5.8 弧长及扇形的面积
学习目标
1、经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程
2、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题
学习重、难点
重点：弧长与扇形的计算公式的推导与应用
难点：弧长与扇形的计算公式的应用
学习过程：
一、情境创设
1、小学里我们已经学习过圆的周长计算公式、圆面积计算工式。说出圆周长计算公式与圆面积计算公式。
2、我们知道，弧长是它所对应的圆周长的一部分，扇形面积是它所对应的圆面积的一部分，那么弧长、扇形面积怎样计算呢？
二、探索活动
活动一 探索弧长计算公式
因为360°的圆心角所对弧长就是圆周长C=2πR，所以1°的圆心角所对的弧长是，即。这样，在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为：
l =
注：引导学生用“方程的观点”去认识弧长计算公式，它揭示了l、n、R这3个量之间的一种相等关系。如果这三个量中，任意知道两个量，就可以根据公式求出第三个量。
活动二 探索扇形面积计算公式
1、类比弧长的计算公式可知：圆心角为n°的扇形面积与整个圆面积的比和n°与360°的比一致，因此，扇形的面积应等于圆的面积乘以扇形的圆心角占360的几分之几，即圆心角是360°的扇形面积就是圆面积S=πR2，所以圆心角是1°的扇形面积是。这样，在半径为R的圆中，圆心角为的扇形面积的计算公式为：
S=πR2
注：类似于弧长的计算公式，扇形面积的计算公式也是表示三个量之间的相等关系，在S、n、R中任意知道两个量都可以根据公式求出第三个量的值。
2、扇形面积的另一个计算公式
比较扇形面积计算公式与弧长计算公式，可以发现：可以将扇形面积的计算公式：S=πR2化为S=·R，从面可得扇形面积的另一计算公式：
S=lR
三、例题教学
例1 已知：在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB
是小圆的切线，C为切点。设弦AB的长为d，圆环面积S与d之
间有怎样的数量关系？
分析：1、切线的性质是什么？2、垂径定理的内容是什么？培养学生“见切线，连结圆心与切点，得垂直”的常规思路。
例2 正三角形ABC的边长为a，分别以A、B、C为圆心，
为半径的圆两两相切于点O1、O2、O3。求O1O2、O2O3、O3O1围成
的图形面积S（图中阴影部分）。
分析：阴影部分为非规则图形，常见方法是利用“割补法”将之转化为△ABC的面积与三个扇形的面积的差。
四、课堂练习
P147 练习 1、2、3
五、课堂小结
弧长与扇形的面积计算公式。
五、作业
后进生：P147 练习 1、2、3 优生：P147 习题5.8 3、4、5
六、教后感
⌒
⌒
⌒
25.5 直线与圆的位置关系（1）
学习目标
1、理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系
2、通过观察，得出“直线与圆的位置关系”与“圆心到直线的距离d与半径r的数量关系”的对应关系，从而实现位置关系与数量关系的相互转化
3、在观察与探究的过程中，进一步培养使用“分类”与“归纳”等思想方法的能力
学习重、难点
重点：直线与圆的位置关系
难点：直线与圆的位置关系的应用
学习过程：
一、情境创设
1、点与圆有哪几种位置关系？若圆的半径为r，点到圆心的距离为d，如何用d和r 的数量关系判断点与圆的位置关系？
2、欣赏巴金先生的《海上日出》的图片与文章，感受生活中反映直线与圆位置关系的现象。
二、探索活动
活动一 操作、思考
1、从《海上日出》的图片与文章中将海平面看作是一条直线，太阳看作是一个圆，在太阳中升的过程中，直线与圆的位置有什么不同？（①直线与圆的公共点的个数有所变化；②圆心到直线的距离有所变化。）
2、由操作可知直线与圆有下列三种位置关系：
直线与圆有两个公共点时，叫直线与圆相交；直线与圆有惟一公共点时，叫直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点；直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离。
活动二 探索圆心到直线的距离与半径之间的数量关系和直线与圆的位置关系之间的内在联系
类比“点与圆的位置关系”可得结论：
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么
直线l与⊙O相交 d ＜ r
直线l与⊙O相切 d = r
直线l与⊙O相离 d ＞ r
三、例题教学
例 在△ABC中，∠A=45°，AC=4，以C为圆心，r为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系？为什么？
⑴ r=2； ⑵ r=2； ⑶ r=3
