(共32张PPT)
第八章
立体几何初步
8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.2 直线与平面垂直
第2课时 直线与平面垂直的性质
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．掌握线面垂直的性质定理.(直观想象)
2．能利用线面垂直性质定理解决一些垂直和平行的证明.(逻辑推理)
充分利用长方体模型或所在空间(如教室)认识线面垂直的性质定理.
必备知识·探新知
直线与平面垂直的性质定理
直线与平面垂直的性质
知识点1
平行
a∥b
1．直线与平面的距离
一条直线与一个平面平行时，这条直线上___________到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.
2．两个平行平面间的距离
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都_______，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
直线、平面间的距离
知识点2
任意一点
相等
[知识解读] 1．剖析直线与平面垂直的性质定理
(1)该定理考查的是在直线与平面垂直的条件下，可得出什么结论.
(2)定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(只要判定这两条直线都与同一个平面垂直).
(3)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据.
(4)定理的推证过程采用了反证法.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一
对直线与平面垂直的性质定理的理解
典例
1
其中正确命题的序号是
( )
A．②③
B．③④
C．①②
D．①②③④
[答案] A
[解析] ①中n，α可能平行或n在平面α内；②③正确；④两直线m，n平行或异面，故选A．
[归纳提升] 判定两条直线平行的常用方法
(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点.
(2)利用基本事实4：证两线同时平行于第三条直线.
(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行.
(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直.
(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.
【对点练习】? 已知l，m，n是三条不同的直线，α是一平面.下列命题中正确的个数为
( )
①若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；
②若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n；
③若l∥α，l⊥m，则m⊥α.
A．1
B．2
C．3
D．0
B
[解析] 对于①，因为l∥m，m∥n，所以l∥n，又l⊥α，所以n⊥α，即①正确；对于②，因为m⊥α，n⊥α，所以m∥n，又l∥m，所以l∥n，即②正确；对于③，因为l∥α，l⊥m，所以m∥α或m?α或m⊥α或m与α斜交，即③错误.
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.
求证：MN∥AD1．
[证明] 因为四边形ADD1A1为正方形，
所以AD1⊥A1D.
又因为CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1．
因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC.
又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1．
题型二
直线与平面垂直性质的应用
典例
2
[归纳提升] (1)若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直.
(2)在证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质.
【对点练习】? 如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a?β，a⊥AB.
求证：a∥l.
[证明] 因为EA⊥α，α∩β＝l，即l?α，所以l⊥EA.
同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.
因为EB⊥β，a?β，所以EB⊥a，
又a⊥AB，EB∩AB＝B，
所以a⊥平面EAB.
由线面垂直的性质定理，得a∥l.
如图所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G.
求证：AE⊥SB.
题型三
线与面垂直的判定与性质的综合
典例
3
[证明] 因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC.
因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥BC.
因为SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.
因为AE?平面SAB，所以BC⊥AE.
因为SC⊥平面AGEF，所以SC⊥AE.
又因为BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC.
而SB?平面SBC，所以AE⊥SB.
[归纳提升] 线线、线面垂直问题的解题策略
(1)证明线线垂直，一般通过证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面，为此分析题设，观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面.
(2)证明直线和平面垂直，就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线，这一点在解题时一定要体现出来.
【对点练习】? 本例中“过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G”改为“过A作AF⊥SC于点F，过点F作EF⊥SC交SB于点E”，结论不变，如何证明？
[证明] 因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC.
因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥BC.
因为SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.
因为AE?平面SAB，所以BC⊥AE.
又因为AF⊥SC于点F，EF⊥SC交SB于点E，
所以SC⊥平面AGEF，所以SC⊥AE.
又因为BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC.
而SB?平面SBC，所以AE⊥SB.
易错警示
典例
4
考虑不周全而致误
[正解] ①当点A，B在平面α的同侧时，由题意知直线AB与平面α所成的角为30°.
②当点A，B位于平面α的两侧时，如图，过点A，B分别向平面α作垂线，垂足分别为A1，B1，设AB与平面α相交于点C，A1B1为AB在平面α上的射影，∴∠BCB1或∠ACA1为AB与平面α所成的角.
在Rt△BCB1中，BB1＝2．在Rt△ACA1中，AA1＝1．
【对点练习】? 在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，AC＝6，BC＝8，EC⊥平面ABC，且EC＝12，则ED＝_____.
13
课堂检测·固双基
素养作业·提技能8.6.2 直线与平面垂直
基础过关练
题组一 直线与平面垂直的判定及性质
1.下列说法中正确的个数是( )
①若直线l与平面α内的一条直线垂直,则l⊥α;
②若直线l与平面α内的两条直线垂直,则l⊥α;
③若直线l与平面α内的两条相交直线垂直,则l⊥α;
④若直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,则l⊥α.
