(共39张PPT)
第十章
概率
10.2 事件的相互独立性
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．弄清相互独立事件的概念与意义.(数学抽象)
2．能够利用相互独立事件的概率公式求解简单的概率问题.(数学运算)
3．能够解决实际问题中的概率问题.(数学建模)
1．在概率论中，独立性也是极其重要的概念，它的主要作用是简化概率计算.
2．注意区分两个事件相互独立与两个事件互斥这两个概念.
3．学会并掌握如何用事件的独立性计算随机事件的概率.
必备知识·探新知
对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝___________成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.
相互独立事件的定义
知识点1
P(A)P(B)
当事件A，B相互独立时，则事件____与事件_____相互独立，事件_____与事件____相互独立，事件_____与事件_____相互独立.
相互独立事件的性质
知识点2
A
B
[知识解读] 1．公式的推广
如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An).
2．两个事件独立与互斥的区别
两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响.
一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提.
3．相互独立事件与互斥事件的概率计算
关键能力·攻重难
下列每对事件中，哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件？
(1)1
000张有奖销售的奖券中某张奖券是一等奖与该张奖券是二等奖；
(2)甲，乙两人同时购买同一期的双色球彩票各一张，甲中奖与乙中奖；
题型探究
题型一
相互独立事件的判断
典例
1
(3)甲组3名男生、2名女生，乙组2名男生、3名女生，现从甲，乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
(4)容器内盛有5个白球和3个黄球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”.
[解析] (1)一张奖券不可能既是一等奖又是二等奖，即这两个事件不可能同时发生，故它们是互斥事件.
(2)由双色球的中奖规则可知，甲是否中奖对乙是否中奖没有影响，反之亦然，故它们是相互独立事件.
(3)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，反之亦然，所以它们是相互独立事件.
[归纳提升] 两种方法判断两事件是否具有独立性
(1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响.
(2)公式法：检验P(AB)＝P(A)P(B)是否成立.
【对点练习】? (1)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B
( )
A．相互独立但不互斥
B．互斥但不相互独立
C．相互独立且互斥
D．既不相互独立也不互斥
(2)掷一枚正方体骰子一次，设事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是
( )
A．互斥但不相互独立
B．相互独立但不互斥
C．互斥且相互独立
D．既不相互独立也不互斥
A
B
题型二
相互独立事件的概率计算
典例
2
[归纳提升] 1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤：
(1)首先确定各事件之间是相互独立的；
(2)确定这些事件可以同时发生；
(3)求出每个事件的概率，再求积.
2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生.
3．明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.
【对点练习】? 某机械厂制造一种汽车零件，已知甲机床的正品率是0.96，乙机床的次品率是0.05，现从它们制造的产品中各任意抽取一件，试求：
(1)两件产品都是正品的概率；
(2)恰有一件是正品的概率；
(3)至少有一件是正品的概率.
题型三
相互独立事件概率的综合应用
典例
3
(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？
(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.
[归纳提升] 求较为复杂事件的概率的方法
(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；
(2)理清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立，或者是相互独立)，列出关系式；
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率.
甲投篮的命中率为0.8，乙投篮的命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少？
[错解] 记A＝“甲恰好命中2次”，B＝“乙恰好命中2次”，则P(两人恰好都命中2次)＝P(A)＋P(B)＝3×0.82×0.2＋3×0.72×0.3＝0.825．
易错警示
典例
4
混淆互斥事件和独立事件的概念
[错因分析] 错误地把相互独立事件当成互斥事件来考虑，将“两人恰好都命中2次的概率”理解成A＝“甲恰好命中2次”与B＝“乙恰好命中2次”的概率之和.
[正解] 记A＝“甲恰好命中2次”，B＝“乙恰好命中2次”，A，B为相互独立事件，两人恰好都命中2次的概率为P(AB)，则P(AB)＝P(A)P(B)＝3×0.82×0.2×3×0.72×0.3≈0.169．
[误区警示] 首先理解清楚互斥事件与相互独立事件的概念，并且区分计算概率的公式.A，B为互斥事件时，有概率公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，A，B为独立事件时，有概率公式为P(AB)＝P(A)P(B).
