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第十章
概率
10.1 随机事件与概率
10.1.2 事件的关系和运算
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．理解事件的关系与运算.(逻辑推理)
2．理解互斥事件和对立事件的概念.(数学抽象)
本部分内容要类比集合的关系和运算来理解事件的关系和运算.
必备知识·探新知
事件的运算
知识点1
事件A与事件B至少有一个发生
A∪B
A＋B
事件A与事件B同时发生
A∩B
AB
事件的关系
知识点2
一定发生
B?A
A?B
不能同时发生
A∩B＝?
有且仅有一个发生
A∩B＝?
[知识解读] 1．互斥事件与对立事件的区别与联系
(1)区别：两个事件A与B是互斥事件，包括如下三种情况：①若事件A发生，则事件B就不发生；②若事件B发生，则事件A就不发生；③事件A，B都不发生.
而两个事件A，B是对立事件，仅有前两种情况，因此事件A与B是对立事件，则A∪B是必然事件，但若A与B是互斥事件，则不一定是必然事件，即事件A的对立事件只有一个，而事件A的互斥事件可以有多个.
(2)联系：互斥事件和对立事件在一次试验中都不可能同时发生，而事件对立是互斥的特殊情况，即对立必互斥，但互斥不一定对立.
2．从集合的角度理解互斥事件与对立事件
(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.
(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.
关键能力·攻重难
(1)(2020·河南省南阳市期中)一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是
( )
A．两次都中靶
B．至少有一次中靶
C．两次都不中靶
D．只有一次中靶
题型探究
题型一
互斥事件、对立事件的判定
典例
1
A
(2)(2020·湖南省怀化市期末)一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是
( )
A．恰有一次击中
B．三次都没击中
C．三次都击中
D．至多击中一次
[解析] (1)事件“至多有一次中靶”包含“只有一次中靶”和“两次都不中靶”，因此不会与其同时发生的事件是“两次都中靶”.
(2)根据题意，一个人连续射击三次，事件“至少击中两次”包括“击中两次”和“击中三次”两个事件，其对立事件为“一次都没有击中和击中一次”，即“至多击中一次”.
D
[归纳提升] 判断事件间关系的方法
(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立其发生的条件都是一样的.
(2)考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析.
【对点练习】? 有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向，事件“甲向南”与事件“乙向南”是
( )
A．互斥但非对立事件
B．对立事件
C．非互斥事件
D．以上都不对
[解析] 由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件.
A
在掷骰子的试验中，可以定义许多事件.例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：
(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；
(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件.
题型二
事件的运算
典例
2
[解析] (1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1?D3，C2?D3，C3?D3，C4?D3．
同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5．
且易知事件C1与事件D1相等，
即C1＝D1．
(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，
所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6).
同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5．
[归纳提升] 事件运算应注意的2个问题
(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.
(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理.
【对点练习】? 盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}.
问：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
(3)设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有1个白球}，那么事件C与B，E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？
[解析] (1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D＝A∪B.
(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.
(3)由事件C包括的可能结果有1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球三种情况，故B?C，E?C，而事件F包括的可能结果有1个白球2个红球，2个白球1个红球，3个白球，所以C∩F＝{1个红球2个白球，2个红球1个白球}＝D.
设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来.
(1)三个事件都发生；
(2)三个事件至少有一个发生；
(3)A发生，B，C不发生；
(4)A，B都发生，C不发生；
(5)A，B至少有一个发生，C不发生；
(6)A，B，C中恰好有两个发生.
题型三
用集合运算表示随机事件
典例
3
[归纳提升] 利用随机事件的运算与集合运算的对应关系，可以有效地解决此类问题
.
进行抛掷一枚骰子的试验，有下列各组事件：
(1)“出现1点”与“出现2点”；
(2)“出现奇数点”与“出现偶数点”；
(3)“出现大于3的点”与“出现大于4的点”.
其中是对立事件的组数是
( )
A．0
B．1
C．2
D．3
易错警示
典例
4
不能正确区分对立事件和互斥事件致错
B
[错解] C
[错因分析] 错解混淆了互斥事件与对立事件，误将互斥事件当作了对立事件.只有(2)“出现奇数点”与“出现偶数点”是对立事件，而(1)中“出现1点”与“出现2点”是互斥事件，但不是对立事件，(3)中“出现大于3的点”与“出现大于4的点”不是互斥事件，所以也不是对立事件.
