第十章 概率
10.1 随机事件与概率
10.1.1 有限样本空间与随机事件
基础过关练
题组一 样本点与样本空间
1.下列关于样本点、样本空间的说法错误的是( )
A.样本点是构成样本空间的元素
B.样本点是构成随机事件的元素
C.随机事件是样本空间的子集
D.随机事件中样本点的个数可能比样本空间中的多
2.为了丰富高一学生的课外生活,某校要组建数学、计算机、航空模型3个兴趣小组,某学生选择报其中的2个,则该试验的样本点共有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3.从1,3,6,10四个数中任取两个数(不重复)作差,则该试验的样本空间Ω= .?
4.将一枚骰子掷两次,若先后出现的点数分别为b,c,则方程x2+bx+c=0有实数根的样本点个数为 .?
5.(2020北京通州高一期末)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“任何一个大于4的偶数都是两个质数之和”,如16=3+13.现从不超过16的质数中随机选取两个不同的数(两个数无序),试列举出满足条件的样本空间.(注:不超过16的质数有2,3,5,7,11,13)深度解析
题组二 随机事件的含义及其应用
6.已知集合A={-9,-7,-5,-3,-1,0,2,4,6,8},从集合A中选取不相同的两个数构成平面直角坐标系上的点的坐标,则事件“点落在x轴上”包含的基本事件共有( )
A.7个
B.8个
C.9个
D.10个
7.先后抛掷一枚骰子两次,记事件A:向上的点数之和是5,则事件A的集合表示为 .?
8.从含有两件正品a1,a2和一件次品b的三件产品中每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次.
(1)写出这个试验的样本空间;
(2)写出下列随机事件包含的样本点:
事件A:取出的两件产品都是正品;
事件B:取出的两件产品恰有一件次品.
9.在所有考试中,小明同学的语文、数学、英语这三科的成绩都是优秀或良好.随机抽取一次考试的成绩,记录小明同学的语文、数学、英语这三科成绩的情况.
(1)写出该试验的样本空间;
(2)用集合表示下列事件:
A=“至少有两科成绩为优秀”;
B=“三科成绩不都相同”.
题组三 事件类型的判断
10.下列事件不是随机事件的是( )
A.东边日出西边雨
B.下雪不冷化雪冷
C.清明时节雨纷纷
D.梅子黄时日日晴
11.在10名学生中,男生有x名,现从这10名学生中任选6名去参加某项活动,有下列事件:①至少有1名女生;②5名男生,1名女生;③3名男生,3名女生.若要使①为必然事件,②为不可能事件,③为随机事件,则x为( )
A.5
B.6
C.3或4
D.5或6
12.(2020海南中学高一月考)在200件产品中,有192件一级品,8件二级品,给出下列事件:
①在这200件产品中任意选9件,全部是一级品;
②在这200件产品中任意选9件,全部是二级品;
③在这200件产品中任意选9件,不全是一级品.
其中随机事件是 ;不可能事件是 .(填序号)?
答案全解全析
基础过关练
1.D 由样本点、样本空间的定义可知,A、B、C中的说法均正确.
因为随机事件是样本空间的子集,所以随机事件中样本点的个数不可能比样本空间中的多,故D中说法错误.故选D.
2.C 该学生选报的所有可能情况有:{数学和计算机},{数学和航空模型},{计算机和航空模型},所以试验的样本点共有3个.
3.答案 {-2,2,-5,5,-9,9,-3,3,-7,7,-4,4}
解析 因为1-3=-2,3-1=2,1-6=-5,6-1=5,1-10=-9,10-1=9,3-6=-3,6-3=3,3-10=-7,10-3=7,6-10=-4,10-6=4,
所以试验的样本空间Ω={-2,2,-5,5,-9,9,-3,3,-7,7,-4,4}.
4.答案 19
解析 掷一枚骰子两次出现的点数如表所示:
c
b
1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
方程x2+bx+c=0有实数根的充要条件为b2-4c≥0,即b2≥4c.由上表可知,满足题意的共有1+2+4+6+6=19个样本点.
5.解析 用(x,y)表示从不超过16的质数2,3,5,7,11,13中随机选取两个不同的数,则样本空间为{(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(2,13),(3,5),(3,7),(3,11),(3,13),(5,7),(5,11),(5,13),(7,11),(7,13),(11,13)}.
方法技巧
写试验的样本空间可分两步完成:
1.确定试验的基本结果,即样本点是什么,共有多少个;
2.选择合适的方法(用列举法还是描述法,用文字描述还是用数字、字母表示等)用集合的形式写出样本空间.
6.C 用(a,b)表示平面直角坐标系上的点,由题意得b=0,a≠0,所以“点落在x轴上”包含的基本事件共有9个.故选C.