D
课堂检测·固双基
素养作业·提技能10.2 事件的相互独立性
基础过关练
题组一 相互独立事件的判断
1.(2020山西太原五中高一期末)下列各对事件中,A,B是相互独立事件的是( )
A.一枚硬币掷两次,A表示“第一次为正面”,B表示“第二次为反面”
B.袋中有2个白球,2个黑球,除颜色外完全相同,不放回地摸球两次,每次摸出一球,A表示“第一次摸到白球”,B表示“第二次摸到白球”
C.掷一枚质地均匀的骰子一次,A表示“出现的点数为奇数”,B表示“出现的点数为偶数”
D.A表示“一个灯泡能用1
000小时”,B表示“一个灯泡能用2
000小时”
2.若P(AB)=,P()=,P(B)=,则事件A与B的关系是( )
A.事件A与B互斥
B.事件A与B对立
C.事件A与B相互独立
D.事件A与B既互斥又独立
3.(2020山东济南历城二中高一下检测)袋内有3个白球和2个黑球,从中有放回地摸球,用A表示“第一次摸到白球”,如果“第二次摸到白球”记为B,“第二次摸到黑球”记为C,那么事件A与B,A与C间的关系是
(深度解析)
A.A与B,A与C均相互独立
B.A
与B相互独立,A与C互斥
C.A与B,A与C均互斥
D.A与B互斥,A与C相互独立
4.已知A,B是两个相互独立事件,P(A),P(B)分别表示它们发生的概率,则1-P(A)P(B)表示的是( )
A.事件A,B同时发生的概率
B.事件A,B至少有一个发生的概率
C.事件A,B至多有一个发生的概率
D.事件A,B都不发生的概率
5.掷一枚骰子一次,记A表示事件“出现偶数点”,B表示事件“出现3点或6点”,则事件A与B的关系是( )
A.互斥事件
B.相互独立事件
C.既互斥又相互独立事件
D.既不互斥又不相互独立事件
题组二 相互独立事件的概率计算
6.若A,B是相互独立事件,且P(A)=,P(B)=,则P(A)=( )
A.
B.
C.
D.
7.在某段时间内,甲地下雨的概率为0.3,乙地下雨的概率为0.4,假设在这段时间内两地是否下雨之间没有影响,则这段时间内,甲、乙两地都不下雨的概率为( )
A.0.12
B.0.88
C.0.28
D.0.42
8.(2020贵州贵阳一中高一期末)袋中装有红、黄、蓝3种颜色的球各1个,这些球除颜色外完全相同,从中每次任取1个,有放回地抽取3次,则3次全是红球的概率为( )
A.
B.
C.
D.
9.如图所示,A,B,C表示3个开关,若在某段时间内,它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.8,则该系统的可靠性(3个开关只要一个开关正常工作即可靠)为( )
A.0.504
B.0.994
C.0.996
D.0.964
10.甲和乙两人各投篮一次,已知甲投中的概率是0.8,乙投中的概率是0.6,则恰有一人投中的概率为( )
A.0.44
B.0.48
C.0.88
D.0.98
11.某自助银行设有两台ATM机,在某一时刻这两台ATM机被占用的概率分别为,,则客户此刻到达需要等待的概率为 .?
12.在某校运动会中,甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场),共赛三场,每场比赛胜者得3分,负者得0分,没有平局.在每一场比赛中,甲胜乙的概率为,甲胜丙的概率为,乙胜丙的概率为.
(1)求甲队获第一名且丙队获第二名的概率;
(2)求在该次比赛中甲队至少得3分的概率.
能力提升练
题组 相互独立事件的概率计算
1.()甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为( )
A.
B.
C.
D.
2.()同时转动如图所示的两个转盘,记转盘甲得到的数为x,转盘乙得到的数为y(若指针停在边界上则重新转),x,y构成数对(x,y),则所有数对(x,y)中满足xy=4的概率为( )
甲 乙
A.
B.
C.
D.
