三角形内切圆(1)
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形内心的图形是
A.
B.
C.
D.
如图，边长为的等边的内切圆的半径为
A.
1
B.
C.
2
D.
如图，内心为I，连接AI并延长交的外接圆于D，则线段DI与DB的关系是
A.
B.
C.
D.
不确定
如图，在中，，，I是的内心，则线段OI的值为
A.
1
B.
C.
D.
如图，这条花边中有4个圆和4个正三角形，且这条花边的总长度AB为4，则花边上正三角形的内切圆半径为
A.
B.
C.
1
D.
如图，有一三角形ABC的顶点B、C皆在直线L上，且其内心为今固定C点，将此三角形依顺时针方向旋转，使得新三角形的顶点落在L上，且其内心为若，则下列叙述何者正确？
A.
IC和平行，和L平行
B.
IC和平行，和L不平行
C.
IC和不平行，和L平行
D.
IC和不平行，和L不平行
在中，，，则这个三角形的外接圆和内切圆半径分别是
A.
5，1
B.
4，3
C.
5，2
D.
5，4
如图，中，，，，点O是的内心，过点O作，与AC、BC分别交于点E、F，则的周长为
A.
?14cm
B.
?15cm
C.
?13cm
D.
?
九章算术中有一题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾短直角边长为8步，股长直角边长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形内切圆直径是：
A.
6步
B.
7步
C.
8步
D.
9步
如图，是等边的内切圆，分别切AB、BC、AC于点E、F、D，P是上一点，?则的度数是?
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
如图，点O是的内切圆的圆心，若，则
______
．
若的三边长为3，4，5，则的外接圆半径R与内切圆半径r的差为______．
如图，是一张周长为18cm的三角形纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线MN剪下，则剪下的三角形的周长为______
cm．
直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为______．
如图，的内切圆与BC，CA，AB分别相切于点D，且，，，则的半径是______．
如图，是的内切圆，其切点分别为D、E、F，且，，则___．
如图，是圆的内接三角形，点P是的内心，，则的度数为________．
已知三角形的三边分别为6cm、8cm、10cm，则这个三角形内切圆的半径是??????????．
如图，在中，，截三边所得的弦长相等，则的度数是______．
如图，是的内切圆，切点分别为D、E、F，，，，则的半径长是______．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：三角形内心为三条角平分线的交点，由基本作图得到B选项作了两角的角平分线，从而可用直尺成功找到三角形内心．
故选：B．
根据三角形内心的定义，三角形内心为三条角平分线的交点，然后利用基本作图对选项进行判断．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了三角形的内心．
2.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了等边三角形的性质，三角形的内切圆与内心等知识，三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
连接AO、CO，CO的延长线交AB于H，如图，利用内心的性质得CH平分，AO平分，再根据等边三角形的性质得，，则，，然后利用勾股定理计算出OH即可．
【解答】
解：设的内心为O，连接AO、CO，CO的延长线交AB于H，如图，
为的内心，
平分，AO平分，
为等边三角形，
，，
，，
设，则，
在中，
由勾股定理得：，
，
，
即内切圆的半径为1．
故选：A．
3.【答案】A
【解析】解：连接BI，如图，
内心为I，
，，
，
，
，
即，
．
故选：A．
连接BI，如图，根据三角形内心的性质得，，再根据圆周角定理得到，然后利用三角形外角性质和角度的代换证明，从而可判断．
本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了三角形的外接圆和圆周角定理．
4.【答案】C
【解析】
