10.1.4 概率的基本性质
基础过关练
题组一 概率的基本性质及应用
1.(2020河南郑州一中高一期末)下列结论正确的是( )
A.事件A发生的概率P(A)=1.1
B.不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1
C.小概率事件就是不可能发生的事件,大概率事件就是必然要发生的事件
D.如果A?B,那么P(A)
2.若随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且P(A)=2-a,P(B)=4a-5,则实数a的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
3.(2020辽宁省实验中学高一期末)下列说法正确的是( )
A.当A,B
不互斥时,可由公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)计算A∪B的概率
B.A,B同时发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率小
C.若P(A)+P(B)=1,则事件A与B是对立事件
D.事件A,B中至少有一个发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率大
4.(多选)在一次随机试验中,事件A1,A2,A3发生的概率分别是0.2,0.3,0.5,则下列说法错误的是( )
A.A1∪A2与A3是互斥事件,也是对立事件
B.(A1∪A2)∪A3是必然事件
C.P(A2∪A3)=0.8
D.P(A1∪A2)≤0.5
5.
给出下列命题:
①若A,B为两个随机事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B);
②若事件A,B,C两两互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1;
③若A,B为互斥事件,则P(A)+P(B)≤1.
其中错误命题的个数是 .?
题组二 利用概率的基本性质求概率
6.如果事件A与B是互斥事件,且事件A+B的概率是0.8,事件A的概率是事件B的概率的3倍,则事件A的概率是( )
A.0.4
B.0.6
C.0.8
D.0.2
7.现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书,从中任取1本,取出的是理科书的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
8.掷一枚质地均匀的骰子,向上的一面出现1点,2点,3点,4点,5点,6点的概率均为,记事件A为“向上的点数是奇数”,事件B为“向上的点数不超过3”,则P(A∪B)=( )
A.
B.
C.
D.
9.掷一枚骰子的试验中,出现各点的概率均为.事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则一次试验中,事件A+(表示事件B的对立事件)发生的概率为( )
A.
B.
C.
D.
10.(2020四川成都外国语学校高一月考)中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为,乙夺得冠军的概率为,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 .?
11.射击队的某一选手射击一次,其命中环数的概率如下表:
命中环数
10
9
8
7
概率
0.32
0.28
0.18
0.12
求该选手射击一次,下列事件的概率.
(1)命中9环或10环;
(2)至少命中8环;
(3)命中的环数小于8.
12.(2020山东济南历城第二中学高一下检测)某商场在元旦举行购物抽奖促销活动,规定顾客从装有编号为0,1,2,3,4的五个相同小球的抽奖箱中一次任意摸出两个小球,若取出的两个小球的编号之和等于7,则中一等奖,等于6或5,则中二等奖,等于4,则中三等奖,其余结果不中奖.
(1)求中二等奖的概率;
(2)求不中奖的概率.
能力提升练
题组 利用概率的基本性质求概率
1.(2020湖北武汉华中师大一附中五校期末联考,)已知随机事件A和B互斥,且P(A∪B)=0.5,P(B)=0.3,则P()=( )
A.0.5
B.0.2
C.0.7
D.0.8
2.(2020吉林省实验中学高二期末,)已知随机事件A,B,C中,A与B互斥,B与C对立,且P(A)=0.3,P(C)=0.6,则P(A+B)=( )
A.0.3
B.0.6
C.0.7
D.0.9
3.()甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为40%,甲不输的概率是90%,则甲、乙两人下成和棋的概率是( )
A.60%
B.30%
C.10%
D.50%
4.(2020四川成都七中高一期末,)在5件产品中,有3件一级品和2件二级品,从中任取2件,下列事件中概率为的是( )
A.都是一级品
B.都是二级品
C.一级品和二级品各1件
D.至少有1件二级品
5.(2019吉林长春外国语学校高二上期末,)某人忘记了电话号码的最后一个数字,随意拨号,则拨号不超过三次能接通电话的概率为( )
A.
B.
C.
D.
6.()一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球若干个,从中摸出一个球,摸出红球或白球的概率为0.58,摸出红球或黑球的概率为0.62,则摸出红球的概率为( )
A.0.1
B.0.2
C.0.3
D.0.4
7.(多选)()黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表:
血型
A
B
AB
O
该血型的人所占比例
0.28
0.29
0.08
0.35
已知同种血型的人可以输血,O型血可以给任何一种血型的人输血,任何血型的人都可以给AB血型的人输血,其他不同血型的人不能互相输血.下列结论正确的是 ( )
A.任找一个人,其血可以输给B型血的人的概率是0.64
B.任找一个人,B型血的人能为其输血的概率是0.29
C.任找一个人,其血可以输给O型血的人的概率为1
D.任找一个人,其血可以输给AB型血的人的概率为1
8.()如图所示,靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成,射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35,0.30,0.25,则射手命中圆环Ⅱ或Ⅲ的概率为 ,不命中靶的概率是 .?