A.4
B.2
C.3
D.1
2.(2020陕西渭南高三上期末)给定空间中的直线l及平面α,“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的( )
A.充要条件
B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件
3.垂直于梯形两腰的直线与梯形两底所在的平面的位置关系是( )
A.垂直
B.平行
C.在平面内
D.无法确定
4.(2020湖南长沙高一期中)如图所示,在正方形SG1G2G3中,E、F分别是G1G2、G2G3的中点,现在沿SE、SF、EF把这个正方形折成一个四面体,使G1、G2、G3三点重合,重合后的点记为G.给出下列关系:
①SG⊥平面EFG;②SE⊥平面EFG;③GF⊥SE;④EF⊥平面SEG.其中关系成立的有( )
A.①②
B.①③
C.②③
D.③④
5.如图所示,在三棱锥P-ABC中,PO⊥平面ABC,BO⊥AC,BO的延长线交AC于点D,
则图中与AC垂直的直线有( )
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,侧面AA1D1D为正方形,E为棱CD上任意一点,则AD1与B1E的关系为( )
A.AD1⊥B1E
B.AD1∥B1E
C.AD1与B1E共面
D.以上都不对
7.如图,在三棱锥S-ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中点,且SA=SB=SC.
(1)求证:SD⊥平面ABC;
(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.
8.(2020河南焦作高一上期末)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,PA⊥平面ABCD,AD=,BC=AP=2CD=2,E是棱PC上一点,F是AB的中点.
(1)证明:CF∥平面ADE;
(2)若PE=3EC,O为点E在平面PAB上的射影,求四棱锥P-ADEO的体积.
题组二 直线与平面所成的角
9.正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AC与直线BC1所成的角、直线AC与平面A1D所成的角分别为( )
A.60°,45°
B.90°,45°
C.60°,30°
D.45°,60°
10.如图所示,若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍,则直线AB与平面α所成的角是( )
A.60°
B.45°
C.30°
D.120°
11.(2020山东济南外国语学校高二下月考)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=,则AA1与平面AB1C1所成的角为( )
A.
B.
C.
D.
12.(2020湖南长沙第一中学高一上期末)在三棱锥A-BCD中,AB=AC=AD=2,且AB,AC,AD两两垂直,点E为CD的中点,则直线BE与平面ACD所成角的正弦值是 .?
13.(2020河南高三3月联合检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设BC1,BD1与底面ABCD所成的角分别为α,β,则tan(α+β)= .?
14.(2020四川内江高二上期末)如图,在四棱锥P-ABCD中,AD⊥CD,AD∥BC,AD=2BC=2CD=4,PC=2,△PAD是正三角形.
(1)求证:CD⊥PA;
(2)求AB与平面PCD所成角的余弦值.
题组三 点到平面的距离
15.(2020安徽宿州十三所重点中学高二上期末)如图,四面体A-BCD中,AB,BC,BD两两垂直,BC=BD=2,点E是CD的中点,若直线AB与平面ACD所成角的正弦值为,则B到平面ACD的距离为( )
A.
B.
C.
D.
16.(2020福建福州第一中学高一下期末)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A⊥平面ABCD,平面ABCD是菱形,AA1=4,AB=6,∠BAD=,E是BC的中点,则点C到平面C1DE的距离等于 .?
17.(2020辽宁丹东高三上期末)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.
(1)证明:PO⊥平面ABC;
(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.
能力提升练
题组一 直线与平面垂直的判定与性质
1.(2020广东六校联盟高三下联考,)在正四棱锥S-ABCD中,E、M、N分别是BC、CD、SC的中点,动点P在线段MN上运动时,下列四个结论,不一定成立的为( )
①EP⊥AC;②EP∥BD;③EP∥平面SBD;④EP⊥平面SAC.
A.①③
B.③④
C.①②
D.②④
2.(2020安徽六安第一中学高三下月考,)在三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,AB=6,若该三棱锥的外接球的体积为,则BC·CD的最大值为( )
A.
B.32
C.50
D.64
3.(2020重庆第八中学高二上期末,)点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面CDD1C1及边界上运动,并保持BP⊥A1C,若正方体的棱长为1,则PC的取值范围是( )
A.
B.[,2]
C.[2,2]
D.[1,2]
4.(多选)(2020江西新余八校高二期中联考,)如图,矩形ABCD中,AB=2AD,E为边AB的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE(A1?平面ABCD),若M、O分别为线段A1C、DE的中点,则在△ADE翻折过程中,下列说法正确的有( )
A.与平面A1DE垂直的直线必与直线MB垂直
B.异面直线BM与A1E所成的角是定值
C.一定存在某个位置,使DE⊥MO
D.三棱锥A1-ADE外接球的半径与AD的比为定值
5.(2020陕西榆林高一上期末,)如图,在△ABC中,AB⊥BC,D、E分别为AB、AC边上的中点,且AB=4,BC=2,现将△ADE沿DE折起,使得A到A1的位置,且∠A1DB=60°,则A1C= .?
