的一条直线,则在平面α内一定存在直线b与直线a(深度解析)
A.平行
B.相交
C.垂直
D.异面
3.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB1,BC1的中点,则下列结论中不成立的是( )
A.EF与BB1垂直
B.EF与BD垂直
C.EF与CD异面
D.EF与A1C1异面
4.(2020河南顶级名校高三联考)已知空间三条直线l,m,n,若l与m垂直,l与n垂直,则( )
A.m与n异面
B.m与n相交
C.m与n平行
D.m与n平行、相交、异面均有可能
5.对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边中点分别为M,N,P,Q,判断四边形MNPQ的形状.
题组二 求异面直线所成的角
6.如图所示,已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,l?平面A1B1C1D1,且l与B1C1不平行,则下列一定不成立的是( )
A.l与AD平行
B.l与AB异面
C.l与CD所成的角为30°
D.l与BD垂直
7.在正四面体A-BCD中,E、F分别为AB、CD的中点,则下列命题不正确的是( )
A.EF⊥AB
B.EF⊥CD
C.EF与AC所成的角为
D.EF与BD所成的角为
8.(2020安徽马鞍山高二上期中)如图,在空间四边形ABCD中,M、N分别是对角线AC、BD的中点,AB=CD=2,MN=,则异面直线AB与CD所成的角为( )
A.30°
B.60°
C.90°
D.120°
9.(2020湖南长沙第一中学高一上期中)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D为A1B1的中点,AB=BC=BB1=2,AC=2,则异面直线BD与AC所成的角为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
10.(2020广西柳州铁一中学高一上期末)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=4,M是AC与BD的交点.
(1)求证:D1M∥平面A1C1B;
(2)求BC1与D1M所成角的正弦值.
11.(2020山西大同一中高二上月考)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.
(1)求直线DA1与BC所成的角;
(2)求直线D1A与BA1所成的角.
题组三 空间两条直线所成角的应用
12.(2020河南开封高一上期末)如图,在底面边长为1的正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,点E为AA1的中点,异面直线BE与CD1所成角的正弦值为,则侧棱AA1的长度为 .?
13.如图所示,已知空间四边形ABCD的两条对角线的长分别为AC=6,BD=8,AC与BD所成的角为30°,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,求四边形EFGH的面积.
14.(2020广西柳州第二中学高一上月考)如图所示,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧面都是矩形,底面四边形ABCD是菱形且AB=BC=2,∠ABC=120°,若异面直线A1B和AD1所成的角为90°,试求AA1的长.
能力提升练
题组一 求异面直线所成的角
1.(2020山东滕州第一中学高一月考,)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
2.(2020浙江杭州第二中学高三下月考,)在等腰梯形ABCD中,已知AB=AD=CD=1,BC=2,将△ABD翻折成△A'BD,如图,则直线BA'与CD所成角的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
3.(多选)(2020皖南八校高三联考,)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E、F分别是AB、A1D1的中点,O为正方形A1B1C1D1的中心,则下列说法错误的是( )
A.直线EF、AO是异面直线
B.直线EF、BB1是相交直线
C.直线EF与BC1所成的角为30°
D.直线EF与BB1所成角的余弦值为
4.(2020广西柳州高级中学高三下月考,)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面积为12,当其外接球的表面积取最小值时,异面直线AC1与B1C所成角的余弦值等于 .?
题组二 异面直线所成角的应用
5.(2020广东广州天河高二上期末,)已知四面体D-ABC中,AB,BC,BD两两垂直,且AB=BC=1,点E是AC的中点,异面直线AD与BE所成的角为θ,且cos
θ=,则该四面体的体积为( )
A.
B.
C.
D.
6.(2020辽宁沈阳高一期末,)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=8,AD=6,异面直线BD与AC1所成角的余弦值为,则该长方体外接球的表面积为( )
A.98π
B.196π
C.784π
D.π
7.(2020湖南常德高三一模,)如图,圆柱OO1中,底面半径为1,OA⊥O1B,异面直线AB与OO1所成角的正切值为,则该圆柱OO1的体积为 .?
8.(2020河南信阳一中高一期中,)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D为AB的中点,点E在侧棱CC1上,DE∥平面AB1C1,
(1)证明:E是CC1的中点;
(2)设∠BAC=90°,四边形ABB1A1是边长为4的正方形,四边形ACC1A1为矩形,且异面直线DE与B1C1所成的角为30°,求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.
答案全解全析
基础过关练
1.B ∵a⊥b,b∥c,∴a⊥c.