9.()袋中有红球、黑球、黄球、绿球共12个,它们除颜色外完全相同,从中任取一球,得到红球的概率是,得到黑球或黄球的概率是,得到黄球或绿球的概率也是,则得到黑球、黄球、绿球的概率分别是 , , .?
10.()现有7名数理化成绩优秀者,其中A1,A2,A3的数学成绩优秀,B1,B2的物理成绩优秀,C1,C2的化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,组成一个小组代表学校参加竞赛.
(1)求C1被选中的概率;
(2)求A1和B1不全被选中的概率.
11.()甲、乙两人玩一种游戏,每次由甲、乙各出1到5根手指头,若和为偶数算甲赢,否则算乙赢.
(1)若事件A表示“和为6”,求P(A);
(2)现连玩三次,若事件B表示“甲至少赢一次”,事件C表示“乙至少赢两次”,试问B与C是不是互斥事件?为什么?
(3)这种游戏规则公平吗?试说明理由.
答案全解全析
基础过关练
1.B 因为事件A发生的概率0≤P(A)≤1,所以A错误;不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1,所以B正确;小概率事件是指这个事件发生的可能性很小,但并不是不发生,大概率事件是指这个事件发生的可能性较大,但并不是一定发生,所以C错误;由概率的性质5可知,如果A?B,那么P(A)≤P(B),所以D错误.
2.D 由题意得,
即
解得即3.A 根据概率的性质6,可知选项A正确.对于两个不可能事件来说,同时发生的概率与恰有一个发生的概率相等,均为零,故B错误.当A,B是对立事件时,P(A)+P(B)=1,但由P(A)+P(B)=1不能得到事件A与B是对立事件,故C错误.事件A,B中至少有一个发生包括事件A发生且事件B不发生,事件A不发生且事件B发生,事件A,B同时发生;A,B中恰有一个发生包括事件A发生且事件B不发生,事件A不发生且事件B发生.当事件A,B互斥时,事件A,B同时发生的概率为0,所以事件A,B中至少有一个发生的概率等于事件A,B中恰有一个发生的概率,故D错误.
4.ABC 事件A1,A2,A3不一定两两互斥,所以P(A1∪A2)=P(A1)+
P(A2)-
P(A1A2)≤0.5,P(A2∪A3)=
P(A2)+P(A3)-
P(A2A3)≤0.8,P[(A1∪A2)∪A3]≤1,所以(A1∪A2)+A3不一定是必然事件,无法判断A1∪A2与A3是不是互斥或对立事件,所以A、B、C中说法错误.故选ABC.
5.答案 2
解析 只有当事件A,B为两个互斥事件时,才有P(A∪B)=P(A)+P(B),故①不正确;只有事件A,B,C两两互斥,且A∪B∪C=Ω时,才有P(A)+P(B)+P(C)=1,故②不正确;当A,B为互斥事件时,P(A)+P(B)=P(A∪B)
≤1,故③正确.
6.B
因为事件A与B是互斥事件,
所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8.
又因为P(A)=3P(B),所以P(A)=0.6.
7.C 记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A,B,C,D,E,则A,B,C,D,E两两互斥,取到理科书的概率为事件B,D,E概率的和.
∴P(B∪D∪E)=P(B)+P(D)+P(E)=++=.
8.C 记事件Ai=“出现i点(i=1,2,3,4,5,6)”,则A=
A1∪A3∪A5,B=
A1∪A2∪A3,A∩B=
A1∪A3,
所以P(A)==,
P(B)==,
P(A∩B)==,
所以P(A∪B)=P(A)+
P(B)-
P(AB)=.
9.C 由题意,知表示“大于或等于5的点数出现”,事件A与事件互斥,由概率的加法计算公式可得P(A+)=P(A)+P()=+=.
10.答案
解析 由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算,即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为+=.
11.解析 记“射击一次,命中k环”为事件Ak(k=1,2,3,…,10).
(1)因为A9与A10互斥,所以P(A9∪A10)=P(A9)+P(A10)=0.28+0.32=0.60.
(2)记“至少命中8环”为事件B,则B=A8∪A9∪A10,又A8,A9,A10两两互斥,所以P(B)=P(A8)+P(A9)+P(A10)=0.18+0.28+0.32=0.78.
(3)记“命中的环数小于8”为事件C,则事件C与事件B是对立事件,
所以P(C)=1-P(B)=1-0.78=0.22.
12.解析 从五个小球中一次任意摸出两个小球,不同的结果有(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共10种.记两个小球的编号之和为x.
(1)记“中二等奖”为事件A.由题意可知,事件A包括两个互斥事件:x=5,x=6.
