10.3 频率与概率
10.3.1 频率的稳定性
10.3.2 随机模拟
基础过关练
题组一 频率与概率的意义
1.下列说法中正确的是( )
A.任何事件发生的概率总是在区间(0,1)内
B.频率是客观存在的,与试验次数无关
C.随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率
D.概率是随机的,在试验前不能确定
2.某人将一枚均匀的正方体骰子连续抛掷了100次,出现6点的次数为19,则( )
A.出现6点的概率为0.19
B.出现6点的频率为0.19
C.出现6点的频率为19
D.出现6点的概率接近0.19
3.抛掷一枚质地均匀的硬币,如果连续抛掷1
000次,那么第999次出现正面朝上的概率是( )
A.
B.
C.
D.
4.(2019江苏无锡高一期末)某种彩票中奖的概率为,则下列说法正确的是( )
A.买10
000张彩票一定能中奖
B.买10
000张彩票只能中奖1次
C.若买9
999张彩票未中奖,则第10
000张必中奖
D.买一张彩票中奖的可能性是
题组二 用频率估计概率
5.从存放号码分别为1,2,…,10的卡片的盒子中有放回地取100次,每次取一张卡片并记下号码,统计结果如下:
卡片号码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
取到的次数
10
11
8
8
6
10
18
9
11
9
则取到的号码为奇数的概率估计值是( )
A.0.53
B.0.5
C.0.47
D.0.37
6.从某自动包装机包装的白糖中随机抽取20袋,测得各袋的质量如下(单位:g):
492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499
用频率估计概率,该自动包装机包装的白糖质量在497.5~501.5
g之间的概率约为( )
A.0.16
B.0.25
C.0.26
D.0.24
7.假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上的销售量相等,为了解它们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试,统计结果如图所示:
(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率;
(2)这两种品牌产品中,某个产品已使用了200小时,试估计该产品是甲品牌的概率.
题组三 用随机模拟方法估计概率
8.用随机模拟方法估计概率时,其准确程度取决于( )
A.产生的随机数的大小
B.产生的随机数的个数
C.随机数对应的结果
D.产生随机数的方法
9.掷两枚均匀的骰子,用随机模拟方法估计出现点数之和为9的概率时,产生的整数随机数中,每 个数字为一组( )?
A.1
B.2
C.9
D.12
10.在利用整数随机数进行随机模拟试验中,整数a到整数b之间(包括a,b,且a?
11.一个盒中装有10支圆珠笔,其中7支一级品,3支二级品,任取一支,用随机模拟的方法求取到一级品的概率.
12.一个袋中有7个大小、形状相同的小球,其中6个白球,1个红球,现任取1个,若为红球就停止,若为白球就放回,搅拌均匀后再接着取,试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率.
能力提升练
题组一 用频率估计概率
1.(2019广东深圳中学高二下期中,)港珠澳大桥于2018年10月24日正式通车,它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程,桥隧全长55千米,桥面为双向六车道高速公路,大桥通行限速100
km/h.
现对大桥某路段上汽车行驶速度进行抽样调查,画出频率分布直方图(如图).根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度超过90
km/h的概率分别为( )
A.85,0.25
B.90,0.35
C.87.5,0.25
D.87.5,0.35
2.()在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候,给出两个问题作答,无关紧要的问题是:“你的电话号码的尾数是奇数吗?”敏感的问题是:“你是否服用过兴奋剂?”然后要求被调查的运动员掷一枚均匀的硬币,如果出现正面,就回答第一个问题,否则回答第二个问题.被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题,只需回答“是”或“否”,由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道,所以应答者一般乐意如实地回答问题.用这种方法调查了300名运动员,得到80个“是”的回答,则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为( )
A.4.33%
B.3.33%
C.3.44%
D.4.44%
3.()某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
(1)记A为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值;
(2)记B为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”,求P(B)的估计值;
(3)求续保人本年度平均保费的估计值.
题组二 随机模拟方法的应用
4.(2020山东济南历城二中高一下月考,)为了配合新冠疫情防控,某市组织了以“停课不停学,成长不停歇”为主题的“空中课堂”教学活动,为了了解一周内学生的线上学习情况,从该市抽取了1
000名学生进行调查,根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图.
