2020-2021学年北师大版八年级下册数学 1.1等腰三角形 同步练习（Word版 含答案）

1.1等腰三角形 同步练习
一．选择题
1．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝2．则AB的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，那么这个等腰三角形的底角为（　　）
A．22.5° B．67.5°
C．67° 50' D．22.5°或67.5°
3．如图，BE⊥AC于点D，且AB＝BC，BD＝ED，若∠ABC＝54°，则∠E＝（　　）
A．27° B．36° C．40° D．54°
4．如图，AB＝AC，CD＝CE．过点C的直线FG与DE平行，若∠A＝38°，则∠1为（　　）
A．42° B．54.5° C．58° D．62.5°
5．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，点D在边AB上，且BD＝BC，连结CD，则∠ACD的大小为（　　）
A．30° B．25° C．15° D．10°
6．如图，已知OA＝OB＝OC，BC∥AO，若∠A＝36°，则∠B等于（　　）
A．54° B．60° C．72° D．76°
7．已知等腰三角形两边分别是10cm和5cm，那么它的周长是（　　）
A．15cm B．20cm C．25cm D．20cm或25cm
8．如图，已知∠ACB＝60°，PC＝12，点M，N在边CB上，PM＝PN．若MN＝3，则CM的长为（　　）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
9．下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（　　）
A．a＝3，b＝3，c＝4 B．a：b：c＝2：3：4
C．∠B＝50°，∠C＝80° D．∠A：∠B：∠C＝1：1：2
10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB、AC于点D、E．若AB＝5，AC＝4，则△ADE的周长是（　　）
A．9 B．10 C．12 D．14
二．填空题
11．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BD⊥AC，垂足为D．若AB＝6，则BD的长为　 　．
12．如图，在△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝105°，则∠B＝　 　°．
13．如图，已知△ABC的角平分线CD交AB于D，DE∥BC交AC于E，若DE＝4，AC＝7，则AE＝　 　．
14．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D，E分别是线段BC、AC上的一点，且AD＝AE．用等式表示∠1和∠2之间的数量关系是　 　．
15．如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝9cm，DE＝4cm，求CE的长为　 　cm．
三．解答题
16．如图，AB∥CD，点E是线段AC上一点，且AB＝AE，CD＝CE．求∠BED的大小．
17．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D、E分别是AC、AB上两点，且AD＝AE．CE、BD交于点O．
（1）求证：OB＝OC；
（2）连接ED，若ED＝EB，试说明BD平分∠ABC．
18．在等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝8，∠BAC＝90°，AD是∠BAC的平分线，交BC于D，AD＝4，点E是AB的中点，连接DE．
（1）求∠B的度数；
（2）求三角形BDE的面积．
参考答案
一．选择题
1．解：∵∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，
∵AC＝2，
∴AB＝2AC＝4．
故选：D．
2．解：有两种情况；
（1）如图1，当△ABC是锐角三角形时，BD⊥AC于D，
则∠ADB＝90°，
已知∠ABD＝45°，
∴∠A＝90°﹣45°＝45°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝×（180°﹣45°）＝67.5°，
（2）如图2，当△EFG是钝角三角形时，FH⊥EG于H，则∠FHE＝90°，
∵∠HFE＝45°，
∴∠HEF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠FEG＝180°﹣45°＝135°，
∵EF＝EG，
∴∠EFG＝∠G，
＝×（180°﹣135°），
＝22.5°．
故选：D．
3．解：∵AB＝BC，BE⊥AC，∠ABC＝54°，
∴∠CBD＝∠ABD＝∠ABC＝27°，
∵BE⊥AC，BD＝ED，
∴AC是BE的垂直平分线，
∴CB＝CE，
∴∠E＝∠CBD＝27°．
故选：A．
4．解：∵AB＝AC，∠A＝38°，
∴∠B＝∠ACB＝，
∵CD＝CE，
∴∠CED＝∠CDE＝，
∵DE∥FG，
∴∠1＝∠CED＝54.5°，
故选：B．
5．解：在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∵BD＝BC，
∴∠BCD＝（180°﹣60°）÷2＝60°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝75°﹣60°＝15°．
