北师大版数学八年级下册 第一章　三角形的证明 1.3 等腰三角形的判定与反证法 同步练习 word含答案

第一章　三角形的证明
1.3
等腰三角形的判定与反证法
1．如图所示，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3
cm，则CD等于(　　)
A．3cm
B．4cm
C．1.5cm
D．2cm
2．“a＜b”的反面应是(　　)
A．a＞b但a≠b
B．a＞b
C．a＝b
D．a＝b或a＞b
3．如图，AC、BD相交于点O，∠A＝∠D，如果请你再补充一个条件，使得△BOC是等腰三角形，那么你补充的条件不能是(　　)
A．OA＝OD
B．AB＝CD
C．∠ABO＝∠DCO
D．∠ABC＝∠DCB
4.
下列能判定△ABC为等腰三角形的是(　　)
A．∠A＝30°，∠B＝60°
B．∠A＝50°，∠B＝80°
C．AB＝AC＝2，BC＝4
D．AB＝3，BC＝7，周长为10
5．如图，在一张长方形纸条上任意画一条截线AB，将纸条沿截线AB折叠，所得△ABC的形状一定是(　　)
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．全等三角形
D．直角三角形
6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，若添加下列条件中的一个：①BD＝CD；②AD平分∠BAC；③AD＝BD.其中能使△ABC成为等腰三角形的有(　　)
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
7.
如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为(　　)
A．6
B．7
C．8
D．9
8.
如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为(　　)
A．40海里
B．60海里
C．70海里
D．80海里
9．如图所示，点D是△ABC的边AC上一点(不含端点)，AD＝BD，则下列结论正确的是(　　)
A．AC＞BC
B．AC＝BC
C．∠A＞∠ABC
D．∠A＝∠ABC
10．如图，BD是△ABC的角平分线，∠ABD＝36°，∠C＝72°，则图中的等腰三角形有(　　)
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
11．如图，在一张长方形纸条上任意画一条截线AB，将纸条沿截线AB折叠，所得△ABC的形状一定是
．
12．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，若添加下列条件中的一个：①BD＝CD；②AD平分∠BAC；③AD＝BD.其中能使△ABC成为等腰三角形的有
.
13.
在△ABC中，已知∠B＝∠C，则AB＝
14.
如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，点D在AC上，BC＝BD，DE∥BC交AB于点E，则图中有等腰三角形
个．
15.
用反证法证明命题“对顶角相等”第一步假设
．
16.
用反证法证明：如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF，证明的第一步是假定CD
(平行；不平行)于EF
17.
如图，在△ABC中，∠B≠∠C，求证：AB≠AC，当用反证法证明时，第一步应假设AB＝
18.
如图，△ABC中，AB＝AC，并且BD是AC边上的高，CE是AB边上的高，它们相交于点O，则图中除△ABC外一定是等腰三角形的是
19.
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,3)，在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有
个．
20.
如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N.若BM＋CN＝9，则线段MN的长为
.
12．已知△ABC中，AB＝AC，求证∠B＜90°.下面写出了用反证法证明过程中的四个步骤：①所以∠B＋∠C＋∠A＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾；②所以∠B＜90°；③假设∠B≥90°；④那么由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋∠C≥180°.这四个步骤正确的顺序应是
(填序号)．
21.
某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB∥CD，AE与AB的夹角为48°，若CF与EF的长度相等，则∠C的度数为(　　)
22.
已知：如图，直线a、b被c所截，∠1、∠2是同位角，且∠1≠∠2.
求证：a与b不平行．
证明：假设
，则
，这与
相矛盾，所以
不成立，所以a与b不平行．
23.
如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．
24.
在△ABC中，AB＝AC，点E、F分别在AB、AC上，AE＝AF，BF与CE相交于点P.求证：PB＝PC，并直接写出图中其他相等的线段．
25.
如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.求证∶△BDE是等腰三角形．
26.
求证：角平分线和中线重合的三角形是等腰三角形．
已知：在△ABC中，BD＝CD，AD平分∠BAC.
求证：AB＝AC.
27.
如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，D是AB边上一点，E是AC延长线上一点，且BD＝CE，DE交BC于F.求证：DF＝EF.
28.
用反证法证明：等腰三角形的底角必是锐角．
已知：△ABC中，AB＝AC，求证：△ABC的底角为锐角．
29.