6.(2020福建厦门外国语学校高三上月考,)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2AB=2,∠BAA1=,D为AA1的中点,点C在平面ABB1A1内的射影在线段BD上,
(1)求证:B1D⊥平面CBD;
(2)若△CBD是正三角形,求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.
题组二 直线与平面所成的角
7.(2020四川乐山高二上期末,)在△ABC中,∠ACB=90°,D是BC的中点,PA⊥平面ABC,如果PB、PC与平面ABC所成的角分别为30°和60°,那么PD与平面ABC所成的角为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.75°
8.(多选)(2020山东济宁高二上期末,)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E、F,且EF=,则下列结论中正确的是( )
A.AC⊥AF
B.AC⊥平面BEF
C.AB与平面BEF所成的角是45°
D.△AEF的面积与△BEF的面积相等
9.(2020浙江绍兴高二上期末,)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点C在平面α上,若A1B、A1D与平面α都成60°角,则A1C与平面α所成角的余弦值为 .?
10.(2020北京延庆高二下期末,)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,BC=CD=1,PC=3, .从①CD⊥BC,②CD∥平面PAB这两个条件中选一个,补充在上面问题中,并完成解答.?
(1)求证:四边形ABCD是直角梯形;
(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.
题组三 空间距离
11.(2020浙江镇海中学高三下月考,)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,CC1=2,E为CC1的中点,则直线AC1与平面BED的距离为( )
A.2
B.
C.
D.1
12.(2020重庆南开中学高二上期末,)如图所示,直平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都为2,∠DAB=60°,过体对角线BD1的截面α与棱AA1和CC1分别交于点E、F,给出下列命题:
①四边形BED1F的面积的最小值为2;
②直线EF与平面BCC1B1所成角的最大值为;
③四棱锥B1-BED1F的体积为定值;
④点B1到截面α的距离的最小值为.
其中所有的真命题为( )
A.①②③
B.①③④
C.①③
D.②④
13.(2020黑龙江哈尔滨第六中学高二上期末,)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C.
(1)证明:B1C⊥AB;
(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=1,求三棱柱ABC-A1B1C1的高.
答案全解全析
基础过关练
1.B 易知①②是错误的,③④是正确的.故选B.
2.C 当直线l与平面α内的无数条平行直线垂直时,该直线未必与平面α垂直,不满足充分性;直线l与平面α垂直,则直线l与平面α内任意一条直线都垂直,所以直线l与平面α内无数条直线都垂直,满足必要性.故选C.
3.A 因为梯形的两腰所在直线必相交且与梯形两底所在的平面为同一平面,所以由线面垂直的判定定理可得垂直于梯形两腰的直线与梯形两底所在的平面必垂直.
故选A.
4.B ∵SG⊥GE,SG⊥GF,GE∩GF=G,∴SG⊥平面EFG,同理可得GF⊥平面SEG,
∴GF⊥SE,故①③成立.
若SE⊥平面EFG,则SG∥SE,这与SG∩SE=S矛盾,故②不成立,
由正方形的性质得,SE与EF不垂直,故④不成立.故选B.
5.D ∵PO⊥平面ABC,AC?平面ABC,
∴PO⊥AC.又∵AC⊥BO,且BO∩PO=O,
∴AC⊥平面PBD,∴直线PB,PD,PO,BD都与AC垂直.故与AC垂直的直线有4条.
6.A 连接A1D,则由正方形的性质,知AD1⊥A1D.因为B1A1⊥平面AA1D1D,所以B1A1⊥AD1,又A1D∩A1B1=A1,所以AD1⊥平面A1B1ED.又B1E?平面A1B1ED,所以AD1⊥B1E.故选A.
7.证明 (1)因为SA=SC,D是AC的中点,
所以SD⊥AC.在Rt△ABC中,AD=BD,
又SA=SB,所以易证△ADS≌△BDS.
所以∠SDA=∠SDB=90°,所以SD⊥BD.
又AC∩BD=D,所以SD⊥平面ABC.
(2)因为AB=BC,D为AC的中点,
所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.
又SD∩AC=D,所以BD⊥平面SAC.
8.解析 (1)证明:如图,连接AC,∵AB∥CD,AB⊥AD,∴AD⊥CD,
∴AC==2,∴AC=BC,
又∵F为AB的中点,∴CF⊥AB.