【分析】如图，连接AO，延长AO交BC于H，连接想办法求出OH，IH即可解决问题．
本题主要考查的是三角形的内心和外心、勾股定理等知识，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．
【解答】解：如图，连接AO，延长AO交BC于H，连接OB．
，
，，
，
，
设，
在中，，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
5.【答案】A
【解析】
【分析】选择一个等边三角形和其内切圆，根据圆O是等边三角形ACE的内切圆，圆O切三角形的边CE为D，这条花边的总长度AB为4，可得，连接OC，AD，则AD过点O，再根据特殊角三角函数即可求出OD的长．
本题考查了三角形的内切圆与内心、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握三角形的内切圆与内心．
【解答】解：如图，
选择一个等边三角形和其内切圆，
圆O是等边三角形ACE的内切圆，圆O切三角形的边CE于点D，
这条花边的总长度AB为4，
，
连接OC，AD，
则AD过点O，
，
是等边三角形，
，
圆O是等边三角形ACE的内切圆，
，
．
花边上正三角形的内切圆半径为．
故选：A．
6.【答案】C
【解析】解：作于D，于E，于F，如图所示：则，
的内心为I，的内心为，
，，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
和不平行，
故选：C．
作于D，于E，于F，由内心的性质得出，，，证出四边形是矩形，得出，证出，得出IC和不平行，即可得出结论．
本题考查了三角形的内心、平行线的判定、旋转的性质；熟练掌握三角形的内心性质和平行线的判定是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】略
8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查的是三角形的内心、平行线的性质、等腰三角形的判定，明确三角形的内心是三条角平分线的交点是解题的关键先根据三角形内心的定义得到AO、BO是和的角平分线，结合平行线的性质可证明，，于是得到，，故此可得到，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】
解：连接OA、OB．
点O是的内心，
、BO分别是和的角平分线．
，．
，
，．
，．
，．
，
的周长，
故选：A．
9.【答案】A
【解析】
【分析】
此题考查了三角形的内切圆与内心，，三边长为a，b，斜边，其内切圆半径．
根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可确定出内切圆半径．
【解答】
解：根据勾股定理得：斜边为，
则该直角三角形内切圆的半径步，
即直径为6步，
故选A．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．如图，连接OE，求出的度数即可解决问题．
【解答】
解：如图，连接OE，OF．
是的内切圆，E，F是切点，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
故选：B．
11.【答案】
【解析】解：点O是的内切圆的圆心，
，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
根据点O是的内切圆的圆心，得到，，根据三角形的内角和定理求出，根据三角形的内角和定理即可求出答案．
本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的角平分线的定义，三角形的内切圆与内心等知识点的理解和掌握，求出的度数是解此题的关键．此时．
12.【答案】
【解析】解：
，
为直角三角形，
斜边．
的外接圆的半径为．
三角形ABC的面积三角形ABC的周长内切圆半径，
．
解得：．
的外接圆半径R与内切圆半径r的差
故答案为：．
易证为直角三角形，根据直角三角形外心的特点求出外接圆的半径，依据三角形的面积三角形的周长内切圆半径可求得，进而可求出的外接圆半径R与内切圆半径r的差
本题主要考查的是三角形的内切圆与外接圆以及勾股定理逆定理的运用，依据三角形的外接圆与内切圆的性质求得，是解题的关键．
13.【答案】8
【解析】解：由切线长定理得，，，，，
，
，
的周长，
故答案为：8．
根据切线长定理得到，，，，根据三角形的周长公式计算．
本题考查了三角形内切圆与内心，切线的性质，掌握切线长定理是解题的关键．