分析：要判定直线AB与⊙C的位置关系，就要比较圆心C到直线AB的距离与⊙C的半径的大小。因此，要作出点C到直线AB的垂线段CD，由CD到⊙C半径之间的数量关系，便可以判定直线AB与⊙C的位置关系。
四、课堂练习
P129 练习 1、2
五、课堂小结
引导学生总结：
1、直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离；
2、用圆心到直线的距离与半径的比较来判断直线与圆的位置关系。
五、作业
后进生：P135 习题5.5 1、3 优生：P133 习题5.5 1、2、3
六、教后感5.3 圆周角（2）
学习目标
1、熟练应用圆周角定理及其推论解决有关的计算和证明的问题
2、在应用圆周角定理及其推论进行有关的计算和证明的过程中，进一步培养观察、分析和解决问题的能力
学习重、难点
重点：圆周角定理及其推论的应用
难点：熟练应用圆周角定理及其推论
学习过程：
一、情境创设
我们学习过哪些与圆有关的角？它们之间有什么关系？
二、探索活动
如图，BC为⊙O的直径，它所对的圆周角是锐角、钝角，
还是直角？为什么？
由圆周角与它所对的弧之间的关系可知：圆周角等于它所对的弧的度数的一半，而图中∠A所对的弧是半圆，而半圆为180°，所以∠A=90°。
如图，圆周角∠A=90°，弦BC经过圆心吗？为什么？
此问题与上面的一个问题刚好相反，应先连接OB、OC，证明点B、
O、C 在同一直线上，也可以证明∠A所对的圆心角为90°，而这是很显然的。
（以上两个问题，主要由学生自主探索解决）
结论：直径（或半圆）所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。
三、例题解析
例 1 如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，
∠ACD=60°, ∠ADC=50°，求∠CEB的度数。
分析：由于∠CEB并非与圆有关的角，所以很容易就应想到用
三角形外角定理将之转化为一个已知角∠ACD与一个未知角∠CAB的和，
这就将问题转化为求∠CAB的问题，而该角是圆周角，而此时应结合另一个已知条件“AB是直径”，此条件可带来它所对的圆周角等于90°，最好这个直角与第三个已知条件
“∠ADC=50°”相关，因此这就需要连接BD，问题就很显然了。
例 2 已知：如图，△ABC的3个顶点都在⊙O上，
AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径，△ABE与△ACD相似吗？
为什么？
分析：由直径所对的圆周角是直角可得∠ABE=90°，再由
AD是△ABC的高可知∠ADC=90°，这样这两个三角形就有了一组相等的角，只需再找一组角相等即可证得它们相似。这样就很容易想到另外两组角中的∠E与∠C这一组AB所对的圆周角。
五、课堂练习
P121 练习1、2、3
六、课堂小结
1、进一步探索圆周角的有关性质；
2、综合运用圆周角的有关性质解决一些应用问题。
七、作业
P122 习题5.3 7、8、9
八、教后感5.5 直线与圆的位置关系（2）
学习目标
1、探索切线的性质与判定
2、通过应用切线的性质与判定，提高推理判断能力
学习重、难点
重点：直线与圆相切的判定条件与圆的切线的性质
难点：直线与圆相切的判定与性质的应用
学习过程：
一、情境创设
我们已经掌握了“从直线与圆的公共点的个数”或“将圆心到直线的距离与半径相比较”两种方法来判断直线与圆相切。那么我们还能找到判定直线与圆相切的其他方法吗？
二、探索活动
活动一 探索直线与圆相切的另一种判定方法
1、由圆心到直线的距离等于半径逆推可知：
在⊙O中，经过半径OA的外端点A，作直线l⊥OA，
则圆心O到直线l的距离等于半径r，直线l与⊙O相切。
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
2、由此我们可以得到直线是圆的切线的三个判定方法：
⑴与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；
⑵与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
⑶经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
活动二 探索直线与圆相切的性质
1、如图，直线l与⊙O相切于点A，OA是过切点的半径，直线l与半径OA是否一定垂直？你能说明理由吗？
假设直线l与OA不垂直，过圆心O作OB⊥l，垂足为B。由于直线l与⊙O相切，因此OB就是⊙O的半径。点B在⊙O上。这样直线l与⊙O有A、B两个公共点。这与“直线l与⊙O相切”矛盾。因此l⊥OA。
圆的切线垂直于经过切点的半径
2、直线与圆相切的性质
⑴切线与圆有惟一的公共点；⑵圆心到切线的距离等于半径；⑶切线垂直于经过切点的半径。