(1)为了估计从该市任意抽取的3名同学中恰有2人线上学习时间在[200,300)的概率P,特设计如下随机模拟试验:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,依次用0,1,2,3,…,9的前若干个数字表示线上学习时间在[200,300)内,剩余的数字表示线上学习时间不在[200,300)内;再以每三个随机数为一组,代表线上学习的情况.
假设用上述随机模拟方法产生了如下30组随机数,请根据这批随机数估计概率P;
907 966 191 925 271 569 812 458 932 683 431 257 393 027 556 438 873 730 113 669 206 232 433 474 537 679 138 598 602 231
(2)为了进一步进行调查,用比例分配的分层随机抽样方法从这1
000名学生中抽取20名学生,在抽取的20人中,再从线上学习时间在[350,450)的同学中任意选择2名,求这2名同学来自同一组的概率.
答案全解全析
基础过关练
1.C 必然事件发生的概率为1,不可能事件发生的概率为0,所以任何事件发生的概率总在区间[0,1]内,故A中说法错误;B,D混淆了频率与概率的概念.故选C.
2.B 根据已知条件只能得到这100次随机试验中出现6点的频率为=0.19.
3.D 抛掷一枚质地均匀的硬币,每次都只出现两种结果:正面朝上,反面朝上,每种结果出现的可能性相等,故所求概率为.
4.D 彩票中奖的概率为是指买一张彩票中奖的可能性为,D正确;
买10
000张这种彩票中奖为随机事件,即买10
000张彩票,可能有一张中奖,可能有多张中奖,也可能不中奖,故A,B错误;
若买9
999张彩票未中奖,则第10
000张彩票中奖的概率依然是,不是买10
000张彩票一定能中奖,C错误.故选D.
5.A 由题表得,取到的号码为奇数的频率是=0.53,所以取到的号码为奇数的概率的估计值为0.53.
6.B 样本中白糖质量在497.5~501.5
g之间的有5袋,所以该自动包装机包装的白糖质量在497.5~501.5
g之间的频率为=0.25,则概率约为0.25.
7.解析 (1)由题图得,甲品牌产品寿命小于200小时的频率为=,用频率估计概率,所以甲品牌产品寿命小于200小时的概率为.
(2)由题图得,甲、乙两品牌产品寿命大于200小时的共有75+70=145(个),其中甲品牌产品有75个,所以在样本中,寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是=,用频率估计概率,所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为.
8.B 随机数数量越多,概率越接近实际数.
9.B 由于掷两枚均匀的骰子,所以产生的整数随机数中,每2个数字为一组.
10.答案
解析 [a,b]中共有b-a+1个整数,每个整数出现的可能性相等,所以每个整数出现的可能性是.
11.解析 设事件A=“取到一级品”,
①用计算机的随机函数RANDBETWEEN(1,10)或计算器产生1到10之间的整数随机数,用1,2,3,4,5,6,7表示取到一级品,8,9,10表示取到二级品;
②每一个数作为一组,产生N组随机数;
③统计其中出现1至7之间数的次数N1;
④计算频率fn(A)=,即为事件A发生的概率的近似值.
12.解析 本题答案不唯一.用1,2,3,4,5,6表示白球,7表示红球,利用计算器或计算机产生1到7之间(包括1和7)取整数值的随机数.因为要求恰好第三次摸到红球的概率,所以每三个随机数作为一组.
例如,产生20组随机数:
666 743 671 464 571 561 156
567 732 375 716 116 614 445
117 573 552 274 114 662
相当于做了20次试验,在这些数组中,前两个数字不是7,第三个数字恰好是7就表示第一次、第二次摸到的是白球,第三次摸到的是红球,它们分别是567和117,共两组,因此恰好第三次摸到红球的概率约为=0.1.
能力提升练
1.D 由题中直方图知,众数为=87.5,用频率估计概率得,行驶速度超过90
km/h的概率为0.05×5+0.02×5=0.35,故选D.
2.B 因为掷一枚硬币出现正面向上的概率为,所以大约有150人回答第一个问题,又电话号码的尾数是奇数的概率为,所以在回答第一个问题的150人中大约有75人回答了“是”,所以另外5个回答“是”的人服用过兴奋剂.因此我们估计这群人中大约有×100%≈3.33%的人服用过兴奋剂.
3.解析 (1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.
由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为=0.55,故P(A)的估计值为0.55.
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.