14.【答案】2
【解析】解：直角三角形的斜边，
所以它的内切圆半径．
故答案为2．
先利用勾股定理计算出斜边的长，然后利用直角三角形的内切圆的半径为其中a、b为直角边，c为斜边求解．
本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角；直角三角形的内切圆的半径为其中a、b为直角边，c为斜边．
15.【答案】2
【解析】解：
如图，连接OD、OE、OF，
的内切圆与BC，CA，AB分别相切于点D，，
，，，
，，，
即，
为直角三角形，
，
四边形AEOF是正方形，
，
设的半径是r，
则，，，
，
，
解得．
所以的半径是2．
故答案为2．
根据勾股定理的逆定理可得三角形ABC为直角三角形，再根据切线长定理即可求解．
本题考查了三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是利用切线长定理和勾股定A理的逆定理．
16.【答案】5
【解析】
【分析】
本题考查了三角形的内切圆和内心，切线长定理的应用，关键是能根据切线长定理得出，根据切线长定理求出AF和BD的长，即可求出答案．
【解答】
解：是的内切圆，其切点分别为D、E、F，且，，
，，
，
故答案为：5．
17.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了三角形外心和内心的定义，三角形内角和定理和角平分线的定义，解决本题的关键是明确三角形外心和内心的定义，先根据三角形内角和定理求出的度数，再由三角形内心定义得到BP、CP分别是和的角平分线，从而得到的度数，最后根据三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】
解：，
，
点P是的内心，
、CP分别是和的角平分线，
，，
，
，
，
故答案为．
18.【答案】2cm
【解析】
【分析】
本题考查的是三角形的内切圆与内心，掌握三角形的面积公式，切线的性质是解题的关键．
连接IA、IB、IC，设的内切圆的半径为r，根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】
解：如图，设I是的内心，连接IA、IB、IC，
设的内切圆的半径为r，
，，
，
为直角三角形，
则，
即，
解得，，
故答案为：2cm．
19.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是三角形的内心，及三角形内角和定理，比较简单．
先利用截的三条边所得的弦长相等，得出O是的内心，从而，，，进一步求出的度数．
【解答】
解：中，，截的三条边所得的弦长相等，
到三角形三条边的距离相等，即O是的内心，
，，
，
．
故答案是．
20.【答案】1
【解析】
【分析】
本题考查的是三角形的内切圆，切线长定理，正方形的判定与性质有关知识，设，利用切线长定理，构建方程解决问题即可．
【解答】
解：如图，连接OD，OE，
是的内切圆，切点分别为D、E、F，
，，
，，
四边形ODCE是正方形，
设，
，，
，
则根据切线长定理，得
，
，
，
解得，
故答案为1．
第2页，共2页
第1页，共1页三角形内切圆(2)
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
如图，是一张三角形纸片，是它的内切圆，点D、E是其中的两个切点，已知，小明准备用剪刀沿着与相切的一条直线MN剪下一块三角形，则剪下的的周长是
A.
B.
C.
D.
如图，中，，点O是的内心，则的度数为
A.
B.
C.
D.
如图，是等边的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是上一点，则的度数是???
．
A.
B.
C.
D.
如图，点O为内心，点M、N在边AC上，且，，若，则
A.
B.
C.
D.
如图，为的内切圆，，，，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为的切线，则的周长为
A.
9
B.
7
C.
11
D.
8
如图，点I是的内心，，则
A.
B.
C.
D.
如图，中，，点O是的内心，则的度数为
A.
B.
C.
D.
如图，在中，，，，为的内切圆，点D是斜边AB的中点，则OD的长是
A.
B.
2
C.
3
D.
如图，已知是的内切圆，且，，等于
A.
B.
C.
D.
如图，中，，是的内切圆，切点为D，E，F，若，，则的周长为??
A.
10
B.
12
C.
24
D.