三、例题教学
例 1 如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，
∠CAD=∠ABC。判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由。
分析：由条件知，直线AD经过半径OA的外端点A，因此只要说明AD⊥AB即可。
例 2 如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，
C是⊙O上一点，若∠APB=40°，求∠ACB的度数。
分析：本题运用切线性质的计算题。由此可得，在解
有关圆的切线问题时，常常需要做出过切点的半径，以便利用圆
的切线的性质。
四、课堂练习
P131 练习 1、2
五、课堂小结
圆的切线的判定条件和直线与圆相切的性质，并运用切线的判定条件和性质解决有关问题。
五、作业
后进生：P131 练习 1、2 优生：P136 习题5.5 5、6、7
六、教后感5.5 直线与圆的位置关系（4）
学习目标
1、认识过圆外一点可画出圆的两条切线，能过圆外一点画圆的切线
2、认识切线长以及与切线长有关的性质与应用
3、进一步发展推理能力，会用有条理的语言表述自己的观点
学习重、难点
重点：切线长定理
难点：切线长定理的应用
学习过程：
一、情境创设
如图，P是⊙O外一点，A是⊙O上一点，图中的P
是⊙O的切线吗？为什么？
二、探索活动
活动一 过圆外一点作圆的切线
1、利用三角尺中的直角“找”切点（从情境中的图形可以看出，点A在⊙O上，且∠OAP=90°，即PA⊥OA，因此PA是⊙O的切线。）
2、尺规作图法“找”切点
如何过⊙O外一点P作⊙O的切线？这样的切线能作几条？
（利用直径所对的圆周角是直角来找切点，即以OP为
直径作一个圆与⊙O相交，交点为切点）
活动二 操作、思考
1、在上图中，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B。沿直线OP将图形对折，你发现了什么？
观察图形，通过猜想证明可得：PA=PB，∠APO=∠BPO。（证明过程略）
在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
2、切线与切线长
由操作思考中可得切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的边线平分两条切线的夹角。
注：切线长是指从圆外一点向圆引切线，这点与切点之间线段的长，而切线是一条直线。
三、例题教学
例 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，
直线OP交⊙O于点D、E，交AB于点C。
⑴ AD与BD是否相等？为什么？
⑵ OP与AB有怎样的位置关系？为什么？
分析：第一问可转化为证明它们所对的圆心角相等，而两角相等可证明两三角形全等；第二问可由切线条定理结合三线合一定理解决。
注：本题的图形为基本图形，其中包含着以下几个方面的性质：
①此图是轴对称图形，OP是它的对称轴；②切线的性质包含在图形中；③连接两个切点可得到等腰三角形，体现出三线合一定理与垂径定理；④连接两个切点和过切点的两条半径，可以得到直角三角形及其斜边上的高，等等。
四、课堂练习
P135 练习 1、2
五、课堂小结
引导学生总结：
1、切线长定理；
2、切线与切线长之间的联系。
五、作业
后进生：P135 练习 1、2 优生：P137 习题5.5 12、13
六、教后感
︵
︵
15.7 正多边形与圆
学习目标
1、了解正多边形的概念、正多边形和圆的关系
2、会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形
3、能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形
学习重、难点
重点：正多边形的概念及正多边形与圆的关系
难点：利用直尺与圆规作特殊的正多边形
学习过程：
一、情境创设
观察下列图形，你能说出这些图形的特征吗？
二、探索活动
活动一 观察生活中的一些图形，归纳它们的共同特征，引入正多边形的概念
各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。（注：各边相等与各角相等必须同时成立，否则不一定是正多边形，例如菱形、矩形等）
活动二 用量角器作正多边形，探索正多边形与圆的内在联系
1、用量角器将一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得的n边形是这个圆的内接正n边形；圆的内接正n边形将圆n等分；
2、正多边形的外接圆的圆心叫正多边形的中心。
活动三 探索正多边形的对称性