3.(2020福建福州第一中学高一期末,)某校在秋季运动会中安排了篮球投篮比赛,现有20名同学参加篮球投篮比赛,已知每名同学投进的概率均为0.4,每名同学有2次投篮机会,且各同学投篮之间没有影响,现规定:投进两个得4分,投进一个得2分,一个未进得0分,则其中一名同学得2分的概率为( )
A.0.5
B.0.48
C.0.4
D.0.32
4.(多选)(2020湖北武汉二中高一期末,)如图所示的电路中,5个盒子表示保险匣,设5个盒子分别被断开为事件A,B,C,D,E.盒中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率,下列结论正确的是( )
A.A,B两个盒子串联后畅通的概率为
B.D,E两个盒子并联后畅通的概率为
C.A,B,C三个盒子混联后畅通的概率为
D.当开关合上时,整个电路畅通的概率为
5.(2020广东执信中学高一月考,)一道数学竞赛试题,甲同学解出它的概率为,乙同学解出它的概率为,丙同学解出它的概率为,由甲、乙、丙三人独立解答此题,则只有一人解出的概率为 .?
6.()设甲、乙、丙三台机器是否需要被照顾相互之间没有影响,已知在某一小时内,甲、乙都需要被照顾的概率为0.05,甲、丙都需要被照顾的概率为0.1,乙、丙都需要被照顾的概率为0.125,则甲、乙、丙三台机器在这一小时内需要被照顾的概率分别为 , , .深度解析?
7.(2020辽宁省实验中学高一月考,)某田径队有三名短跑运动员,根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13
s内(称为合格)的概率分别为,,,若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行分析,求:
(1)三人都合格的概率;
(2)三人都不合格的概率;
(3)出现几人合格的概率最大.深度解析
8.()某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案.
方案一:考三门课程,至少有两门及格为考试通过.
方案二:在三门课程中随机选取两门,这两门都及格为考试通过.
假设某应聘者三门指定课程考试及格的概率分别为0.5,0.6,0.9,且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.求:
(1)该应聘者用方案一考试通过的概率;
(2)该应聘者用方案二考试通过的概率.
答案全解全析
基础过关练
1.A 在A中,把一枚硬币掷两次,对于每次而言是相互独立的,其结果不受先后影响,故A中两事件是相互独立事件;在B中,显然事件A与事件B不相互独立;在C中,A,B为互斥事件,不相互独立;在D中,事件B受事件A的影响,A不发生则B一定不发生,故事件A与事件B不相互独立.
2.C ∵P()=,∴P(A)=1-P()=1-=,∴P(AB)=P(A)P(B)=≠0,
∴事件A与B相互独立且事件A与B不是互斥,也不是对立事件.
3.A 由于摸球是有放回的,所以第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响,故事件A与B,A与C均相互独立.因为A与B,A与C均有可能同时发生,所以A与B,A与C均不互斥,故选A.
方法技巧
互斥事件、对立事件、相互独立事件的关系:
1.互斥事件A,B不可能同时发生,但可能同时不发生.
2.对立事件必有一个发生一个不发生.对立事件A,B中,A+B为一个必然事件.
3.两个相互独立的事件既可以同时发生,也可以同时不发生,或一个发生另一个不发生.相互独立事件A,B同时发生记作“A∩B”或“AB”(又称积事件).
4.相互独立事件和互斥事件是两个不同的概念,它们之间没有直接关系.
4.C 由题意知,P(A)P(B)是指A,B同时发生的概率,故1-P(A)P(B)是指A,B不同时发生的概率,即至多有一个发生的概率.
5.B 因为该试验的样本空间Ω={1,2,3,4,5,6},A={2,4,6},B={3,6},AB={6},所以P(A)=,P(B)=,P(AB)==×=P(A)P(B),所以A与B是相互独立事件.因为事件A与事件B包含一个共同事件:出现6点,所以事件A与事件B不互斥.故选B.
6.A ∵A,B是相互独立事件,∴A与也是相互独立事件,
∵P(A)=,P(B)=,
∴P(A)=P(A)·P()=×=.故选A.
7.D 甲、乙两地都不下雨的概率为(1-0.3)×(1-0.4)=0.42.
8.D 有放回地抽取3次,每次可看作一个独立事件.每次取出的球为红球的概率为,“3次全是红球”为三个独立事件同时发生,其概率为××=.