∵AB⊥AD,∴CF∥AD,又AD?平面ADE,CF?平面ADE,∴CF∥平面ADE.
(2)连接PF.由(1)知CF⊥AB,∵PA⊥平面ABCD,CF?平面ABCD,∴PA⊥CF,
又PA∩AB=A,∴CF⊥平面PAB.
由O为E在平面PAB上的射影可得OE⊥平面PAB,
∴EO∥CF,即点O在线段PF上,∴OE∥AD.∵AO?平面PAB,∴OE⊥OA,AD⊥OA.
易知四边形ADCF为矩形,∴AF=CD,AD=CF.
∵PE=3EC,∴PO=3OF,OE=CF=AD,
S四边形ADEO=(EO+AD)·AO=×AD·AO=S△AOD.
∴VP-ADEO=VP-AOD=VD-AOP,
S△PAO=S△PAF=××2×1=,
∴VD-AOP=AD·S△AOP=,
∴VP-ADEO=.
9.A 如图所示,连接AD1,D1C,易知AD1∥BC1,所以直线AC与直线BC1所成的角为∠D1AC(或其补角),而△ACD1为等边三角形,所以∠D1AC=60°.因为CD⊥平面ADD1A1,所以直线AC与平面A1D所成的角为∠CAD,而△ADC为等腰直角三角形,所以∠CAD=45°.故选A.
10.A 易知AO⊥平面α,
∴∠ABO是直线AB与平面α所成的角.
在Rt△AOB中,cos∠ABO==,
∴∠ABO=60°.∴直线AB与平面α所成的角为60°.故选A.
11.A 过A1作A1O⊥平面AB1C1,垂足为O.∵AB=AC,∴A1B1=A1C1,AB1=AC1.
取B1C1的中点D,连接AD,则点O在AD上,
∴∠A1AD是直线AA1与平面AB1C1所成的角,
∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,
∴A1A⊥A1D.
在Rt△AA1D中,tan∠A1AD===,
∴∠A1AD=,∴AA1与平面AB1C1所成角为.
故选A.
12.答案
解析 连接AE.∵AB、AC、AD两两垂直,
∴AB⊥平面ACD,
∴∠AEB是直线BE与平面ACD所成的角,易得BE=,
∴在Rt△ABE中,sin∠AEB==,
∴直线BE与平面ACD所成角的正弦值为.
13.答案 3+2
解析 ∵CC1、DD1都与底面ABCD垂直,∴α=∠CBC1,β=∠DBD1,
∴tan
α=1,tan
β=,
∴tan
(α+β)==3+2.
故答案为3+2.
14.解析 (1)证明:∵△PAD是正三角形,AD=2CD=4,∴PD=4,CD=2,又PC=2,
∴PC2=PD2+CD2,∴CD⊥PD,
又AD⊥CD,AD∩PD=D,
∴CD⊥平面PAD,∵PA?平面PAD,
∴CD⊥PA.
(2)如图,取PD的中点E,连接AE,延长DC、AB交于点H,连接EH,
∵△PAD是正三角形,∴AE⊥PD,AE=2,
由(1)得CD⊥平面PAD,∴CD⊥AE.
∵CD∩PD=D,CD,PD?平面PCD,
∴AE⊥平面PCD.
∴∠AHE就是AB与平面PCD所成的角,
∵AD⊥CD,BC∥AD,AD=2BC=2CD=4,∴DH=4,AH=4,EH==2,
∴cos∠AHE===,
∴AB与平面PCD所成角的余弦值为.
15.B 连接AE.∵AB⊥BC,AB⊥BD,BC∩BD=B,∴AB⊥平面BCD,∵CD?平面BCD,∴AB⊥CD,
∵BC=BD,E为CD的中点,
∴CD⊥BE,又CD⊥AB,AB∩BE=B,∴CD⊥平面ABE,
∴AB在平面ADC上的射影在直线AE上,
∴∠BAE就是直线AB与平面ACD所成的角.
在Rt△ABE中,由BE=,sin∠BAE=,可得AE=3,AB=4.
设点B到平面ACD的距离为h,∵VA-BCD=VB-ACD,∴S△BCD×AB=S△ACD×h,
整理得2AB=6h,解得h=.
故选B.
16.答案
解析 连接BD,由四边形ABCD是菱形,∠BAD=,可得△BDA与△BCD均为正三角形,
∴BD=AB=CD=BC,∵E是BC的中点,
∴DE⊥CB.
∵A1A⊥平面ABCD,A1A∥C1C,∴C1C⊥平面ABCD,∵DE?平面ABCD,∴C1C⊥DE,
又∵DE⊥CB,CB∩C1C=C,∴DE⊥平面BB1C1C,∵C1E?平面BB1C1C,∴DE⊥C1E,
∴=DE·EC1=×3×5=.