由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为=0.3,
故P(B)的估计值为0.3.
(3)由所给数据得下表:
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
频率
0.30
0.25
0.15
0.15
0.10
0.05
调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192
5a(元).
因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192
5a元.
4.解析 (1)由频率分布直方图可知,线上学习时间在[200,300)的频率为(0.002+0.006)×50=0.4,所以可以用数字0,1,2,3表示线上学习时间在[200,300)内,数字4,5,6,7,8,9表示线上学习时间不在[200,300)内.观察题中随机数组可得,3名同学中恰有2人线上学习时间在[200,300)的有191,271,812,932,431,393,027,730,206,433,138,602,共12个.用频率估计概率可得,该市3名同学中恰有2人线上学习时间在[200,300)的概率P==0.4.
(2)抽取的20人中,线上学习时间在[350,450)的同学有20×(0.003+0.002)×50=5人,其中线上学习时间在[350,400)的同学有3名,设为A,B,C,线上学习时间在[400,450)的同学有2名,设为a,b,用(x,y)表示样本空间中的样本点,则从5名同学中任取2名的样本空间Ω={(A,B),(A,C),(A,a),(A,b),(B,C),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(a,b)},共10个样本点,用M表示“2名同学来自同一组”这一事件,则M={(A,B),(A,C),(B,C),(a,b)},共4个样本点,所以P(M)==0.4.(共37张PPT)
第十章
概率
10.3 频率与概率
10.3.1 频率的稳定性
10.3.2 随机模拟
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性.(数学抽象)
2．理解概率的意义，利用概率知识正确求解现实生活中的实际问题.(数学运算)
3．理解概率的意义及频率与概率的区别.(逻辑推理)
4．能够利用古典概型或蒙特卡洛法进行求解.(数据分析)
1．体会试验次数对频率的影响，感受频率的随机性.
2．感受随着次数增加频率趋于稳定的特点.
3．把握频率估计概率的特征.
必备知识·探新知
1．频率的稳定性
大量的试验证明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有_________.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会_______，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的_________.因此我们可以用频率fn(A)估计___________.
知识点
频率的稳定性与随机模拟
随机性
缩小
稳定性
概率P(A)
2．随机数的产生
(1)标号：把n个_____________相同的小球分别标上1,2,3，…，n.
(2)搅拌：放入一个袋中，把它们___________.
(3)摸取：从中摸出_______.
这个球上的数就称为从1～n之间的随机整数，简称随机数.
大小、形状
充分搅拌
一个
3．伪随机数的产生
(1)规则：依照确定的算法.
(2)特点：具有周期性(周期很长).
(3)性质：它们具有类似_________的性质.
计算机或计算器产生的随机数并不是真正的随机数，我们称为___________.
4．产生随机数的常用方法
①_______________；②_______________；③_________.
随机数
伪随机数
用计算器产生
用计算机产生
抽签法
5．随机模拟方法(蒙特卡洛方法)
利用计算机或计算器产生的随机数来做模拟试验，通过模拟试验得到的_______来估计_______，这种用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡洛方法.
频率
概率
[知识解读] 1．频率与概率的关系
概率可以通过频率来“测量”或者说频率是概率的一个近似，概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小.
说明：(1)频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同.而概率是一个确定的常数，是客观存在的，与每次试验无关.
(2)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率.
2．用随机模拟法估计概率
(1)随机模拟法估计概率的思想
随机模拟法是通过将一次试验所有可能发生的结果数字化，用计算机或计算器产生的随机数来替代每次试验的结果.其基本思想是，用产生整数值的随机数的频率估计事件发生的概率.
(2)随机模拟法的优点
不需要对试验进行具体操作，是一种简单、实用的科研方法，可以广泛地应用到生产生活的各个领域中去.
(3)随机模拟法的步骤
①建立概率模型；
②进行模拟试验(可用计算器或计算机进行)；
③统计试验结果.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一
频率与概率的关系
典例
1
④频率是不能脱离n次随机试验的试验值，而概率是脱离随机试验的客观值；
⑤概率是频率的稳定值.
A．①④⑤
B．①②
C．②③
D．②③⑤
[答案]
A
[解析] 根据频率与概率的定义，可知①正确；概率不是频率，而②中所给的是事件A发生的频率，因此②错误；概率是一个数值，可以是百分数也可以是小数，因此③错误；根据概率的定义可知，概率是一个客观值，频率是一个试验值，因此④正确，⑤正确.故选A．
[归纳提升] (1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率.