[正解] B
[误区警示] 对立事件一定是互斥事件，而互斥事件却不一定是对立事件.忽略互斥事件与对立事件之间的区别与联系，对“恰”“至少”“都”等词语理解不透彻.判断两个事件是否互斥，就要看它们是否能同时发生；判断两个互斥事件是否对立，就要看它们是否有一个必然发生.
【对点练习】? (2020·广东省茂名市期末)若干人站成一排，其中为互斥事件的是
( )
A．“甲站排头”与“乙站排头”
B．“甲站排头”与“乙站排尾”
C．“甲站排头”与“乙不站排头”
D．“甲不站排头”与“乙不站排头”
[解析] 根据互斥事件不能同时发生，判断A是互斥事件；B，C，D中两事件能同时发生，故不是互斥事件.
A
课堂检测·固双基
素养作业·提技能10.1.2 事件的关系和运算
基础过关练
题组一 事件之间的关系
1.(2020吉林省实验中学高二期末)把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人,每人分得1张,事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )
A.对立事件
B.互斥但不对立事件
C.两个不可能事件
D.以上都不对
2.(2020湖北黄石高二期末)从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球,那么互斥而不对立的两个事件是( )
A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
D.“至少有一个黑球”与“都是红球”
3.给出以下三个结论:①将一枚硬币抛掷两次,记事件A=“两次都出现正面”,事件B=“两次都出现反面”,则事件A与事件B是对立事件;②将一枚硬币抛掷两次,记事件A=“至少有一次为正面”,事件B=“两次均为反面”,则事件A与事件B是互斥事件;③在10件产品中有3件是次品,从中任取3件,记事件A=“所取3件产品中最多有2件是次品”,事件B=“所取3件产品中至少有2件是次品”,则事件A与事件B是互斥事件.
其中正确的个数是(深度解析)
A.0
B.1
C.2
D.3
4.在掷一枚骰子的试验中,可能得到以下事件:A=“出现1点”;B=“出现2点”;D=“出现4点”;E=“出现5点”;G=“出现的点数不大于1”;H=“出现的点数小于5”;I=“出现奇数点”;J=“出现偶数点”.请判断下列两个事件的关系:
(1)B H;(2)D J;?
(3)E I;(4)A G.深度解析?
5.一个射击手进行一次射击,设事件A表示“命中的环数大于7”;事件B表示“命中的环数为10”;事件C表示“命中的环数小于6”;事件D表示“命中的环数为6,7,8,9,10”.判断下列各对事件是不是互斥事件,是不是对立事件,并说明理由.
(1)事件A与B;
(2)事件A与C;
(3)事件C与D.
题组二 事件的运算
6.掷一枚质地均匀的正方体骰子,事件E={向上的点数为1},事件F={向上的点数为5},事件G={向上的点数为1或5},则有( )
A.E?F
B.G?F
C.E∪F=G
D.E∩F=G
7.(多选)对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设事件A={两弹都击中飞机},事件B={两弹都没击中飞机},事件C={恰有一弹击中飞机},事件D={至少有一弹击中飞机},下列关系正确的是( )
A.A?D
B.B∩D=?
C.A∪C=D
D.A∪B=B∪D
8.一批产品共有100件,其中5件是次品,95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件,现给出以下四个事件:
事件A:恰有一件次品;
事件B:至少有两件次品;
事件C:至少有一件次品;
事件D:至多有一件次品.
并给出以下结论:
①A∪B=C;②D∪B是必然事件;③A∩B=C;④A∩D=C.
其中正确的结论是( )
A.①②
B.③④
C.①③
D.②③
9.在抛掷一枚骰子的试验中,事件A表示“不大于4的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则事件A∪包含的样本点为 .?
10.甲、乙两人下象棋,设“甲获胜”为事件A,“两人下成和棋”为事件B,则事件“甲不输”为 ,事件“乙获胜”为 (用A,B表示).?