正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形中，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？哪些既是轴对称图形，又是中心对称图形？如果是轴对称图形，画出它的对称轴；如果是中心对称图形，找出它的对称中心。
结论：正多边形都是轴对称图形，一个正n边形有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心；一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形。
活动四 利用直尺与圆规作特殊的正多边形
1、作正四边形：在圆中作两条互相垂直的直径，依次连结四个端点所得图形（作正八边形）
2、作正六边形：在圆中任作一条直径，再以两端点为圆心，相同的半径为半径作弧与圆相交，依次连结圆上的六个点所得图形（作正三角形与正十二边形）
三、课堂练习
P144 练习 1、2
五、课堂小结
引导学生总结：
1、正多边形的概念、正多边形与圆的关系以及正多边形的对称性；
2、利用直尺与圆规作一些特殊的正多边形。
五、作业
补充。
六、教后感
25.5 直线与圆的位置关系（3）
学习目标
1、过圆上一点画圆的切线、作三角形的内切圆
2、了解三角形的内切圆、三角形的内心等概念
3、通过探究作三角形内切圆的过程，归纳内心的性质，进一步提高归纳能力与作图能力
学习重、难点
重点：三角形的内切圆以及作三角形的内切圆
难点：三角形的内切圆的作法
学习过程：
一、情境创设
判定直线与圆相切的切线有哪些方法？
二、探索活动
活动一 过厘米上的点作圆的切线
1、过圆上一点作圆的切线
作法：⑴作直线OP；
⑵过点P作OP的垂线
⑶这条垂线即为⊙O的切线
2、过圆上三点分别作圆的切线，并两两相交得△ABC
类似于上面活动中作圆的切线的方法分别过三点作圆
的切线，并两两相交于点A、B、C，这样得到的△ABC的各
边都与⊙O相切，圆心O到各边的距离都相等。
活动二 作三角形的内切圆
1、由活动一可知：过已知圆上三点可作一个三角形，使它与各边都与圆相切；反之，如果已知一个三角形，如何作一个圆，使它与三角形各边都相切呢？
作三角形内切圆的关键是确定圆心的位置。确定三角形内切圆圆心的方法与确定三角形外心的方法类似，先考虑圆心到三角形其中两边的距离相等，也就是它在这两边夹角的平分线上；再考虑这两边中的一边和第三边的距离相等，也就是它又在另一个角的平分线上。因为两条角平分线只有一个交点，所以圆心的位置被惟一确定，即与三角形各边都相切的圆可以作出一个并且只可以作出一个。
作图过程及作法略。
2、与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
三、例题教学
例 如图，在△ABC中，内切圆I与边BC、CA、AB分别相切于
点D、E、F，∠B=60°，∠C=70°，求∠EDF的度数。
分析：由条件“圆I与边BC、CA、AB分别相切”可以知道
I是三角形的内心。由三角形内心的定义，过三角形的顶点和内心的射线平分三角形的内角，从而解决问题。
四、课堂练习
P133 练习 1、2
五、课堂小结
引导学生总结：
1、三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形的概念；
2、如何作三角形的内切圆。
五、作业
后进生：P133 练习2 P133 习题5.5 11 优生：P133 习题5.5 10、11
六、教后感
15.2 圆的对称性（1）
学习目标
1、经历探索圆的中心对称性及有关性质的过程
2、理解圆的中心对称性及有关性质
3、会运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题
学习重、难点
重点：理解圆的中心对称性及有关性质
难点：运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题
学习过程：
一、情境创设
1、什么是中心对称图形
2、我们采用什么方法研究中心对称图形
二、探索活动
1、按照下列步骤进行小组活动：
⑴在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O和⊙O
⑵在⊙O和⊙O中,分别作相等的圆心角∠AOB、∠，连接AB、
⑶将两张纸片叠在一起，使⊙O与⊙O重合（如图）
⑷固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得OA与OA重合
在操作的过程中，你有什么发现，请与小组同学交流
_______________________________________________
2、上面的命题反映了在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦的关系，对于这三个量之间的关系，你还有什么思考？请与小组同学交流.