设点C到平面C1DE的距离为h,由=,得S△CDE·CC1=·h,
即CE·DE·CC1=h,解得h=,
故答案为.
17.解析 (1)证明:∵PA=PC=AC=4,O为AC的中点,∴OP⊥AC,且OP=2.
连接OB,如图,
∵AB=BC=AC,∴△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,∴OB=AC=2,
∴OP2+OB2=PB2,∴OP⊥OB.
又∵OP⊥AC,OB∩AC=O,
∴PO⊥平面ABC.
(2)作CH⊥OM,垂足为H,由(1)可得OP⊥CH,又OM∩OP=O,∴CH⊥平面POM,
∴CH的长即为点C到平面POM的距离.
由题设可知,OC=AC=2,CM=BC=,∠ACB=45°,∴OM=,
∴CH==,
∴点C到平面POM的距离为.
能力提升练
1.D 对于①,设AC∩BD=O,连接SO,易知SO⊥平面ABCD,∴SO⊥AC.又∵AC⊥BD,SO∩BD=O,SO?平面SBD,BD?平面SBD,∴AC⊥平面SBD.
连接EN,EM,∵E、M、N分别为BC、CD、SC的中点,∴EN∥SB,MN∥SD,
∵NM?平面SBD,SD?平面SBD,∴MN∥平面SBD,同理EN∥平面SBD,
又MN∩EN=N,∴平面EMN∥平面SBD,
∴AC⊥平面EMN,又EP?平面EMN,∴EP⊥AC,①成立.
对于②,当且仅当P与M重合时,EP∥BD,②不一定成立.
对于③,由①知平面EMN∥平面SBD,又EP?平面EMN,∴EP∥平面SBD,③成立.
对于④,当且仅当P与M重合时,才有EP⊥平面SAC,④不一定成立.
故选D.
2.B ∵AB⊥平面BCD,CD、BD?平面BCD,
∴AB⊥CD,AB⊥BD.
∵BC⊥CD,AB,BC?平面ABC,AB∩BC=B,
∴CD⊥平面ABC,
∵AC?平面ABC,∴CD⊥AC.
取AD的中点O,则OA=OB=OC=OD=AD,
∴O是三棱锥A-BCD外接球的球心.
∵三棱锥的外接球的体积为,∴该球的半径为5,∴AD=10,
在Rt△ABD中,AB=6,∴BD=8.
∵BC⊥CD,∴BC2+CD2=BD2=64,∴BC·CD≤=32,当且仅当BC=CD时,BC·CD取最大值32.
3.A 如图,连接AC,C1D,BC1,BD,
由正方体性质知,AC⊥BD,BD⊥AA1,因为AA1∩AC=A,所以BD⊥平面A1AC,所以BD⊥A1C,同理C1D⊥A1C,
因为C1D∩BD=D,所以A1C⊥平面BDC1,若BP⊥A1C,则动点P的轨迹为线段C1D.
由正方体的棱长为1,可得点C到线段C1D的距离d=,则PC∈[d,CC1]=.
故选A.
4.ABD 取A1D的中点F,连接MF、EF,易知四边形BEFM是平行四边形,∴BM∥EF,
又EF?平面A1DE,BM?平面A1DE,∴BM∥平面A1DE,∴与平面A1DE垂直的直线必与MB垂直,故A正确;易知∠A1EF为异面直线BM与A1E所成的角,为定值,故B正确;
取DC的中点N,连接AN,A1O,NE,AA1,A1N,易知四边形ADNE为正方形,∴AN⊥DE,A1O⊥DE,A1O∩AN=O,∴DE⊥平面A1AN,
∴过点O与DE垂直的直线一定在平面A1AN内,故C错误;
易知O为三棱锥A1-ADE外接球的球心,
∴三棱锥A1-ADE外接球的半径为AD,故D正确.
故选ABD.
5.答案 2
解析 易知DE⊥BD,DE⊥A1D,因为A1D∩BD=D,
所以DE⊥平面A1BD,
因为∠A1DB=60°,A1D=BD=2,所以A1B=2,易知BC∥DE,所以BC⊥平面A1BD,
所以BC⊥A1B,从而A1C==2.
故答案为2.
6.解析 (1)证明:如图,设点C在平面ABB1A1内的射影为E,
则E∈BD,CE?平面CBD,且CE⊥平面ABB1A1,∵B1D?平面ABB1A1,∴CE⊥B1D.
在△ABD中,AB=AD=1,∠BAD=,则∠ABD=∠ADB=.
在△A1B1D中,A1B1=A1D=1,∠B1A1D=,
则∠A1B1D=∠A1DB1=,∴∠B1DB=,故BD⊥B1D.