如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，BD＝CE，BE、CD相交于点O.求证：
(1)△DBC≌△ECB；
(2)OB＝OC.
30.
如图，在等边三角形ABC中，BD平分∠ABC，延长BC到E，使CE＝CD，连接DE.
(1)成逸同学说：BD＝DE，她说得对吗？请你说明道理；
(2)小敏说：把“BD平分∠ABC”改成其他条件，也能得到同样的结论，你认为应该如何改呢？
31.
如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动(D不与B，C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E.
(1)当∠BDA＝115°时，∠EDC＝
，∠DEC＝
；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变
(填“大”或“小”)；
(2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
(3)在点D的运动过程中，△ADE可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
答案;
1---10
ADCDB
ADDAB
11.
等腰三角形
12.
①
②
13.
AC
14.
5
15.
对顶角不相等
16.
不平行
17.
AC
18.
△OBC
19.
8
20.
③
④
①
②
21.
24°
22.
a∥b
∠1＝∠2
∠1≠∠2
a∥b
23.
证明：∵DE∥AC，∴∠DAC＝∠EDA.∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠EAD.
∴∠EAD＝∠EDA.∵AD⊥BD，∴∠EAD＋∠B＝90°，∠EDA＋∠BDE＝90°.
∴∠B＝∠BDE.∴△BDE是等腰三角形．
24.
证明：∵AE＝AF，AB＝AC，∠EAC＝∠FAB，∴△AFB≌△AEC，∴∠ABF＝∠ACE，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠PBC＝∠PCB，∴PB＝PC，其余相等的线段有：BF＝CE，PE＝PF，BE＝CF.
25.
证明：∵DE∥AC，∴∠DAC＝∠ADE，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠DAE，∴∠DAE＝∠ADE.∵AD⊥BD，
∴∠DAE＋∠B＝90°，∠ADE＋∠BDE＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴△BDE是等腰三角形．
26.
证明：延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，∵AD是中线，∴BD＝CD.在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB(SAS)．∴BE＝AC，
∠BED＝∠CAD.∵AD是角平分线，∴∠CAD＝∠BAD.∴∠BED＝∠BAD，∴AB＝BE，∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形．
27.
证明：过点D作DG∥AC交BC于G，∴∠DGB＝∠ACB，∠DGF＝∠ECF，
∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠DGB＝∠B，∴DG＝BD＝CE.在△DFG与△EFC中，∠DGF＝∠ECF，∠DFG＝∠EFC，DG＝EC，∴△DFG≌△EFC，∴DF＝EF.
28.
证明：假设△ABC的底角不为锐角，则底角为钝角或直角，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C≥90°，∴∠B＋∠C≥180°，∴∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形内角和等于180°相矛盾，∴等腰三角形的底角必是锐角．
29.
证明：(1)∵AB＝AC，∴∠ECB＝∠DBC.在△DBC与△ECB中，，∴△DBC≌△ECB；　
(2)由(1)知△DBC≌△ECB，∴∠DCB＝∠EBC，∴OB＝OC.
30.
解：(1)BD＝DE是正确的．理由：∵△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABC＝30°，∠ACB＝60°.∴∠DCE＝180°－∠ACB＝120°.
又∵CE＝CD，∴∠E＝30°.∴∠DBC＝∠E.∴BD＝DE.　
(2)可改为：BD⊥AC.理由：∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°.∴∠DBC＝30°.由(1)可知∠E＝30°，∴∠DBC＝∠E.∴BD＝DE.
31.
解：(1)25°；115°；小；
(2)当DC＝2时，△ABD≌△DCE.理由：∵∠C＝40°，∴∠DEC＋∠EDC＝140°.又∵∠ADE＝40°，∴∠ADB＋∠EDC＝140°.∴∠ADB＝∠DEC.又∵AB＝DC＝2，∴△ABD≌△DCE(AAS)；
(3)可以，∠BDA的度数为110°或80°.理由：当∠BDA＝110°时，∠ADC＝70°.∵∠C＝40°，∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝180°－70°－40°＝70°.∴∠AED＝180°－∠DAC－∠ADE＝180°－70°－40°＝70°.∴∠AED＝∠DAE.∴AD＝ED.∴△ADE是等腰三角形．当∠BDA＝80°时，∠ADC＝100°.∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝180°－100°－40°＝40°.∴∠DAE＝∠ADE.∴AE＝DE.∴△ADE是等腰三角形．