7.答案 {(1,4),(2,3),(4,1),(3,2)}
解析 因为抛掷一枚骰子两次,事件A:向上的点数之和是5,所以A={(1,4),(2,3),(4,1),(3,2)}.
8.解析 (1)第一次取出的基本结果用x表示,第二次取出的基本结果用y表示,试验的样本点用(x,y)表示,则该试验的样本空间Ω={(a1,a2),(a1,b),(a2,a1),(a2,b),(b,a1),(b,a2)}.
(2)事件A={(a1,a2),(a2,a1)},包含(a1,a2),(a2,a1)2个样本点.
事件B={(a1,b),(b,a1),(a2,b),(b,a2)},包含(a1,b),(b,a1),(a2,b),(b,a2)4个样本点.
9.解析 分别用x1,x2,x3表示语文、数学、英语的成绩,则样本点表示为(x1,x2,x3).用1表示优秀,用0表示良好,则x1,x2,x3∈{0,1}.
(1)该试验的样本空间可表示为Ω={(x1,x2,x3)|x1,x2,x3∈{0,1}},用列举法表示为Ω={(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)}.
(2)A={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)}.
B={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}.
10.B B中事件是必然事件,其余都是随机事件.
11.C 由题意知,10名学生中,男生人数少于5,但不少于3,∴x=3或x=4.
12.答案 ①③;②
解析 事件①和③可能发生,也可能不发生,故是随机事件.因为二级品只有8件,所以9件产品不可能全是二级品,所以②是不可能事件.(共31张PPT)
第十章
概率
10.1 随机事件与概率
10.1.1 有限样本空间与随机事件
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．理解样本点和有限样本空间的含义.(数学抽象)
2．理解随机事件与样本点的关系.(逻辑推理)
1．类比集合的有关概念来认识样本空间.
2．类比集合与集合之间的关系来认识随机事件.
必备知识·探新知
1．随机试验的概念和特点
(1)随机试验：我们把对___________的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E来表示.
(2)随机试验的特点：
①试验可以在相同条件下_______进行；
②试验的所有可能结果是___________的，并且不止一个；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.
随机试验及样本空间
知识点1
随机现象
重复
明确可知
2．样本点和样本空间
?
定义
字母表示
样本点
我们把随机试验E的_____________________称为样本点
用____表示样本点
样本
空间
全体_________的集合称为试验E的样本空间
用____表示样本空间
有限样
本空间
如果一个随机试验有n个可能结果w1，w2，…，wn，则称样本空间Ω＝{w1，w2，…，wn}为有限样本空间
Ω＝{w1，w2，…，wn}
每个可能的基本结果
w
样本点
Ω
三种事件的定义
知识点2
随机
事件
我们将样本空间Ω的_______称为随机事件，简称事件，并把只包含_______样本点的事件称为基本事件，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生
必然
事件
Ω作为自身的子集，包含了_________样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件
不可能
事件
空集?不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称?为不可能事件
子集
一个
所有的
[知识解读] 1．随机试验的三个特点
(1)试验可以在相同条件下重复进行；
(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.
2．关于样本点和样本空间
(1)样本点是指随机试验的每个可能的基本结果，全体样本点的集合称为试验的样本空间；
(2)只讨论样本空间为有限集的情况，即有限样本空间.
3．事件与基本事件
(1)随机事件是样本空间的子集.随机事件是由若干个基本事件构成的，当然，基本事件也是随机事件.
(2)必然事件与不可能事件不具有随机性，是随机事件的两个极端情形.
关键能力·攻重难
在下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
(1)如果a、b都是实数，那么a＋b＝b＋a；
(2)从分别标有1,2,3,4,5,6的6张号签中任取一张，得到4号签；
(3)没有水分，种子发芽；
(4)某电话总机在60秒内接到至少15个电话；
(5)在标准大气压下，水的温度达到50
℃时会沸腾；
(6)同性电荷相互排斥.
题型探究
题型一
事件类型的判断
典例
1
[分析] 依据事件的分类及其定义，在给出的条件下，判断事件是否发生.
[解析] 结合必然事件、不可能事件、随机事件的定义可知.
(1)对任意实数，都满足加法的交换律，故此事件是必然事件.
(2)从6张号签中任取一张，得到4号签，此事件可能发生，也可能不发生，故此事件是随机事件.
(3)适宜的温度和充足的水分，是种子萌发不可缺少的两个条件，没有水分，种子就不可能发芽，故此事件是不可能事件.
(4)电话总机在60秒内接到至少15个电话，此事件可能发生，也可能不发生，故此事件是随机事件.