事件x=5的取法有2种,即(1,4),(2,3),故P(x=5)==;
事件x=6的取法有1种,即(2,4),故P(x=6)=,所以P(A)=P(x=5)+P(x=6)=+=.
(2)记“不中奖”为事件B,则“中奖”为事件,由题意可知,事件包括三个互斥事件:中一等奖(x=7),中二等奖(事件A),中三等奖(x=4).事件x=7的取法有1种,即(3,4),故P(x=7)=;
事件x=4的取法有(0,4),(1,3),共2种,故P(x=4)==.
由(1)可知,P(A)=.
所以P()=P(x=7)+P(x=4)+P(A)=++=.
所以不中奖的概率P(B)=1-=.
能力提升练
1.D ∵随机事件A和B互斥,∴P(A)=P(A∪B)-P(B)=0.5-0.3=0.2,∴P()=1-P(A)=0.8.
2.C 因为P(C)=0.6,事件B与C对立,
所以P(B)=0.4,
又P(A)=0.3,A与B互斥,所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.3+0.4=0.7.故选C.
3.D “甲获胜”与“甲、乙下成和棋”是互斥事件,“甲不输”即“甲获胜或甲、乙下成和棋”,故P(甲不输)=P(甲获胜)+P(甲、乙下成和棋),
所以P(甲、乙下成和棋)=P(甲不输)-P(甲获胜)=90%-40%=50%.
4.D 设A1,A2,A3分别表示3件一级品,B1,B2分别表示2件二级品.任取2件,则样本空间Ω={A1A2,A1A3,A2A3,A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,B1B2},共10个样本点,每个样本点出现的可能性相等.
记事件A表示“2件都是一级品”,包含3个样本点,则P(A)=.
记事件B表示“2件都是二级品”,包含1个样本点,则P(B)=.
记事件C表示“2件中1件一级品、1件二级品”,包含6个样本点,则P(C)==.
事件A,B,C两两互斥,所以P(B)+P(C)=P(B∪C)=,而B∪C表示“至少有1件二级品”.故选D.
5.B 解法一:设“第i次能接通电话”为事件Ai(i=1,2,3),
借助树状图求出相应事件的样本点数:
因此,P(A1)=,
P(A2)==,P(A3)==,
所以拨号不超过三次能接通电话的概率为++=.故选B.
解法二:设“前三次都未接通”为事件A,
则P(A)==,
所以拨号不超过三次能接通电话的概率为1-P(A)=1-=.故选B.
6.B 设事件A=“摸出红球或白球”,事件B=“摸出黑球”,则事件A与事件B是对立事件,又∵P(A)=0.58,∴P(B)=1-P(A)=0.42.
设事件C=“摸出红球或黑球”,事件D=“摸出白球”,则事件C与事件D为对立事件,又∵P(C)=0.62,
∴P(D)=0.38.
设事件E=“摸出红球”,则P(E)=1-P(B∪D)=1-P(B)-P(D)=1-0.42-0.38=0.2.
7.AD 任找一个人,其血型为A、B、AB、O型血的事件分别记为A'、B'、C'、D',它们两两互斥.由已知,有P(A')=0.28,P(B')=0.29,P(C')=0.08,P(D')=0.35.因为B,O型血可以输给B型血的人,所以“可以输给B型血的人”为事件B'∪D',根据概率的加法公式,得P(B'∪D')=P(B')+P(D')=0.29+0.35=0.64,故A正确;B型血的人能为B型、AB型的人输血,其概率为0.29+0.08=0.37,B错误;由O型血只能接受O型血的人输血知,C错误;由任何人的血都可以输给AB型血的人知,D正确.故选AD.
8.答案 0.55;0.10
解析 设射手命中圆面Ⅰ为事件A,命中圆环Ⅱ为事件B,命中圆环Ⅲ为事件C,不中靶为事件D,则P(A)=0.35,P(B)=0.30,P(C)=0.25,且A,B,C两两互斥,故射手命中圆环Ⅱ或Ⅲ的概率为P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.30+0.25=0.55,射手中靶的概率为P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.35+0.30+0.25=0.90.
因为中靶和不中靶是对立事件,所以不命中靶的概率P(D)=1-P(A∪B∪C)=1-0.90=0.10.
9.答案 ;;
解析 设事件A,B,C,D分别表示事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”,则事件A,B,C,D两两互斥,根据题意,得
解得P(B)=,P(C)=,P(D)=.
10.解析
用(x,y,z)表示从7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,则对应的样本空间Ω={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2)},共12个样本点.
(1)记事件M=“C1被选中”,则M={(A1,B1,C1),(A1,B2,C1),(A2,B1,C1),(A2,B2,C1),(A3,B1,C1),(A3,B2,C1)},共6个样本点.因而C1被选中的概率P(M)==.
(2)记事件N=“A1,B1不全被选中”,则其对立事件=“A1,B1全被选中”.={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2)},共2个样本点,所以P()==.
