18.2.3正方形（2） 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
人教版
八年级数学上
18.2.3正方形（2）
学习目标
1．探索并证明正方形的判定，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的
联系和区别；(重点、难点)
2．会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算
.(难点)
回顾旧知
思考1：
正方形有哪些性质？
A
B
C
D
正方形性质：①四个角都是直角;
②四条边都相等;
③对角线相等且互相垂直平分.
O
合作探究---正方形的判定
思考2：你是如何判断一个四边形是矩形、菱形？
平行四边形
矩形
菱形
四边形
三个角是直角
四条边相等
定义
四个判定定理
定义
对角线相等
定义
对角线垂直
思考3：怎样判定一个四边形是正方形呢？
合作探究---正方形的判定
活动1
：
准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形.
正方形
想一想：满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
正方形
一组邻边相等
合作探究---正方形的判定
活动2
把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.
正方形
菱形
想一想：满足怎样条件的菱形是正方形？
正方形
一个角是直角
合作探究---正方形的判定
正方形的判定方法：
正方形
正方形
+
+
先判定菱形
先判定矩形
一个直角
一组邻边相等
典例精析
例1
在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．
四边形EFMN是正方形吗?为什么?
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∵AE=BF=CM=DN，
∴AN=BE=CF=DM.
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，
AE=BF=CM=DN,
∠A=∠B=∠C=∠D,
AN=BE=CF=DM,
∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,
典例精析
∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,
∴四边形EFMN是菱形，
∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）
=180°－（∠AEN+∠ANE）
=180°－90°=90°.
∴四边形EFMN是正方形
.
小试牛刀
1.下列命题正确的是（
）
A.四个角都相等的四边形是正方形
B.四条边都相等的四边形是正方形
C.对角线互相垂直平分的平行四边形是正方形
D.对角线相等的菱形是正方形
D
小试牛刀
2、在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（
）
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD
B．AD∥BC，∠A=∠C
C.
AO=CO，BO=DO，AB=BC
D．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
D
A
B
C
D
O
小试牛刀
3.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，请添加一个条件____________________，可得出该四边形是正方形．
AB=BC(答案不唯一)
A
B
C
D
O
4.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是_________________（只填写序号）．
②③或①④
小试牛刀
证明：∵
DE⊥AC，DF⊥AB
，
∴∠DEC=
∠DFC=90°.
又∵
∠C=90
°，∴四边形ADFC是矩形.
过点D作DG⊥AB，垂足为G.
∵AD是∠CAB的平分线，DE⊥AC，DG⊥AB，
∴
DE=DG.
同理得DG=DF，
∴ED=DF，
∴四边形ADFC是正方形.
5.如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线交于点D.DE⊥AC，DF⊥AB.求证:四边形CEDF为正方形.
A
B
C
D
E
F
G
综合演练
1.如图，△ABC中，D是BC上任意一点，DE∥AC，DF∥AB．
（1）试说明四边形AEDF的形状，并说明理由．
（2）连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为什么？
解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形.
（2）∵四边形AEDF为菱形，
∴AD平分∠BAC，
则AD平分∠BAC时，四边形AEDF为菱形.
综合演练
（3）在（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形，说明理由．
解：由四边形AEDF为正方形
∴∠BAC=90°，
∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形即可．
综合演练
2.如图，在四边形ABCD中,
AB=BC
,对角线BD平分?ABC
,
P是BD上一点,过点P作PM?AD
,
PN?CD
,垂足分别为M、N.
(1)
求证：?ADB=?CDB;
(2)
若?ADC=90?,求证：四边形MPND是正方形.
C
A
B
D
P
M
N
证明：（1）∵AB
=
BC,BD平分∠ABC.
∴∠1=∠2.
∴△ABD≌△CBD
(SAS).
∴∠ADB=∠CDB.
1
2
综合演练
C
A
B
D
P
M
N
（2）∵∠ADC=90°;
又∵PM⊥AD,PN⊥CD;
∴∠PMD=∠PND=90°.
∴四边形NPMD是矩形.
∵∠ADB=∠CDB;
∴∠ADB=∠CDB=45°.
∴∠MPD=∠NPD=45°.
∴DM=PM,DN=PN.
∴四边形NPMD是正方形.
综合演练
3.如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EG⊥FH.
求证：四边形EFGH是正方形.
证明：∵四边形ABCD为正方形,
∴OB=OC,∠ABO=∠BCO
=45°,
∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.
∵EG⊥FH,∴∠BOE+∠BOH=90°,
∴∠COH=∠BOE,∴△CHO
≌△BEO,∴OE=OH.
同理可证：OE=OF=OG,
B
A
C
D
O
E
H
G
F
综合演练
∴OE=OG，OF=OH.
∴四边形EFGH为平行四边形
又∵EG⊥FH,
∴四边形EFGH为菱形.
∵EO+GO=FO+HO
,即EG=HF,
∴四边形EFGH为正方形.
B
A
C
B
O
E
H
G
F
综合演练
4.如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE．（1）求证：BF=DE；（2）当点E运动到AC中点时(其他条件都保持不变)，问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由．
（1）证明：∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵AF⊥AC，∴∠EAF=90°，
∴∠BAF=∠EAD，
在△ADE和△ABF中，
AD＝AB
，∠DAE＝∠BAF
，AE＝AF
,
∴△ADE≌△ABF（SAS），∴BF=DE；
综合演练
（2）解：当点E运动到AC的中点时四边形AFBE是正方形，
理由：∵点E运动到AC的中点，AB=BC，
∴BE⊥AC，BE=AE=
AC，
∵AF=AE，∴BE=AF=AE.
又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°，
∴BE∥AF，
∵BE=AF，
∴四边形
AFBE是平行四边形，
∵∠FAE=90°，AF=AE，∴四边形AFBE是正方形．
课堂小结
本节课你有哪些收获？
1、如何判断一个四边形是正方形？
2、你能绘制平行四边形、矩形、菱形的判定方法之间的关系吗？
课后作业
教材61页习题18.2第12题．
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