∵CE∩BD=E,∴B1D⊥平面CBD.
(2)易知=3=3.
由(1)得CE⊥平面ABB1A1,∴CE是三棱锥C-A1AB的高,
又△CBD是正三角形,BD=AB=AD=1,
∴CE=,
=AB·AA1·sin∠BAA1=×1×2×sin
=,
∴=·CE=××=.
∴=3×=.
7.B 连接AD,设PA=1,∵PA⊥平面ABC,PB、PC与平面ABC所成的角分别是30°和60°,
∴∠ABP=30°,∠ACP=60°,∠ADP是PD与平面ABC所成的角,
∴PB=2,AB=,AC=,
∴CD=BC=×=,
∴AD===1,
∴tan∠ADP==1,∴∠ADP=45°,
∴PD与平面ABC所成角的大小为45°.
故选B.
8.BC 如图,连接BD,交AC于点O.
A选项,若F与B1重合,则在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC=AB1=B1C,此时AC与AF所成的角为∠CAB1=60°,显然AC与AF不垂直,故A错误;
B选项,∵正方体的底面为正方形,正方形的对角线互相垂直,∴AC⊥BD.
∵正方体的侧棱与底面垂直,∴BB1⊥平面ABCD,∴BB1⊥AC.
又BB1∩BD=B,∴AC⊥平面BDD1B1,又平面BEF即平面BDD1B1,∴AC⊥平面BEF,故B正确;
C选项,∵AC⊥平面BDD1B1,∴∠ABD即为直线AB与平面BEF所成的角,易知∠ABD=45°,故C正确;
D选项,∵点A?平面BDD1B1,点B∈平面BDD1B1,由正方体的结构特征易得,点A到直线D1B1的距离大于正方体的侧棱长,点B到直线D1B1的距离等于正方体的侧棱长,∴△AEF面积与△BEF的面积不相等,故D错误.
故选BC.
9.答案
解析 设直线l过点A1且垂直于α,则A1B、A1D与直线l的夹角都为30°,
连接BD,则△A1BD是等边三角形,
取BD中点E,则∠BA1E=∠DA1E=30°,
∴直线A1E即为直线l.
由题意知,A1C与直线A1E所成角的余弦值即为A1C与平面α所成角的正弦值.
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,
则A1C==2,CE=×=,A1E==.
设A1C与平面α所成角为θ,则sin
θ===,
∴A1C与平面α所成角的余弦值cos
θ==.
10.解析 选择①,(1)证明:连接AC,因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AC.
因为PA=2,PC=3,所以AC2=PC2-PA2=5,
因为AB=2,BC=1,所以AC2=AB2+BC2,所以AB⊥BC.
因为CD⊥BC,所以AB∥CD,
又AB≠CD,所以四边形ABCD是直角梯形.
(2)由(1)可知,四边形ABCD是直角梯形,
如图,将四棱锥P-ABCD补成一个长方体ABCE-PFGH,连接PE,CF,则PB与平面PCD所成的角即PB与平面PFCE所成的角.
过B作BO⊥CF于O,由长方体的性质知,EC⊥平面BCGF,所以EC⊥OB,又CF∩EC=C,
所以OB⊥平面PFCE,连接OP,则∠BPO即为直线PB与平面PCD所成的角.
在Rt△CBF中,可求得OB=,
在Rt△PAB中,可求得PB=2,
所以sin∠BPO===.
选择②,(1)证明:连接AC,因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AC.
因为PA=2,PC=3,所以AC2=PC2-PA2=5,
因为AB=2,BC=1,所以AC2=AB2+BC2,所以AB⊥BC.
因为CD∥平面PAB,CD?平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,所以AB∥CD,又AB≠CD,所以四边形ABCD是直角梯形.
(2)同选择①.
11.D 连接AC,交BD于点O,则O为AC的中点.
连接OE,∵E为CC1的中点,
∴OE∥AC1,又OE?平面BDE,AC1?平面BDE,
∴AC1∥平面BDE,∴AC1到平面BDE的距离等于点A到平面BDE的距离,设为h.
易得VE-ABD=S△ABD×CC1=××2×2×=.
在△BDE中,BE=DE==,BD=2,BD边上的高为=2,∴S△BDE=×2×2=2,
∵VA-BDE=VE-ABD,
∴×2h=,解得h=1.故选D.
12.B 易知四边形BED1F是平行四边形.
连接AC,BD,设交点为O,过点E作BD1的垂线,垂足为N.
若四边形BED1F的面积最小,则EN的长最小,即为AA1到平面BDD1B1的距离,即AO的长.