你能够用文字语言把你的发现表达出来吗
3、圆心角、弧、弦之间的关系：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等
4、试一试：
如图，已知⊙O、⊙O半径相等，AB、CD分别是⊙O、⊙O的两条弦填空：
（1）若AB=CD，则 ，
（2）若AB= CD，则 ，
（3）若∠AOB=∠COD，则 ，
5、在圆心角、弧、弦这三个量中，角的大小可以用度数刻画，弦的大小可以用长度刻画，那么如何来刻画弧的大小呢？
弧的大小：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等
三、例题解析
例1 如图，AB、AC、BC都是⊙O的弦，∠AOC=∠BOC
∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？
四、延伸与拓展
已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，
CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，且AE=BF，AC与BD相等吗？
为什么？
五、课堂练习
P113 练习1、2、3
六、课堂小结
1、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等；
2、圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
七、作业
P115 习题5.2 1、3、4、5
八、教后感
O(O’)
B’
A’
B
A
︵
︵
O’
D
C
O
B
A5.4 确定圆的条件
学习目标
1、了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法
2、了解三角形的外接圆、三角形外心等概念
3、形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神
学习重、难点
重点：不在同一直线上的三点确定一个圆以及三角形的外心
难点：掌握解决问题策略的多样性
学习过程：
一、情境创设
1、确定一个圆需要几个要素？（两个要素，一是位置，二是大小，而圆心确定它的位置，半径确定它的大小，只有圆心和半径都确定了，圆才能被确定）
2、经过平面内一点可以作几条直线？过两点呢？三点呢？（经过操作探索可知：过平面内一点可作无数条直线，经过两点只能作一条直线，过三点要分两种情况，一是三点在同一直线上，可作一条直线，而三点不在同一直线上，不能作直线）
3、在平面内过一点可以作几个圆？经过两点呢？三点呢？
二、探索活动
活动一 操作、思考
1、过平面内一点A作圆
只需以平面内不同于A点的任一点为圆心，这一点到
A的距离为半径作圆即可，即可作无数个圆。
2、过平面内两点A、B作圆
如何作一个圆，使之过平面内两点A、B呢？因为
这两点在要作的圆上，所以它们到这个圆的圆心的距离
要相等，并且都等于这个圆的半径，因此要作过这两点
的圆就是要找到这两点的距离相等的点作为圆心，而这
样的点应在这两点连线的垂直平分线上，而半径即为这条直线上的任意一点到点A或点B的距离，这样也可以作无数个圆。
3、过平面内三点A、B、C作圆
如同过平面内两点一样，要作过平面内三点的圆实质即是找到
这三点之间的距离相等的点，这只需要作连结这三点中任意两点连
线的垂直平分线的交点。而如果A、B、C在同一条直线上的话，任
两点连线的垂直平分线互相垂直，不会出现交点，也就作不出过这三点的圆，所以只能过不在同一平面内的三点才能作圆。
由以上操作可得结论： 不在同一直线上的三点确定一个圆。
活动二 用直尺和圆规作锐角△ABC的外接圆
1、三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做个圆的内接三角形。
2、作法如活动一中过不在同一直线上的三点作圆。
3、外心的位置：锐角三角形的外心在形内；直角三角形的外心在形上，并且是直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在形外。
三、课堂练习
P125 练习1、2、3
四、课堂小结
1、不在同一直线上的三点确定一个圆；
2、三角形的外接圆、三角形的外心以及三角形外接圆的圆心的位置
七、作业
P125 习题5.4 1、2、4
八、教后感5.3 圆周角（1）
学习目标
1、经历探索圆周角的有关性质的过程
2、理解圆周角的概念及其相关性质，并能运用相关性质解决有关问题
3、体会分类、转化等数学思想方法，学会数学地思考问题
学习重、难点
重点：圆周角及圆周角定理
难点：圆周角定理的应用
学习过程：
一、情境创设
操作与思考
如图，点A在⊙O外，点B1 、B2 、B3在⊙O上，
点C在⊙O内，度量∠A、∠B1 、∠B2、∠B3、∠C的
大小，你能发现什么？
∠B1 、∠B2 、∠B3有什么共同的特征？
__________________________________________________
归纳得出结论，顶点在_______，并且两边________________________的角叫做圆周角。
强调条件：①_______________________，②___________________________。
识别图形：判断下列各图中的角是否是圆周角？并说明理由.
二、探索活动
活动一 观察与思考
如图，AB为⊙O的直径，∠BOC、∠BAC分别是BC所对的圆心角、圆周角，求出图（1）、（2）、（3）中∠BAC的度数.
