2020年河北省中考——外心、内心备考专题学案

2020年河北省中考外心、内心备考
2016年的第9题就是由2010年的第6题改编而来。
2018年的第15题和2019年的第23题都考的内心，都源自课本。
外心：三角形外接圆的圆心（三角形三边的垂直平分线的交点）。圆和三角形的位置关系是圆在三角形的外部，所以叫外接圆的圆心，简称外心。
外心的特点：锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边中点，钝角三角形的外心在三角形外部，并且在最大的角所对的方向。
现在分析河北省近几年外心考点。
2010年是河北省第一考外心，虽然没有出现外心这个词，但是连接A、B、C三点，形成△ABC,
△ABC是钝角三角形，找三角形的外心，找任意两个边的垂直平分线的交点即可。首先画出AB边的垂直平分线，可以确实外心为Q点或M点，再画出BC的垂直平分线，交点为Q.
20106．如图3，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，
那么这条圆弧所在圆的圆心是(
)A．点P
B．点Q
C．点R
D．点M
分析：这是河北省刚开始考尺规作图时设计的此题，考到了线段垂直平分线的画法，钝角三角形的外心。
20156.如图3，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是(
)
A.△ABE
B.△ACF
C.△ABD
D.△ADE
此题设计出了锐角、直角、钝角三角形的外心的位置考点，同学们要总结一下。
20169.图示为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是（
）
A．△ACD的外心
B．△ABC的外心
C．△ACD的内心
D．△ABC的内心
此题考到了钝角三角形的外心在三角形的外部。
选项A,
△ACD是直角三角形，外心在斜边的中点；
选项B,△ABC是钝角三角形，外心在三角形的外部，在任意两边的垂直平分线上，作出AC的垂直平分线，和BC的垂直平分线可，如下图
选项C．△ACD的内心我们也要在图中用尺规画出来，既然出现了内心，就显示出明年可以考内心这个考点。
选项D．△ABC的内心也要在图中用尺规画出来。
注意：内心是三角形三条角一部分线的交点，三角形内切圆的圆心。如下图
同学们做完此题后，把这个题和2010年的做个对比。
201723.如图，，为中点，点在线段上(不与点，重合)，将绕点逆时针旋转后得到扇形，，分别切优弧于点，，且点，在异侧，连接．
(1)求证：；
(2)当时，求的长(结果保留)；
(3)若的外心在扇形的内部，求的取值范围．
分析：(1)求证：；
观察和△,可用全等，三角函数和勾股定理解决，同学们可以思考一
下这几个方法。
(2)当时，求的长(结果保留)；
考点：三角函数，OB=8,
,∠Q是直角，
∴
∴OQ=4∴∠B=30°
∠BOQ=60°
∴所对的圆心角为210°
∴
(3)若的外心在扇形的内部，求的取值范围．
锐角三角形的外心在三角形的内部。
思考：当OC=8时，点P与点A重合，不存在。此处应用心思考，2019年考内心时就涉及到了两点重合时产情况。所以，动点问题，我们一定要化动为静，先找到起点、终点、及中间的特殊点。思考时，不要漏。
201823
如图13，∠A=∠B=50°，P为AB中点，点M为射线AC上（不与点A重合）的任意一点，连接MP，并使MP的延长线交射线BD于点N，设∠BPN=α.
（1）求证：△APM?△BPN；
（2）当MN=2BN时，求α的度数；
（3）若△BPN的外心在该三角形的内部，直接写出α的取值范围.
解：(1)
∵点P为AB的中点，∴
AP=BP.
在△APM和△BPN中，
∴△APM和△BPN(ASA)
(2)由(1)，得△APM和△BPN，∴PM=PN.∴2PN=MN.
又∵MN=2BN,
∴PN=BN.
∴.
(3)
.
【提示：外心所在的位置与三角形的形状有关，锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边中点处，钝角三角形的外心在三角形的外部。只需求出△BPN为锐角三角形时，的取值范围。】
201815内心
内心是三角形三条角一部分线的交点，三角形内切圆的圆心。如下图
下面这个题源自课本（人教版八上）
如图点I为△ABC的内心，AB=4,AC=3,BC=2,将∠ACB平移使共顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（
）
A.4.5
B.4
C.3
D.2
三角形的内心是任意两条角平分线的交点，平移产生平行。
角平分线+平行，产生等腰三角形。
2019年第10题，用尺规作图作出三角形的外心，符合物极必反的规律。三角形的外心连续考了好几年了，锐角三角形、钝角三角形、直角三角形都考过了。很多朋友设计了好多高难度的外心的题，进行中考前模拟训练。也有一些学生问过我这样的题，我给学生讲之前，都说，不建议做这个题，外心2019年有可以不考了，可能考内心，即使考外心的话，也不会这么大难度，把前几年的题会了就行了。中考试题一公布，发现考了一个极简单而基础的尺规作图作出三角形的外心的题。这是符合中考出题的心理的，中考对于平时教学的导向性而强，对于一个考点考的过多，过难，会对下一年老师们的教学备考产生很大影响。
201923（源自课本人教版八上）
如图,△ABC和△ADE中,AB=AD=6,BC=DE,∠B=∠D=30°,边AD与边BC交于点P(不与点B,C重合)，点B，E在AD异侧，I为△APC的内心。
(1)求证：∠BAD=∠CAE；
(2)设AP=x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；
(3)当AB⊥AC时,∠AIC的取值范围为m°<∠AIC解：(1)在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE(SAS).
∴∠BAC=∠DAE
又∵∠BAD=∠BAC-∠DAC，∠CAE=∠DAE-∠DAC.
∴∠BAD=∠CAE.
(2)
∵AD=6,AP=x,
∴PD=6-x.
当AD⊥BC时，AP=最小，即为PD的最大值。
(3)如图，设,则,
∵AB⊥AC,
∴
∵I为△APC的内心，
∴AI、CI分别平分∠PAC、∠PCA,
∴,
∵,,即，
∴m=105,n=150.