∵∠DAB=60°,AB=AD=2,
∴△ABD为等边三角形,
易得AO=,又BD1===2,
∴=×2××2=2,此时E、F为棱AA1、CC1的中点,故①正确;
设过点E且与平面BCC1B1垂直的直线交平面于点M,则EM即为点E到平面BCC1B1的距离,易得EM=.
若直线EF与平面BCC1B1所成的角最大,则直线EF与直线EM的夹角最小,即∠FEM最小,此时cos∠FEM=最大,
∵EM长度一定,∴此时EF最小,而EF最小时等于AC,由①知AC=2AO=2,
此时cos∠FEM===,
∴∠FEM=,
∴直线EF与平面BCC1B1所成的角最大为-=,故②错误;
设点D1到平面ABB1A1、平面BCC1B1的距离分别为h1、h2,易得h1=h2=,
=+=×·h1+×·h2=××BB1·AB·h1+××BB1×BC·h2=×2×2×h1+×2×2×h2=×2=,为定值,故③正确;
∵四棱锥B1-BED1F的体积为定值,
∴若点B1到截面α的距离最小,则截面α的面积最大,即四边形BED1F的面积最大,即EN最大,当点E与点A重合,点F与点C1重合时符合条件,此时在△BD1E中,BE=2,BD1=ED1=2,则cos∠ED1B==,则sin∠ED1B=,所以EN=ED1·sin∠ED1B=2×=,
此时=×2××2=2.
设点B1到截面α的距离为d,
则·d=×2d=,∴d=,故④正确.
综上,①③④正确.故选B.
13.解析 (1)证明:连接BC1,则O为B1C与BC1的交点,∵侧面BB1C1C为菱形,
∴B1C⊥BO.
∵AO⊥平面BB1C1C,∴B1C⊥AO,
∵AO∩BO=O,∴B1C⊥平面BAO,
又AB?平面ABO,∴B1C⊥AB.
(2)作OD⊥BC,垂足为D,连接AD,作OH⊥AD,垂足为H.
∵AO⊥平面BB1C1C,∴BC⊥AO,又BC⊥OD,AO∩OD=O,
∴BC⊥平面AOD,∴OH⊥BC,又OH⊥AD,AD∩BC=D,∴OH⊥平面ABC.
∵∠CBB1=60°,BB1=BC,∴△CBB1为等边三角形,
易得OD=,
∵AC⊥AB1,∴OA=B1C=.
由OH·AD=OD·OA,且AD==,得OH=.
又O为B1C的中点,∴点B1到平面ABC的距离为.
∵平面ABC∥平面A1B1C1,∴三棱柱的高即为平面ABC与平面A1B1C1的距离,也就是点B1到平面ABC的距离,∴三棱柱ABC-A1B1C1的高为.(共38张PPT)
第八章
立体几何初步
8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.2 直线与平面垂直
第1课时 直线与平面垂直的判定
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．掌握线面垂直的定义、判定定理.(直观想象)
2．会证明线面垂直，能利用线面垂直得到线线垂直关系.(逻辑推理)
充分利用所在空间(如教室及其中物品)认识线面垂直的定义、判定定理及其模型特征.
必备知识·探新知
1．直线与平面垂直的定义
直线与平面垂直的定义与判定定理
知识点1
定义
一般地，如果直线l与平面α内的___________直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法
_______
有关
概念
直线l叫做平面α的_______，平面α叫做直线l的_______，直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做_______
画法
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边_______
任意一条
l⊥α
垂线
垂面
垂足
垂直
垂足
长度
2．直线与平面垂直的判定定理
两条相交直线
a∩b
直线与平面所成的角
直线与平面所成的角
知识点2
相交
垂直
交点
垂线
有关概念
对应图形
直线与平面所成的角
定义：平面的一条斜线和它在平面上的_______所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是_______；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是______.
直线与平面所成的角θ的取值范围是_______________
射影
90°
0°
0°≤θ≤90°
[知识解读] 1．对直线与平面垂直的几点说明
(1)定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语.
(2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情形.
(3)由直线与平面垂直的定义，得如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线.这是判断两条直线垂直的一种重要方法.
2．理解直线与平面垂直的判定定理
不能用“一条直线与平面内的两条平行直线垂直来判断此直线与平面垂直”.实际上，由基本事实4可知，平行具有“传递性”，因此一条直线与平面内的一条直线垂直，那么它与这个平面内平行于这条直线的所有直线都垂直，但不能保证与其他直线平行.
3．判定定理所体现的数学思想
直线与平面垂直的判定定理体现了“转化”的数学思想，即将线面垂直转化为线线垂直.
4．直线与平面所成的角的理解和判断
(1)对斜线和平面所成的角的定义的理解
斜线和平面所成的角定义表明斜线和平面所成的角是通过斜线在平面内的射影而转化为两条相交直线所成的角.