通过计算发现：∠BAC＝_______∠BOC．
试证明这个结论：
活动二 思考与探索
1、如图，BC所对的圆心角有多少个？BC所对的圆周角有多少个？请在图中画出BC所对的圆心角和圆周角，并与同学们交流。
2、思考与讨论
（1）观察上图，在画出的无数个圆周角中，这些圆周角与圆心O有几种位置关系？
（2）设BC所对的圆周角为∠BAC，除了圆心O在∠BAC的一边上外，圆心O与∠BAC还有哪几种位置关系？对于这几种位置关系，结论∠BAC＝∠BOC还成立吗？试证明之．
通过上述讨论发现：______________________________________________
三、例题解析
例1 如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆外，CD、BD
分别交⊙O于点E、F，比较∠BAC与∠BDC的大小，并说明理由。
五、课堂练习
P119 练习1、2、3
六、课堂小结
1、顶点在圆上，并且两边和圆相交的角叫做圆周角；
2、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半。
七、作业
P122 习题5.3 1、3、4
八、教后感
1
3
25.6 圆与圆的位置关系
学习目标
1、了解圆与圆之间的五种位置关系
2、经历探索两圆的位置关系与两圆半径、圆心距的数量关系间的内在联系的过程，并运用相关结论解决有关问题
学习重、难点
重点：圆与圆的位置关系
难点：根据两圆半径与圆心距的关系判断两圆位置关系
学习过程：
一、情境创设
我们已经研究过点与圆、直线与圆的位置关系，如何判断点与圆、直线与圆的位置关系呢？圆与圆又有怎样的位置关系呢？
二、探索活动
活动一 操作、思考
1、在回忆、思考点与圆、直线与圆的位置关系的基础上，研究圆与圆的位置关系。
将一个圆固定，另一个圆逐步向它移动，观察两圆的位置发生的变化，描述这种变化。平面内，两圆相对运动，可以得到以下不同的位置关系：
（1） （2） （3） （4） （5）
2、两圆的五种位置关系
⑴两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，两圆外离（图1）
⑵两圆有惟一公共点，且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，两圆外切（图2）
⑶两个圆有两个公共点时，两圆相交（图3）
⑷两圆有惟一公共点，且除了这个公共点以外，一个圆上点都在另一个圆的内部时，两圆内切（图4），两圆外切与内切统称两个圆相切。
⑸两圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，两圆内含（图5），同心圆是两圆内含的特例。
3、按公共点的个数分类可分为三类
①相离 ②相切 ③相交
活动二 探索两圆位置关系与两圆半径、圆心距的数量关系之间的联系
先由学生从五种位置关系的图形中探索，再进行总结：
若两圆的半径分别为R、r，圆心距为d，那么
两圆外离 d ＞ R＋r
两圆外切 d = R＋r
两圆相交 R－r ＜ d ＜R＋r（R≥r）
两圆内切 d = R－r（R ＞ r）
两圆内含 d ＜ R－r（R ＞ r）
三、例题教学
例 已知⊙O1、⊙O2的半径分别为r1、r2，圆心距d=5，r1=2.
⑴ 若⊙O1与⊙O2外切，求r2；
⑵ 若r2=7，⊙O1与⊙O2有怎样的位置关系？
⑶ 若r2=4，⊙O1与⊙O2有怎样的位置关系？
分析：当d ＞ R－r时，两圆可能有哪些位置关系？当d ＜ R＋r时，两圆可能有哪些位置关系？
四、课堂练习
P140 练习 1、2
五、课堂小结
1、圆与圆的位置关系有五种：两圆相离、两圆外切、两圆相交、两圆内切、两圆内含；
2、两圆位置关系与两圆半径、圆心距的数量关系之间的联系。
五、作业
后进生：P141 习题5.6 1、2 优生：P141 习题5.6 1、2、3
六、教后感
外离
内含
外切
内切
15.1 圆（1）
学习目标
1、经历圆的概念的形成过程，理解圆的描述概念和圆的集合概念
2、经历探索点与圆的位置关系的过程，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系
3、在确定点和圆的三种位置关系的过程中体会用数量关系来确定位置关系的方法，逐步学会用变化的观点及思想去解决问题
学习重、难点
重点：确定点和圆的三种位置关系以及圆的集合概念的理解
难点：点和圆的三种位置关系的理解和应用
学习过程：
一、情境创设
1、展示生活中的圆：摩天大楼、厨房用具、硬币、车轮。
思考：车轮为什么是圆的？
2、如图所示是一个钉在方板上的圆形镖盘，x x同学向镖