11.在投掷骰子的试验中,根据向上出现的点数可以定义许多事件,如:A={出现1点},B={出现3点或4点},C={出现的点数是奇数},D={出现的点数是偶数}.
(1)说明以上4个事件的关系;
(2)求A∩B,A∪B,A∪D,B∩D,B∪C.
能力提升练
题组一 事件关系的判断
1.(2019吉林长春外国语学校高二上期末,)从一批产品中取出三件产品,设A=“三件产品都不是次品”,B=“三件产品都是次品”,C=“三件产品不都是次品”,则下列结论正确的是( )
A.A,C互斥
B.B,C互斥
C.任何两个都互斥
D.任何两个都不互斥
2.()如果事件A,B互斥,记,分别为事件A,B的对立事件,那么( )
A.A∪B是必然事件
B.∪是必然事件
C.与一定互斥
D.与一定不互斥
3.(多选)(2020广东惠州高二期末,)不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张,一次任意取出2张卡片,则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件是( )
A.2张卡片都不是红色
B.2张卡片恰有一张是红色
C.2张卡片至少有一张是红色
D.2张卡片都为绿色
4.()同时抛掷两枚均匀的骰子,事件“都不是5点且都不是6点”的对立事件为 .(填序号)?
①一个是5点,另一个是6点;
②一个是5点,另一个是4点;
③至少有一个是5点或6点;
④至多有一个是5点或6点.
5.(2020江苏海安高级中学高一月考,)抛掷一枚质地均匀的骰子,记“向上的点数是4或5或6”为事件A,“向上的点数是1或2”为事件B,“向上的点数是1或2或3或4”为事件C,“向上的点数大于3”为事件D,则下列结论正确的是 .(填序号)?
①A与B是互斥事件,但不是对立事件;
②B?C;
③A与C是互斥事件;
④A=D.
6.(2020山东济南历城高一下月考,)判断下列各对事件是不是互斥事件,若是互斥事件,再判断是不是对立事件,并说明理由.
某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,其中:
(1)“恰有1名男生”和“恰有2名男生”;
(2)“至少有1名男生”和“至少有1名女生”;
(3)“至少有1名男生”和“全是男生”;
(4)“至少有1名男生”和“全是女生”.
题组二 事件的运算及其应用
7.(多选)()设A,B是两个任意事件,下面关系正确的是( )
A.A+B=A
B.A+AB=A
C. ?A
D.A(A+B)=A
8.()小红上学要经过三个十字路口,每个路口遇到红、绿灯的可能性都相等(不考虑黄灯).事件A表示“第二个路口是红灯”,事件B表示“第三个路口是红灯”,事件C表示“至少遇到两个绿灯”,则A∩B包含的样本点有 个,事件A∩B与C的关系是 .?
9.()同时掷两枚骰子,两枚骰子的点数之和是2,3,4,…,11,12中的一个.记事件A为“点数之和是2,4,7,12”,事件B为“点数之和是2,4,6,8,10,12”,事件C为“点数之和大于8”,则事件“点数之和为2或4”可记为 .?
10.()从某大学数学系图书室中任选一本书.设A={数学书},B={中文版的书},C={2000年后出版的书}.问:
(1)A∩B∩表示什么事件?
(2)在什么条件下有A∩B∩C=A?
(3)?B表示什么意思?
(4)如果=B,那么是否意味着图书室中的所有的数学书都不是中文版的?
11.()某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅,记A为“只订甲报”,B为“只订乙报”,C为“至少订一种报纸”,D为“至多订一种报纸”,E为“一种报纸也没订”,F为“两种报纸都订”.根据上述事件回答下列问题:
(1)请列举出包含关系的事件;
(2)用和事件的定义判断上述事件中哪些是和事件;
(3)从上述事件中找出几对互斥事件和对立事件.
答案全解全析
基础过关练
1.B 因为事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不能同时发生,所以它们是互斥事件.又因为事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不包含所有的可能事件,所以它们不是对立事件.所以它们是互斥但不对立事件,故选B.
2.C 选项A,“至少有一个黑球”包含“都是黑球”,不是互斥事件;选项B,“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”包含1个共同事件:一个红球与一个黑球,所以不是互斥事件;选项C,“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”是互斥而不对立事件;选项D,“至少有一个黑球”与“都是红球”等价于“至少有一个黑球”与“没有黑球”,两者为对立事件.故选C.