2.C 如图所示的正方体中,取平面α为平面ABCD,
直线a与平面α的位置关系有三种,
(1)取直线AB为a,在平面α内,显然存在直线BC⊥a,但不存在直线与a异面;
(2)取直线A1B1为a,在平面α内,显然存在直线BC⊥a,但不存在直线与a相交;
(3)取直线AA1为a,在平面α内,显然存在直线BC⊥a,但不存在直线与a平行.
故选C.
解题反思
对于空间点、线、面的位置关系的判断,往往借助几何体模型,比如长方体、正方体、四面体等,可以较直观的进行判断.
3.D 如图所示,连接A1B,易知点E为A1B的中点,由三角形中位线定理可得EF∥A1C1,所以EF,A1C1确定一个平面;显然EF与CD异面;连接B1D1,则A1C1⊥B1D1,易知BD∥B1D1,所以A1C1⊥BD,又知EF∥A1C1,所以EF⊥BD.故只有选项D中的结论不成立.故选D.
4.D ∵m⊥l,n⊥l,∴m与n既可以相交,也可以异面,还可以平行.如图.
5.解析 如图所示.
∵点M,N,P,Q分别是四条边的中点,
∴MN∥AC,且MN=AC,PQ∥AC且PQ=AC,
∴MN∥PQ且MN=PQ,
∴四边形MNPQ是平行四边形.
易知BD∥MQ,又AC⊥BD,∴AC⊥MQ,
∴MN⊥MQ,
∴平行四边形MNPQ是矩形.
6.A 假设l∥AD,则由AD∥BC∥B1C1,可得l∥B1C1,这与“l与B1C1不平行”矛盾,所以l与AD不平行.易证B、C、D成立,故选A.
7.D 如图所示,
将正四面体A-BCD放入正方体中,则正四面体的每一条棱都是正方体的面对角线,E、F分别是上、下底面的中心,∴EF与正方体垂直于底面的棱平行,
∴EF⊥AB,EF⊥CD成立,且EF与AC、BD所成的角都是.
故选D.
8.B 取BC的中点P,连接MP,NP,因为M、N分别是对角线AC、BD的中点,所以MP∥AB,NP∥CD,且MP=AB=1,NP=CD=1,所以∠MPN是异面直线AB与CD所成的角(或其补角),由余弦定理可知cos∠MPN==-,
所以∠MPN=120°,
所以异面直线AB与CD所成的角为60°.
故选B.
9.C 如图,取B1C1的中点E,连接DE,BE,
则DE∥A1C1∥AC,
故∠BDE为异面直线BD与AC所成的角(或其补角).
由题意可得,BD=BE=,DE=AC=,
∴△DEB为等边三角形,
∴∠BDE=60°.
故选C.
10.解析 (1)证明:如图,连接B1D1,交A1C1于点N,连接BN,
∵DD1∥BB1,DD1=BB1,
∴四边形B1D1DB是平行四边形,
∴D1B1∥DB,且D1B1=DB.
易知M,N分别为BD,B1D1的中点,
∴D1N=BM,
∴四边形BND1M是平行四边形,
∴D1M∥NB,
∵D1M?平面A1C1B,BN?平面A1C1B,
∴D1M∥平面A1C1B.
(2)由(1)知D1M∥NB,
∴BC1与D1M所成的角即为∠C1BN,
易知BN⊥C1N,
在Rt△BNC1中,C1N=,BC1=2,
∴sin∠C1BN==,
∴BC1与D1M所成角的正弦值为.
11.解析 (1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,
∴∠ADA1是异面直线DA1与BC所成的角或其补角.
∵AD=AA1,AD⊥AA1,∴∠ADA1=,
∴直线DA1与BC所成的角为.
(2)连接C1B,A1C1,易知AD1∥C1B,
∴∠C1BA1是异面直线D1A与BA1所成的角或其补角.
易知BA1=A1C1=BC1,∴∠C1BA1=,
∴直线D1A与BA1所成的角为.
12.答案 1或2
解析 如图,连接A1B,易知A1B∥CD1,
∴∠A1BE即异面直线BE与CD1所成的角.
过点E作EH⊥A1B于点H,设EH=h,
则BE===h,AE==.
易得△A1HE∽△A1AB,
∴=,
即=,
解得h2=或h2=,
∴AE=或AE=1,
∴AA1=1或AA1=2.
13.解析 ∵E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,
∴FG∥BD,EF∥AC,HG∥AC,且EF=HG=AC,
∴四边形EFGH为平行四边形.
∵AC∥EF,BD∥FG,∴EF与FG所成的角即为AC与BD所成的角,∴∠EFG(或其补角)为30°,∴S四边形EFGH=EF×FG×sin∠EFG=AC×BD×=3×4×=6.