盘上投掷了3枚飞镖，落点为图上的点A、B、C。
如果该同学又掷了一枚飞镖，你能让不在现场的同学知道
飞镖落点的大致位置吗？
二、探索活动
1、圆的定义：
如图，把线段OP的一个端点固定。使线段OP绕着端点O在
平面内旋转一周，另一个端点P运动所形成的图形叫做圆。
其中，定点O叫做圆心，线段OP叫做半径。以O为圆心的
圆，记作“⊙○”，读作“圆O”
2、画圆：
确定一个圆的两个要素是_______和________，以定点A为圆心作圆，能作______个圆；以定长r为半径作圆，能作______个圆；以定点A为圆心、定长r为半径作圆，能且只能作_______个圆。
3、圆的集合定义
考虑情境创设中的B点位置，给出以下定义：
平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
4、点和圆的位置关系
为什么不在现场的同学听了xx同学的描述，能知道飞镖的大致落点呢？——点和圆的三种位置关系。
你能用数量关系来刻画点和圆的这几种位置关系吗？
若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：
点P在圆内 d ＜ r
点P在圆上 d = r
点P在圆外 d ＞ r
5、尝试与交流
已知点P、Q，且PQ=4cm，
⑴画出下列图形：到点P的距离等于2cm的点的集合；到点Q的距离等于3cm的点的集合。
⑵在所画图中，到点P的距离等于2cm，且到点Q的距离等于3cm的点有几个？请在图中将它们表示出来。
⑶在所画图中，到点P的距离小于或等于2cm，且到点Q的距离大于或等于3cm的点的集合是怎样的图形？把它画出来。
三、课堂练习
P108 练习1、2、3
四、拓展与延伸
1、圆外一点和圆周上点的最短距离为2，最长距离为8，则该圆的半径是多少？
2、若以A为圆心作圆A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则圆A的半径r的取值范围是什么？
五、课堂小结
1、圆上各点到圆心的距离都等于半径；到圆心的距离等于半径的点都在圆上；圆是到定点的距离等于定长的点的集合
2、圆的三种位置关系和数量关系之间的联系
3、结合本课的学习谈谈感悟
六、作业
P109 习题5.1 1、2、3
七、教后感5.9 圆锥的侧面积和全面积
学习目标
1、经历探索圆锥侧面积计算公式的过程
2、了解圆锥侧面积计算公式，并会应用公式解决问题
学习重、难点
重点：圆锥的侧面积公式的推导与应用
难点：综合弧长与扇形面积的计算公式计算圆锥的侧面积
学习过程：
一、情境创设
七年级时，我们在“展开与折叠”的学习活动中，已经知道圆锥的侧面展开图是一个扇形。那么怎样求圆锥的侧面展开图的面积呢？
二、探索活动
1、圆锥的基本概念
在右图的圆锥中，连结圆锥的顶点S和底面圆上任意一点的线
段SA、SA1……叫做圆锥的母线，连接顶点S与底面圆的圆心O的线段叫做圆锥的高。
2、圆锥中的各元素与它的侧面展开图——扇形的各元素之间的关系
右图中，将圆锥的侧面沿母线l剪开，展开成平面图形，可以得到
一个扇形，设圆锥的底面半径为r，这个扇形的半径等于什么？扇形
的弧长等于什么？
3、圆锥侧面积计算公式
从右图中可以看出，圆锥的母线即为扇形的半径，而圆锥
底面的周长是扇形的弧长，这样，
S圆锥侧=S扇形=·2πr · l = πrl
4、圆锥全面积计算公式
S圆锥全=S圆锥侧＋S圆锥底面= πr l ＋πr 2=πr（l ＋r）
三、例题教学
例1 制作圆锥形铁皮烟囱帽，其尺寸要求为：底面直径80㎝，母线长50㎝，求烟囱帽铁皮的面积（精确到1㎝2）
分析：直接利用圆锥侧面积公式计算即可。
例2 在右图中的扇形中，半径R=10，圆心角θ =144°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面。
⑴求这个圆锥的底面半径r；
⑵求这个圆锥的高（精确到0.1）。
分析：已知扇形的半径与圆心角，求圆锥的底面半径，什么是联系这三者的“桥梁”呢？不难想到弧长是联系扇形与圆锥的“桥梁”，用扇形的半径与圆心角表示弧长，再用圆锥的底面半径表示圆锥底面周长，从而得出一个等式，解之即可得出底面半径；而圆锥的高可作出圆锥的轴截面，再由勾股定理解决。
四、课堂练习
P149 练习 1、2
五、课堂小结
圆锥的侧面积公式与全面积公式。
五、作业
后进生：P149 习题5.9 1、2、3 优生：P150 习题5.9 2、3、4
六、教后感
θ
25.2 圆的对称性（2）
学习目标
1、经历探索圆的轴对称性及有关性质的过程
2、掌握垂径定理
3、会运用垂径定理解决有关问题
学习重、难点
重点：垂径定理及应用
难点：垂径定理的应用
学习过程：