故选：C．
6．解：∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A＝36°，
∵BC∥AO，
∴∠BCA＝∠A＝36°，
∴∠BCO＝72°，
∵OB＝OC，
∴∠B＝72°．
故选：C．
7．解：当腰为5cm时，5+5＝10，不能构成三角形，因此这种情况不成立．
当腰为10cm时，10﹣5＜10＜10+5，能构成三角形；
此时等腰三角形的周长为10+10+5＝25cm．
故选：C．
8．解：过点P作PD⊥CB于点D，
∵∠ACB＝60°，PD⊥CB，PC＝12，
∴DC＝6，
∵PM＝PN，MN＝3，PD⊥OB，
∴MD＝ND＝1.5，
∴CM＝6﹣1.5＝4.5．
故选：D．
9．解：A、∵a＝3，b＝3，c＝4，
∴a＝b，
∴△ABC是等腰三角形；
B、∵a：b：c＝2：3：4
∴a≠b≠c，
∴△ABC不是等腰三角形；
C、∵∠B＝50°，∠C＝80°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝50°，
∴∠A＝∠B，
∴AC＝BC，
∴△ABC是等腰三角形；
D、∵∠A：∠B：∠C＝1：1：2，
∵∠A＝∠B，
∴AC＝BC，
∴△ABC是等腰三角形．
故选：B．
10．解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠BCF，
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，∠BCF＝∠EFC，
∴∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，
∴DB＝DF，EF＝EC，
∴△ADE的周长＝AD+DE+AE
＝AD+DF+EF+AE
＝AD+BD+EC+AE
＝AB+AC
＝5+4
＝9．
故选：A．
二．填空题
11．解：在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣60°＝30°，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝6，
∴BD＝AB＝，
故答案为：3．
12．解：∵AC＝AD＝DB，
∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C，
设∠ADC＝α，
∴∠B＝∠BAD＝，
∵∠BAC＝105°，
∴∠DAC＝105°﹣，
在△ADC中，
∵∠ADC+∠C+∠DAC＝180°，
∴2α+105°﹣＝180°，
解得：α＝50°，
∴∠B＝∠BAD＝＝25°，
故答案为：25．
13．解：∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB＝∠DCA，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD，
∴∠ACD＝∠EDC，
∴DE＝EC＝4，
∴AE＝AC﹣EC＝7﹣4＝3，
故答案为：3．
14．解：根据三角形外角的性质得：∠AED＝∠CDE+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B+∠BAD＝∠EDC+∠C+∠CDE，
即∠BAD＝2∠CDE，∠1＝2∠2．
故答案为：∠1＝2∠2．
15．证明：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACG，
∴∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，
∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，
∴BD＝FD，EF＝CE，
∴△BDF和△CEF为等腰三角形；
∵DF＝BD，CE＝EF，
∴BD﹣CE＝FD﹣EF＝DE，
∴EF＝DF﹣DE＝BD﹣DE＝9﹣4＝5（cm），
∴EC＝5（cm），
故答案为：5．
三．解答题
16．解：∵AB＝AE，CD＝CE，
∴∠AEB＝∠B，∠CED＝∠D，
∵AB∥CD，
∴∠A+∠C＝180°，
∵（∠A+∠B+∠AEB）+（∠C+∠D+∠CED）＝180°+180°＝360°，
∴2∠AEB+2∠CED+（∠A+∠C）＝360°，
∴2（∠AEB+∠CED）＝180°，
∴∠AEB+∠CED＝90°，
∴∠BED＝180°﹣（∠AEB+∠CED）＝90°．
17．证明：（1）∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ACB﹣∠ACE，即∠DBC＝∠ECB，
∴OB＝OC；
（2）如图，连接ED，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
又∵∠A+∠AED+∠ADE＝∠A+∠ABC+∠ACB，
∴∠AED＝∠ABC，
∴ED∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∵ED＝EB，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴∠EBD＝∠DBC，
∴BD平分∠ABC．
18．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝45°；
（2）∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，
∵点E是AB的中点，
∴S△AED＝S△BED＝S△ABD＝×AD?BD＝××4×4＝4．