由对立事件的概率公式得P(N)=1-P()=1-=.
11.解析 (1)易知样本点总数n=25,且每个样本点出现的可能性相等.
事件A包含的样本点共5个:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),
所以P(A)==.
(2)B与C不是互斥事件.理由:因为事件B与C可以同时发生,如甲赢一次,乙赢两次.
(3)这种游戏规则不公平.理由如下:
和为偶数的样本点有:(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5),共13个,所以甲赢的概率为,乙赢的概率为1-=,所以这种游戏规则不公平.(共32张PPT)
第十章
概率
10.1 随机事件与概率
10.1.4 概率的基本性质
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．熟练掌握性质1，性质2．(数学抽象)
2．会判断两个事件的互斥与对立关系.(逻辑推理)
3．能够利用性质3(互斥事件的概率公式)，性质4(对立事件的概率公式)求解概率问题.(数学运算)
4．能够解决实际生活中的概率问题.(数据分析)
当直接求某一事件的概率较为复杂时，可转化为求几个互斥事件的概率之和或其对立事件的概率，体验了正难则反的思想.
必备知识·探新知
性质1 对任意的事件A，都有__________.
性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝____，P(?)＝____.
性质3 如果事件A和事件B互斥，那么P(A∪B)＝_____________.
性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝__________，P(A)＝__________.
性质5 如果A?B，那么P(A)_____P(B).
性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝______________________.
概率的基本性质
知识点
P(A)≥0
1
0
P(A)＋P(B)
1－P(A)
1－P(B)
≤
P(A)＋P(B)－P(A∩B)
关键能力·攻重难
题型探究
题型一
互斥事件概率公式的应用
典例
1
[归纳提升] (1)公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，只有当A、B两事件互斥时才能使用，如果A、B不互斥，就不能应用这一公式；(2)解决本题的关键是正确理解“A∪B”的意义.
[解析] 记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F两两互斥.
(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C，
所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56．
(2)法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D∪E∪F，
所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44．
法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44．
甲、乙、丙、丁四人参加4×100米接力赛，求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率.
题型二
概率一般加法公式(性质6)的应用
典例
2
[归纳提升] (1)概率的一般加法公式及互斥事件的概率加法公式在限制条件上的区别：在公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)中，事件A，B是互斥事件；在公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，事件A，B可以是互斥事件，也可以不是互斥事件.可借助图形理解.
(2)利用概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)求解的关键在于理解两个事件A，B的交事件A∩B的含义，准确求出其概率.
【对点练习】? 在对200家公司的最新调查中发现，40%的公司在大力研究广告效果，50%的公司在进行短期销售预测，而30%的公司在从事这两项研究.假设从这200家公司中任选一家，记事件A为“该公司在研究广告效果”，记事件B为“该公司在进行短期销售预测”，求P(A)，P(B)，P(A∪B).
[解析] P(A)＝40%＝0.4，P(B)＝50%＝0.5，又已知P(A∩B)＝30%＝0.3，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.4＋0.5－0.3＝0.6．
题型三
利用互斥与对立的概率公式多角度求解
典例
3
[归纳提升] 对于较复杂事件的概率在求解时通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率.
[解析] 记“射击一次命中k环”的事件为Ak(k∈N，k≤10)，则事件Ak彼此互斥.
(1)记“射击一次命中9环或10环”为事件A，则当A9或A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的概率公式，得P(A)＝P(A9)＋P(A10).因此命中9环或10环的概率为0.60．
(2)方法一：由于事件“射击一次命中不足7环”是“射击一次至少命中7环”的对立事件，故所求的概率为P＝1－(0.12＋0.18＋0.28＋0.32)＝0.10，因此命中不足7环的概率为0.10．
方法二：由题意可知“命中环数不足7环”即“命中环数为6环及以下”，故P＝0.10．
易错警示
典例
4
忽略概率加法公式的应用前提
[错因分析] 造成错解的原因在于忽略了“事件和”概率公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)的使用前提：事件A，B彼此互斥.此题的两个事件A，B不是互斥事件，如出现的点数为1或3时，事件A，B同时发生，故此题应用性质6．
[误区警示] 在使用公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)时，一定要注意公式成立的前提，即事件A与事件B互斥.若事件A，B不互斥，则应用公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB).
【对点练习】? 甲、乙两人各射击一次，命中率分别为0.8和0.5，两人都命中的概率为0.4，求甲、乙两人至少有一人命中的概率.
[解析] 至少有一人命中，可看成“甲命中”和“乙命中”这两个事件的并事件.设事件A为“甲命中”，事件B为“乙命中”，则“甲、乙两人至少有一人命中”为事件A∪B，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.8＋0.5－0.4＝0.9．
课堂检测·固双基
素养作业·提技能