(2)频率本身是随机的，在试验前不能确定.
(3)概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关.
D
[解析] A错误，概率小不代表一定不发生；B错误，概率不等同于频率；C错误，概率是预测，不必然出现；D正确，随机事件发生的概率是多次试验的稳定值，与试验次数无关.
某公司在过去几年内使用某种型号的灯管共1
000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如表所示：
(1)将各组的频率填入表中；
(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1
500小时的概率.
题型二
用随机事件的频率估计其概率
典例
2
分组
频数
频率
[700,900)
48
?
[900,1
100)
121
?
[1
100,1
300)
208
?
[1
300,1
500)
223
?
[1
500,1
700)
193
?
[1
700,1
900)
165
?
[1
900，＋∞)
42
?
[解析] (1)利用频率的定义可得：[700,900)的频率是0.048；[900,1
100)的频率是0.121；[1
100,1
300)的频率是0.208；[1
300,1
500)的频率是0.223；[1
500,1
700)的频率是0.193；[1
700,1
900)的频率是0.165；[1
900，＋∞)的频率是0.042．
所以频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193，0.165，0.042．
(2)样本中使用寿命不足1
500小时的灯管的频率是
0.048＋0.121＋0.208＋0.223＝0.6，
所以估计灯管使用寿命不足1
500小时的概率是0.6．
[归纳提升] 由于概率体现了随机事件发生的可能性，所以在现实生活中我们可以根据随机事件概率的大小去预测事件能否发生.从而对某些事情作出决策.当某随机事件的概率未知时，可用样本出现的频率去近似估计总体中该事件发生的概率.
【对点练习】? 假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如图所示：
(1)估计甲品牌产品寿命小于200
h的概率；
(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200
h，试估计该产品是甲品牌的概率.
一份测试题包括6道选择题，每题4个选项且只有一个选项是正确的，如果一个学生对每一道题都随机猜一个答案，用随机模拟方法估计该学生至少答对3道题的概率.(已知计算机或计算器做模拟试验可以模拟每次猜对的概率是25%)
题型三
简单的随机模拟试验的应用
典例
3
[解析] 我们通过设计模拟试验的方法来解决问题，利用计算机或计算器可以产生0到3之间取整数值的随机数，我们用0表示猜的选项正确，1,2,3表示猜的选项错误，这样可以体现猜对的概率是25%，因为共猜6道题，所以每6个随机数作为一组，例如，产生25组随机数：
330130 302220 133020 022011 313121
222330 231022 001003 213322 030032
100211 022210 231330 321202 031210
232111 210010 212020 230331 112000
102330 200313 303321 012033 321230
[归纳提升] 用随机数模拟法求事件概率的方法
在使用整数随机数模拟试验时，首先要确定随机数的范围和用哪个代表试验结果.
(1)试验的基本结果是等可能时，样本点的总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个样本点.
(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数.
【对点练习】? 一个袋中有7个大小、形状相同的小球，6个白球，1个红球，现任取1个，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取，试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率.
[解析] 用1,2,3,4,5,6表示白球，7表示红球，利用计算器或计算机产生1到7之间(包括1和7)取整数值的随机数.因为要求恰好第三次摸到红球的概率，所以每三个随机数作为一组.如下，产生20组随机数：
666 743 671 464 571 561 156 567 732 375
716 116 614 445 117 573 552 274 114 662
某同学掷一枚质地均匀的硬币10次，共有8次反面向上，于是他指出：“掷一枚质地均匀的硬币，出现反面向上的概率应为0.8”.你认为他的结论正确吗？为什么？
易错警示
典例
4
对频率与概率的关系理解不清
[错因分析] 得出概率为0.8，显然是对概率的统计性定义的曲解.事实上，概率定义中用频率的近似值刻画概率，要求试验次数足够多.
[正解] 不正确.因为概率是事物的本质属性，不随试验次数的改变而改变，用频率的近似值刻画概率时，要求试验次数足够多.
[误区警示] 随着试验次数的增加，随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，用这个常数来刻画该随机事件发生的可能性大小，即称为这一事件发生的概率的近似值，而概率是一个确定的常数，与试验的次数无关.
D
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