9.C 由题意知,所求概率为1-(1-0.9)(1-0.8)(1-0.8)=1-0.004=0.996.
10.A 设事件A=“甲投中”,事件B=“乙投中”,则P(A)=0.8,P(B)=0.6,所以恰有一人投中的概率为P(A+B)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=0.8×0.4+0.2×0.6=0.44.
11.答案
解析 客户需要等待意味着这两台ATM机同时被占用,故所求概率为×=.
12.解析 (1)甲队获第一名且丙队获第二名就是甲胜乙,甲胜丙且丙胜乙.各队比赛相互独立,设甲队获第一名且丙队获第二名为事件A,则P(A)=××=.
(2)甲队至少得3分有两种情况:甲队两场只胜一场;甲队两场都胜.设事件B为“甲队两场只胜一场”,事件C为“甲队两场都胜”,则事件“甲队至少得3分”为B∪C,所以P(B
∪C)=P(B)+P(C)=×+×+×=.
能力提升练
1.A 甲队获得冠军包含两种情况:第一种,比赛1局,且甲赢,其概率P1=;第二种,需比赛2局,第一局甲负,第二局甲赢,其概率P2=×=.故甲队获得冠军的概率为P1+P2=.
2.C 满足xy=4的所有可能如下:
x=1,y=4;x=2,y=2;x=4,y=1.
所以所求事件的概率P=P(x=1,y=4)+P(x=2,y=2)+P(x=4,y=1)=×+×+×=.
3.B 设事件A=“第一次投进球”,B=“第二次投进球”,则得2分的概率P=P(A)+P(B)=0.4×(1-0.4)+(1-0.4)×0.4=0.48.
4.ACD 由题意知,P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D)=,P(E)=,所以A,B两个盒子串联后畅通的概率为×=,因此A正确;D,E两个盒子并联后畅通的概率为1-×=1-=,因此B错误;A,B,C三个盒子混联后畅通的概率为1-×=1-=,C正确;当开关合上时,整个电路畅通的概率为×=,D正确.故选ACD.
5.答案
解析 只有一人解出的概率P=××+××+××=.
6.答案 0.2;0.25;0.5
解析 记“机器甲需要被照顾”为事件A,“机器乙需要被照顾”为事件B,“机器丙需要被照顾”为事件C,由题意可知A,B,C是相互独立事件.
由题意得
解得
所以甲、乙、丙三台机器在这一小时内需要被照顾的概率分别为0.2,0.25,0.5.
方法技巧
对于相互独立事件的概率公式的逆用问题,仍按正向解决的原则进行解题,即可先设出一些未知量,再根据已知条件列出相应的方程(组),由方程(组)求出未知量的值,从而解决问题.
7.解析 设甲、乙、丙三人100米跑的成绩合格分别为事件A,B,C,显然事件A,B,C相互独立,且P(A)=,P(B)=,P(C)=.
设恰有k人合格的概率为Pk(k=0,1,2,3).
(1)三人都合格的概率为
P3=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=××=.
(2)三人都不合格的概率为
P0=P( )=P()P()P()=××=.
(3)恰有两人合格的概率为
P2=P(AB)+P(AC)+P(BC)=××+××+××=.
恰有一人合格的概率为
P1=1-P0-P2-P3=1---==.
综上可知,恰有一人合格的概率最大.
知识补充
已知A,B,C是相互独立事件,则P(ABC)=P(A)P(B)P(C),P()=P()·P()P(),P(BC)=P()P(B)P(C),P(C)=P()P()P(C),其中P()=1-P(A),P()=1-P(B),P()=1-P(C).
8.解析 记该应聘者三门指定课程考试及格的事件分别为A,B,C,则P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(C)=0.9.
(1)应聘者用方案一考试通过的概率
P1=P(AB)+P(BC)+P(AC)+P(ABC)
=0.5×0.6×(1-0.9)+(1-0.5)×0.6×0.9+0.5×(1-0.6)×0.9+0.5×0.6×0.9=0.75.
(2)应聘者用方案二考试通过的概率
P2=P(AB)+P(BC)+P(AC)
=×0.5×0.6+×0.6×0.9+×0.5×0.9
=0.43.