3.B ①中还有可能出现一次正面,一次反面的情况,所以事件A和事件B不是对立事件,①错误;②中,事件A和事件B不能同时发生,是互斥事件,所以②正确;③中,事件A和事件B包含1个共同事件:2件次品,1件正品,所以事件A与事件B不是互斥事件,③错误.
方法技巧
互斥事件的判断:
1.依据互斥事件的概念判断.若事件A与事件B不可能同时发生,则A,B互斥.
2.确定每个事件包含的结果,判断是否有一个结果发生会使两事件都发生,若是,则不互斥,否则互斥.
3.借助集合判断.将事件表示成相应的集合,判断它们是否有公共元素,若有,则不互斥,否则互斥.
4.答案 ?;?;?;=
解析 因为出现的点数小于5包含出现1点,出现2点,出现3点,出现4点四种情况,所以事件B发生时,事件H必然发生,故B?H;同理D?J,E?I;易知事件A与事件G相等,即A=G.
奇思妙想
可以借助集合解决事件的关系问题.如本题中,A={1},B={2},D={4},E={5},G={1},H={1,2,3,4},I={1,3,5},J={2,4,6},进而利用集合间的关系判断事件的关系.
5.解析 (1)不是互斥事件,也不是对立事件.
理由:事件A“命中的环数大于7”包含事件B“命中的环数为10”,当一次射击命中10环时,二者能够同时发生.
(2)是互斥事件,但不是对立事件.
理由:事件A“命中的环数大于7”与事件C“命中的环数小于6”不可能同时发生,但A∪C={1,2,3,4,5,8,9,10}≠I(I为全集).
(3)是互斥事件,也是对立事件.
理由:事件C“命中的环数小于6”与事件D“命中的环数为6,7,8,9,10”不可能同时发生,且C∪D={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}=I(I为全集).
6.C 根据事件之间的关系,知E?G,F?G,事件E,F之间不具有包含关系,故排除A,B;因为事件E与事件F不会同时发生,所以E∩F=?,故排除D;事件G发生当且仅当事件E发生或事件F发生,所以E∪F=G.
7.ABC “至少有一弹击中飞机”包括“恰有一弹击中飞机”和“两弹都击中飞机”,
∴A?D,且A∪C=D,故A、C正确;
由题意知,事件B和D为互斥事件,
∴B∩D=?,B正确;
A∪B={两弹都击中飞机或两弹都没击中飞机},不是必然事件,而B∪D={两弹都没击中飞机或至少有一弹击中飞机},是必然事件,∴A∪B≠B∪D,D错误.
8.A 事件A∪B:至少有一件次品,即事件C,所以①正确;事件D∪B:至少有两件次品或至多有一件次品,包括了所有情况,所以②正确;事件A∩B=?,所以③不正确;事件A∩D:恰有一件次品,即事件A,所以④不正确.
9.答案 2,4,5,6
解析 该试验的样本空间Ω={1,2,3,4,5,6},根据题意,A={2,4},B={1,2,3,4},
所以={5,6},A∪={2,4,5,6}.
10.答案 A+B;
解析 依题意有,事件A={甲获胜},B={两人下成和棋},则事件“甲不输”为“甲获胜”或“两人下成和棋”,表示为A+B,事件“乙获胜”为“甲不输”的对立事件,即.
11.解析 在投掷骰子的试验中,根据向上出现的点数,有6个基本事件,记Ai={出现i点}(其中i=1,2,…,6),则A=A1,B=A3∪A4,C=A1∪A3∪A5,D=A2∪A4∪A6.
(1)事件A与事件B互斥,但不对立;事件A包含于事件C;事件A与事件D互斥,但不对立;事件B与事件C不是互斥事件;事件B与事件D不是互斥事件;事件C与事件D是对立事件.
(2)A∩B=?,
A∪B=A1∪A3∪A4={出现1点或3点或4点},
A∪D=A1∪A2∪A4∪A6={出现1点或2点或4点或6点}.
B∩D=A4={出现4点}.
B∪C=
A1∪A3∪A4∪A5={出现1点或3点或4点或5点}.