一、知识回顾
1、如果一个图形沿着一条直线折叠，直线的两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做__________________，这条直线叫做_______________。
2、圆是中心对称图形，_________是它的对称中心；圆具有_________性。
二、操作与探索
提出问题：“圆”是不是轴对称图形？它的对称轴是什么？
操作：①在圆形纸片上任画一条直径；
②沿直径将圆形纸片折叠，你发现了什么？
结论：圆是轴对称图形，经过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。
三、探究与思考
1、判断下列图形是否具有对称性？如果是中心对称图形，指出它的对称中心；如果是轴对称图形，指出它的对称轴。
2、将第二个图中的直径AB改为怎样的一条弦，它将变成轴对称图形？
四、尝试与交流
1、如图，CD是⊙O的弦，画直径AB⊥CD，垂足为P，将圆形纸片沿AB对折，你发现了什么？
2、你能给出几何证明吗？（写出已知、求证并证明）
3、得出垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
4、注意：
①条件中的“弦”可以是直径；
②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧。
5、给出几何语言
五、例题解析
例 1 如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB
交小圆于点C、D，AC与BD相等吗？为什么？
例 2 如图，已知：在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3。
⑴求的半径；
⑵若点P是AB上的一动点，试求OP的范围。
例 3 如图，∠C=90°，⊙C与AB相交于点D，AC=5，
CB=12，则AD=_____
五、课堂练习
P114 练习1、2、3
六、课堂小结
1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
2、垂径定理的推论，如：平分弦的直径垂直于这条弦，且平分弦所对的弧等。
七、作业
P116 习题5.2 6、8、9
八、教后感5.1 圆（2）
学习目标
1、认识圆的弧、弦、直径、同心圆、等圆、等弧、圆心角等与其相关的概念
2、理解“同圆或等圆的半径相等”，并能应用它们解决相关的问题
学习重、难点
重点：圆的相关概念及体验圆与直线形的关系
难点：圆的相关概念的辨析
学习过程：
一、情境创设
1、圆的概念的复习
2、确定圆的两要素：圆心、半径
二、探索活动
1、圆心不变，半径不相等的所有圆叫做同心圆。如图1所示：
图1 图2
2、半径相等的圆（能够互相重合的圆）叫做等圆。
同圆或等圆的半径相等。 如图2 等圆与位置无关
3、弧的相关概念
（1）圆弧：圆上两点间的部分叫做圆弧，简称“弧”，用符号“ ”表示，以A、B为端点的弧记作AB，读作“弧AB”， 如图3所示
（2）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每条弧都叫做半圆。
（3）优弧：大于半圆的弧叫做优弧：如图4，ABC
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧：如图4，AC
图3 图4
4、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
（如图4中的∠COD）
5、弦的概念
连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径（如图4——直径AD）。
6、概念辨析
（1）弦是直径。 （ ）
（2）半圆是弧。 （ ）
（3）过圆心的线段是直径。 （ ）
（4）圆心相同半径相同的两个圆是同心圆。 （ ）
（5）两个半圆是等弧。 （ ）
（6）长度相等的弧是等弧。 （ ）
三、例题解析
例1 例题
例2 如图，CD是⊙O的弦，CE=DF，半径OA、OB分别过E、F点
求证：△OEF是等腰三角形
四、课堂练习
P109 练习1、2、3
五、课堂小结
1、同心圆与等圆；同圆或等圆的半径相等；
2、连接圆上任意两点间的线段叫做弦；经过圆心的弦叫直径；
3、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。
六、作业
P110 习题5.1 4、5、6
七、教后感
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