14.解析 如图,连接CD1,AC.
在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1D1∥BC,A1D1=BC,
∴四边形A1BCD1是平行四边形,∴A1B∥CD1,∴∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角.
∵异面直线A1B和AD1所成的角为90°,∴∠AD1C=90°.
∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧面均为矩形,AD=CD,∴AD1=CD1,∴△ACD1是等腰直角三角形,∴AD1=AC.
∵底面四边形ABCD是菱形且AB=BC=2,∠ABC=120°,
∴AC=2×sin
60°×2=6,
∴AD1=AC=3,
∴AA1=
==.
能力提升练
1.C 如图,延长B1A1到E,使A1E=A1B1,连接AE,EC1,则AE∥A1B,
所以∠EAC1是异面直线BA1与AC1所成的角或其补角,
由已知条件可得△AEC1为正三角形,所以∠EAC1为60°,故选C.
2.A 在等腰梯形ABCD中,易知∠ABC=60°,∠ABD=∠CBD=30°,
∴∠A'BD=30°,为定值,∴BA'的轨迹可看作是以直线BD为轴,B为顶点,母线与轴的夹角为30°,母线长为1的圆锥的母线,故点A'的轨迹如图中所示,其中F为BC的中点,过点B作CD的平行线,过点C作BD的平行线,两平行线交于点E,则BA'与BE所成的角即为BA'与CD所成的角.易知CD⊥BD,∴直线A'B与CD所成角的取值范围为.
ABD 连接OF,∵O为正方形A1B1C1D1的中心,F是A1D1的中点,
∴OF∥A1B1∥AB,即OF、AE共面,从而EF、AO共面,A中说法错误;
连接B1E,∵F?平面BEB1,BB1?平面BEB1,E?BB1,E∈平面BEB1,∴EF、BB1是异面直线,B中说法错误;
连接OB,易得FO∥EB,且FO=EB,∴四边形EFOB是平行四边形,∴EF∥BO,
∴∠OBC1是异面直线EF与BC1所成的角或其补角.
设正方体的棱长为1,在△BC1O中,BC1=,OC1=,BO=EF==,
∴cos∠OBC1==,
∴∠OBC1=30°,C中说法正确;
同理得∠OBB1是EF与BB1所成的角,在△OBB1中求得cos∠OBB1=,D中说法错误.故选ABD.
4.答案
解析 设正三棱柱的底面边长为a,高为h,外接球的半径为R,由题意知3ah=12,即ah=4,
底面外接圆的半径r==.
则R2=r2+=+≥=,当且仅当a=h时取等号,
此时外接球的表面积最小.将三棱柱补成一四棱柱,如图,连接DB1,DC,则AC1∥DB1,
∴∠DB1C为异面直线AC1与B1C所成的角或其补角,B1C=DB1=,
DC=a,∴cos∠DB1C==.故答案为.
5.A 如图,取CD的中点F,连接BF、EF,
∵AB,BC,BD两两垂直,且AB=BC=1,
∴CD=AD,又E、F分别为AC、CD的中点,
∴BF=DC,EF=DA,且EF∥AD,
∴∠FEB(或其补角)为异面直线AD与BE所成的角.
由题意得BE=,设BF=EF=a,在△BEF中,由余弦定理得a2=+a2-2××a×,解得a=,
∴DA=,在Rt△ADB中,可得DB=2,
∴四面体D-ABC的体积V=××1×1×2=.故选A.
6.B 如图,连接AC,交BD于点O,则O为AC的中点,取CC1的中点E,连接BE、OE,则AC1∥OE,
∴∠EOB为异面直线BD与AC1所成的角(或其补角).
设CE=x,则BE=,OB=OC=5,OE=.
在△OBE中,由余弦定理得
BE2=36+x2=OB2+OE2-2OB×OE×cos∠EOB,
即36+x2=25+25+x2-2,解得x=2,
∴CC1=2x=4,
∴长方体的体对角线长为=14,
∴长方体的外接球的半径为7,外接球的表面积为196π.故选B.
7.答案 4π
解析 如图,过B作BH⊥☉O于点H,连接OH,AH,则∠ABH(或其补角)即为异面直线AB与OO1所成的角,
则tan∠ABH=,易知OH∥O1B,OH=O1B,由OA⊥O1B,可得OH⊥OA,
所以AH==.
又tan∠ABH=,所以圆柱的高BH==4,
所以圆柱的体积为π·OA2·BH=4π.
故答案为4π.