能力提升练
1.B 设“从一批产品中取出三件产品,取到i件次品”为事件Ai(i=0,1,2,3),则A=A0,B=A3,C=A0∪A1∪A2,因此A,C不互斥,B,C互斥,故选B.
2.B 用集合中的Venn图表示出事件A,B与必然事件I,易知∪是必然事件.
3.ABD 6张卡片中一次任意取出2张卡片的所有情况有:“2张都为红色”“2张都为绿色”“2张都为蓝色”“1张为红色,1张为绿色”“1张为红色,1张为蓝色”“1张为绿色,1张为蓝色”.选项中给出的四个事件中,与“2张卡片都为红色”互斥而不对立的是“2张卡片都不是红色”“2张卡片恰有一张是红色”“2张卡片都为绿色”,“2张卡片至少有一张是红色”包含事件“2张卡片都为红色”,因此二者不互斥.故选ABD.
4.答案 ③
解析 同时抛掷两枚骰子,
“都不是5点且都不是6点”的对立事件是“至少有一个是5点或6点”.
5.答案 ①②④
解析 试验的样本空间Ω={1,2,3,4,5,6},根据题意,A={4,5,6},B={1,2},C={1,2,3,4},D={4,5,6}.
因为A∩B=?,A∪B={1,2,4,5,6}≠Ω,所以A与B是互斥事件,但不是对立事件,①正确;
因为B={1,2},C={1,2,3,4},所以B?C,②正确;
因为A∩C={4},所以A与C不是互斥事件,③错误;
因为A={4,5,6},D={4,5,6},所以A=D,④正确.故填①②④.
6.解析 (1)是互斥事件,不是对立事件.
理由:在所选的2名同学中,“恰有1名男生”的实质是“1名男生、1名女生”,它与“恰有2名男生”不可能同时发生,所以是一对互斥事件,但其并事件不是必然事件,所以不是对立事件.
(2)不是互斥事件.
理由:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果,“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果,它们可能同时发生,所以不是互斥事件.
(3)不是互斥事件.
理由:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”,这与“全是男生”可能同时发生,所以不是互斥事件.
(4)既是互斥事件,又是对立事件.
理由:“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果,它与“全是女生”不可能同时发生,且其并事件是必然事件,所以它们既是互斥事件,又是对立事件.
7.BD 若A+B=A,则B?A,故A错误;∵AB?A,∴A+AB=A,故B正确;∵当事件A、B都不发生时, 发生,∴ 不是A的子集,C错误;∵A?(A+B),∴A(A+B)=A,D正确.故选BD.
8.答案 2;互斥但不对立
解析 根据题意,画出如图所示的树状图.
由图可得,A∩B={红红红,绿红红},包含2个样本点,C={红绿绿,绿红绿,绿绿红,绿绿绿},(A∩B)∩C=?,故事件A∩B与C互斥,又(A∩B)∪C≠Ω,故事件A∩B与C的关系是互斥但不对立.
9.答案 A∩B∩
解析 ∵事件A={2,4,7,12},事件B={2,4,6,8,10,12},∴A∩B={2,4,12}.
又C={9,10,11,12},
∴A∩B∩={2,4}.
10.解析 (1)A∩B∩={2000年或2000年前出版的中文版的数学书}.
(2)在“图书室中所有数学书都是2000年后出版的且为中文版”的条件下才有A∩B∩C=A.
(3)?B表示2000年或2000年前出版的书全是中文版的.
(4)是.=B意味着图书室中的非数学书都是中文版的,而且所有的中文版的书都不是数学书.=B又可等价成=A,因而也可解释为图书室中所有数学书都不是中文版的,而且所有外文版的书都是数学书.
11.解析 (1)由题意可知,A发生,C一定发生,即A?C.同理,B?C,F?C,A?D,B?D,E?D.
(2)由题意及事件的相互关系可知,C=A∪B∪F或C=A+B+F,D=A∪B∪E或D=A+B+E,全集Ω=A∪F∪B∪E或Ω=A+F+B+E.
(3)由互斥事件及对立事件的定义知,互斥事件有A和B,A和E,A和F,B和E,B和F,E和F,D和F,C和E;对立事件有C和E,D和F.