(2)判断方法
首先，判断直线和平面的位置，若直线在平面内或与平面平行，此时直线与平面所成的角为0°的角；若直线与平面垂直，此时直线与平面所成的角为90°.
其次，若直线与平面斜交，可在斜线上任取一点作平面的垂线(实际操作过程中，这一点的选取要有利于求角)，找出直线在平面内的射影，从而确定出直线和平面所成的角，一般转化到直角三角形、等边三角形中求解.
关键能力·攻重难
下列说法正确的有_____(填序号).
①垂直于同一条直线的两条直线平行；
②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直；
③如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直；
④若l与平面α不垂直，则平面α内一定没有直线与l垂直.
题型探究
题型一
直线与平面垂直的定义及判定定理的理解
典例
1
②
[解析] 因为空间内与一条直线同时垂直的两条直线可能相交，可能平行，也可能异面，故①不正确.
由线面垂直的定义可得，②正确.
因为这两条直线可能是平行直线，故③不正确.
如图，l与α不垂直，但a?α，l⊥a，故④不正确.
[归纳提升] (1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交.
(2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线.
【对点练习】? (1)若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于
( )
A．平面OAB
B．平面OAC
C．平面OBC
D．平面ABC
(2)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是
( )
A．若l⊥m，m?α，则l⊥α
B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m?α，则l∥m
D．若l∥α，m∥α，则l∥m
C
B
[解析] (1)∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB?平面OBC，OC?平面OBC，∴OA⊥平面OBC.
(2)根据两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面，知选项B正确.
如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.求证：
(1)BC⊥平面PAB；
(2)AE⊥平面PBC；
(3)PC⊥平面AEF.
[分析] 本题是证线面垂直问题，要多观察题目中的一些“垂直”关系，看是否可利用.如看到PA⊥平面ABC，可想到PA⊥AB、PA⊥BC、PA⊥AC，这些垂直关系我们需要哪个呢？我们需要的是PA⊥BC，联系已知，问题得证.
题型二
线面垂直的判定
典例
2
[解析] (1)∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC.∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.
又AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB.
(2)∵BC⊥平面PAB，AE?平面PAB，∴BC⊥AE.
∵PB⊥AE，BC∩PB＝B，∴AE⊥平面PBC.
(3)∵AE⊥平面PBC，PC?平面PBC，
∴AE⊥PC.∵AF⊥PC，AE∩AF＝A，∴PC⊥平面AEF.
[归纳提升] 线面垂直的判定方法：
(1)证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义.
②线面垂直的判定定理.
③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.
④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.
(2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤：
①在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；
②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；
③根据判定定理得出结论.
(3)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧：
证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直.三角形全等、等腰三角形底边的中线、高；菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理的逆定理等都是找线线垂直的方法.
【对点练习】? 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
[解析] (1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，
由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，
所以SD⊥BD，又AC∩BD＝D，
所以SD⊥平面ABC.
(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，
所以BD⊥AC，由(1)知SD⊥BD，
又因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；
(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角.
[分析] (1)求线面角的关键是找出直线在平面内的射影，为此须找出过直线上一点的平面的垂线.(2)过A1作平面BDD1B1的垂线，该垂线必与B1D1、BB1垂直，由正方体的特性知，直线A1C1满足要求.
题型三
直线与平面所成的角
典例
3
[归纳提升] 求线面角的方法：
(1)求直线和平面所成角的步骤：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角.
(2)求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等.
【对点练习】? 如图所示，在Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值.
如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC，D是AB的中点，连接CD.求证：CD⊥平面ABB1A1．
[错解] ∵AA1⊥平面ABC，CD?平面ABC，
∴CD⊥AA1．
又BB1∥AA1，∴CD⊥BB1，
又AA1?平面ABB1A1，BB1?平面ABB1A1，
∴CD⊥平面ABB1A1．
易错警示
典例
4
逻辑推理不严密致误
[错因分析] 错解中AA1和BB1是平面ABB1A1内的两条平行直线，不是相交直线，故不满足直线与平面垂直的判定定理的条件.
[正解] ∵AA1⊥平面ABC，CD?平面ABC，∴CD⊥AA1．
又AC＝BC，D是AB的中点，∴CD⊥AB.∵AB?平面ABB1A1，AA1?平面ABB1A1，AB∩AA1＝A，∴CD⊥平面ABB1A1．
[误区警示] 用判定定理证明线面垂直时，必须要找全条件，这些条件必须是已知的、或明显成立的、或已经证明的.
【对点练习】? 直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是
( )
A．l和平面α相互平行
B．l和平面α相互垂直
C．l在平面α内
D．不能确定
[解析] 如下图所示，直线l和平面α相互平行，或直线l和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能.故选D．
D
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