(5)在标准大气压下，水的温度达到100
℃时，开始沸腾，水温达到50
℃，水不会沸腾，故此事件是不可能事件.
(6)根据“同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引”的原理判断，该事件是必然事件.
[归纳提升] 判断一个事件是随机事件、必然事件还是不可能事件，首先一定要看条件，其次是看在该条件下所研究的事件是一定发生(必然事件)、不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件).
【对点练习】? 指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件：
(1)我国东南沿海某地明年将受到3次冷空气的侵袭；
(2)抛掷硬币10次，至少有一次正面向上；
(3)同一门炮向同一目标发射多枚炮弹，其中50%的炮弹击中目标.
[解析] (1)我国东南沿海某地明年可能受到3次冷空气侵袭，也可能不是3次，是随机事件.
(2)抛掷硬币10次，也可能全是反面向上，也可能有正面向上，是随机事件.
(3)同一门炮向同一目标发射，命中率可能是50%，也可能不是50%，是随机事件.
下列随机事件中，一次试验各指什么？试写出试验的样本空间.
(1)先后抛掷两枚质地均匀的硬币多次；
(2)从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素；
(3)从集合A＝{a，b，c，d}中任取2个元素.
题型二
确定试验的样本空间
典例
2
[解析] (1)一次试验是指“先后抛掷两枚质地均匀的硬币一次”，试验的样本空间为：{(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正)}.
(2)一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素组成集合”，试验的样本空间为：{(a，b，c)，(a，b，d)，(a，c，d)，(b，c，d)}.
(3)一次试验是指“从集合A中一次选取2个元素”，试验的样本空间为：{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)}.
[归纳提升] 不重不漏地列举试验的所有样本点的方法
(1)结果是相对于条件而言的，要弄清试验的结果，必须首先明确试验中的条件.
(2)根据日常生活经验，按照一定的顺序列举出所有可能的结果，可应用画树状图、列表等方法解决.
【对点练习】? 袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下随机试验的条件和样本空间.
(1)从中任取1球；
(2)从中任取2球.
[解析] (1)条件为：从袋中任取1球.样本空间为{红，白，黄，黑}.
(2)条件为：从袋中任取2球.若记(红，白)表示一次试验中，取出的是红球与白球，样本空间为{(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)}.
一个口袋内装有除颜色外完全相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球.
(1)一共有多少个样本点？
(2)写出“2个球都是白球”这一事件的集合表示.
[解析] (1)分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，则这个试验的样本点为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个[其中(1,2)表示摸到1号球和2号球].
(2)记A表示“2个球都是白球”这一事件，则A＝{(1,2)，(1,3)，(2,3)}.
题型三
随机事件的表示
典例
3
[归纳提升] 1．判随机事件的结果是相对于条件而言的，要确定样本空间，(1)必须明确事件发生的条件；(2)根据题意，按一定的次序列出所有样本点.特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏.
2．试验中当试验的结果不唯一时，一定要将各种可能都要考虑到，尤其是有顺序和无顺序的情况最易出错.
【对点练习】? 做抛掷红、蓝两枚骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数.写出：
(1)这个试验的样本空间；
(2)这个试验的结果的个数；
(3)指出事件A＝{(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)}的含义；
(4)写出“点数之和大于8”这一事件的集合表示.
[解析] (1)这个试验的样本空间Ω为
{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}.
(2)这个试验的结果的个数为36．
(3)事件A的含义为抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数之和为7．
(4)记B＝“点数之和大于8”，则B＝{(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}.
已知集合M＝{－2,3}，N＝{－4,5,6}，从这两个集合中各取一个元素分别作为点的横、纵坐标.
(1)写出这个试验的基本事件空间；
(2)求这个试验的基本事件的总数.
[错解] (1)这个试验的基本事件空间Ω＝{(－2，－4)，(－2,5)，(－2,6)，(3，－4)，(3,5)，(3,6)}.
(2)这个试验的基本事件的总数是6．
易错警示
典例
4
忽视试验结果与顺序的关系而致误
[错因分析] 题中要求从两个集合中各取一个元素分别作为点的横、纵坐标，所以集合N中的元素也可以作为横坐标，错解中少了以下基本事件：(－4，－2)，(－4,3)，(5，－2)，(5,3)，(6，－2)，(6,3).
[正解] (1)这个试验的基本事件空间Ω＝{(－2，－4)，(－2,5)，(－2,6)，(3，－4)，(3,5)，(3,6)，(－4，－2)，(－4,3)，(5，－2)，(5,3)，(6，－2)，(6,3)}.
(2)这个试验的基本事件的总数是12．
【对点练习】? 同时抛掷两枚大小相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点的个数是
( )
A．3
B．4
C．5
D．6
[解析] (1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6个样本点.
D
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