8.解析 (1)证明:连接A1D、A1E,分别交AB1、AC1于M、N,连接MN.
∵DE∥平面AB1C1,DE?平面A1DE,平面A1DE∩平面AB1C1=MN,∴DE∥MN,
∵D为AB的中点,∴A1B1=AB=2AD.
由AD∥A1B1可得∠MAD=∠MB1A1,∠MDA=∠MA1B1,∴△ADM∽△B1A1M,
故A1M=2MD,∵DE∥MN,∴A1N=2NE.
同理可证得△A1NA∽△ENC1,∴CC1=AA1=2EC1,∴E是CC1的中点.
(2)取BB1的中点F,连接EF、DF,可知EF∥B1C1,
∴∠DEF即为异面直线DE与B1C1所成的角或其补角.
设AC=x,则DE=,DF=2,EF=BC=,
在△DEF中,由余弦定理可得cos∠DEF==,解得x=4,
故=×4×4×4=32.(共28张PPT)
第八章
立体几何初步
8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.1 直线与直线垂直
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．掌握线线垂直的定义，了解常见线线垂直的形式.(数学抽象)
2．会求异面直线所成的角.(数学运算)
对比平面中线线位置关系，利用基本模型认识异面直线间的垂直关系及其所成的角.
必备知识·探新知
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线______与______所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)空间两条直线所成角α的取值范围：_______________.
异面直线所成的角
知识点1
a′
b′
0°≤α≤90°
如果两条异面直线所成的角是_______，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b互相垂直，记作_______.
空间两直线垂直
知识点2
直角
a⊥b
[知识解读] 对异面直线所成的角的认识理解的注意点
(1)任意性与无关性：在定义中，空间一点O是任取的，根据等角定理，可以断定异面直线所成的角与a′，b′所成的锐角(或直角)相等，而与点O的位置无关.
(2)转化求角：异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量，通过转化为相交直线所成的角，将空间角转化为平面角来计算.
(3)两条直线垂直是指相交垂直或异面垂直.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一
异面直线所成的角
典例
1
90°
[归纳提升] 求两异面直线所成的角的三个步骤
(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；
(2)证：证明作出的角就是要求的角；
(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出.
可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°.
C
在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，求证：AC⊥BC1．
题型二
直线与直线垂直的证明
典例
2
则A1C1⊥BC1，即∠A1C1B＝90°.
又因为AC∥A1C1，所以∠A1C1B就是直线AC与BC1所成的角，
所以AC⊥BC1．
[归纳提升] (1)要证明两异面直线垂直，可根据两条异面直线垂直的定义，证明这两条异面直线所成的角为90°.
(2)在证明两条异面直线垂直时，和求两条异面直线所成的角类似，一般也是通过平移法找到与之平行的直线.
【对点练习】? 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1，求证：AC⊥B1D.
[证明] 如图，连接BD，交AC于O，设BB1的中点为E，
连接OE，则OE∥DB1，
所以OE与AC所成的角即为DB1与AC所成的角.
连接AE，CE，易证AE＝CE，
又O是AC的中点，所以AC⊥OE，所以AC⊥B1D.
(2020·湖南省永州市期末)如图1，已知空间四边形ABCD中，AD＝BC，M，N分别为AB，CD的中点，且直线BC与MN所成的角为30°，求BC与AD所成的角.
易错警示
典例
3
忽略异面直线所成的角的范围致误
[错解] 如图2，连接BD，并取其中点E，连接EN，EM，则EN∥BC，ME∥AD，故∠ENM(或其补角)为BC与MN所成的角，∠MEN(或其补角)为BC与AD所成的角.由AD＝BC，知ME＝EN，∴∠EMN＝∠ENM＝30°，∴∠MEN＝180°－30°－30°＝120°，即BC与AD所成的角为120°.
[错因分析] 解本题时易忽略异面直线所成的角θ的范围是0°<θ≤90°，从而由∠MEN＝120°直接得出BC与AD所成的角为120°这一错解.事实上，在未判断出∠MEN是锐角、直角还是钝角之前，不能断定它就是两条异面直线所成的角，如果∠MEN为钝角，那么它的补角才是异面直线所成的角.
[正解] 以上解答同错解；
∵异面直角所成角θ∈(0,90°]，
∴BC与AD所成的角为60°.
[误区警示] 求异面直线所成的角θ的时候，要注意它的取值范围是0°<θ≤90°.
两条异面直线所成的角转化为一个三角形的内角时，容易忽略这个三角形的内角可能等于两条异面直线所成的角，也可能等于其补角.
【对点练习】? 若∠AOB＝135°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为_______.
45°
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