30
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
如图，是圆的内接三角形，点P是的内心，，则的度数为______．
如图，已知边长为m的正方形ABCD内有一边长为n的内接正方形EFGH，则的内切圆半径是_______．
如图，点O是的内切圆的圆心，若，则__________．
如图，中，，，，则的内切圆半径为______．
如图，在扇形CAB中，，垂足为D，是的内切圆，连接AE，BE，则的度数为______．
三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）
如图，PA是的切线，切点为A，AC是的直径，连接OP交于过A点作于点D，交于B，连接BC，PB．
求证：PB是的切线；
求证：E为的内心；
若，，求PO的长．
如图，在中，，，在同一平面内，内部一点到AB，AC，BC的距离都等于为常数，到点的距离等于a的所有点组成图形G．
求a的值；
连接BO并延长，交AC于点，过点M作于点N．
求证：；
求直线MN与图形G的公共点个数．
如图，点E是的内心，AE的延长线和的外接圆相交于点D，求证：
如图，，，，．
请你用无刻度的直尺和圆规，作出的内切圆保留作图痕迹，不要求写作法；
求的半径长．
如图，E为的内心，连接AE并延长交的外接圆于点求证：．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
此题主要考查了三角形的内切圆、切线长定理；由切线长定理得出是解题关键．利用切线长定理得出，，，进而得出答案．
【解答】
解：如图所示：
是一张三角形的纸片，是它的内切圆，点D是其中的一个切点，，
设E、F分别是的切点，
故D，，，
的周长．
故选B．
2.【答案】D
【解析】解：，
，
点O是的内心，
，
．
故选：D．
根据，求出，再根据点O是的内心，求出，根据三角形内角和定理求出的度数即可．
本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，圆周角定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．如图，连接OE，求出的度数即可解决问题．
【解答】
解：如图，连接OE，OF．
是的内切圆，E，F是切点，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
故选：B．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了三角形的内切圆与内心、等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握内心的定义．连接OA、OB、OC，根据点O为内心，证明≌，可得，同理可证≌，可得，进而可求的度数．
【解答】
解：如图，连接OA、OB、OC，
点O为内心，
，
，，
≌，
，
同理可得：≌，
，
，
，
．
故选D．
5.【答案】C
【解析】解：，AC，BC和圆的切点分别是P，N，M，，根据切线长定理，得
，，．
则有，
解得：．
所以的周长．
故选：C．
因为AB，AC，BC和圆的切点分别是P，N，根据切线长定理得到，所以三角形CDE的周长即是的值，再进一步根据切线长定理由三角形ABC的三边进行求解即可．
此题主要是考查了切线的性质、三角形内切圆与内心、切线长定理．要掌握圆中的有关定理，才能灵活解题．
6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查的是三角形的内切圆与内心，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能求出的度数是解此题的关键．
根据三角形的内切圆得到，，根据三角形的内角和定理求出，求出的度数即可得答案．
【解答】
解：点I是的内心，
，，
，
，
，
．
故选：D．
7.【答案】D
【解析】解：，
，
点O是的内心，
，
．
故选：D．
根据，求出，再根据点O是的内心，求出，根据三角形内角和定理求出的度数即可．
本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，圆周角定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．
8.【答案】A
【解析】解：如图，
在中，，，，
，
设与的三边的切点为E、F、G，
连接OE、OF、OG，
得正方形CGOF
设，
则，，
，
解得，
，
点D是斜边AB的中点，
，
，
在中，根据勾股定理，得
．
故选：A．
根据勾股定理可得，再根据三角形内切圆的性质可得正方形CGOF，根据切线长定理可求得内切圆半径，再根据勾股定理即可求得OD的长．
本题考查了三角形的内切圆与内心、直角三角形斜边上的中线，解决本题的关键是掌握三角形的内切圆与内心．
9.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是掌握三角形的内心定义．根据是的内切圆，可得OB和OC是的角平分线，再根据三角形内角和定理进而可得的度数．
【解答】
解：是的内切圆，
和OC是的角平分线，
，，
．
故选C．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了三角形内切圆与内心，得出四边形OECD是正方形是解题关键，利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形OECD是正方形，进而利用勾股定理得出答案．
【解答】
解：如下图所示，连接DO，EO，
是的内切圆，切点分别为D，E，F，
，，，，，
又，
四边形OECD是矩形，
又，
矩形OECD是正方形，
设，
则，
在中
故，
解得或舍去，
，，
的周长为．
故选B．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了三角形外心和内心的定义，三角形内角和定理和角平分线的定义，解决本题的关键是明确三角形外心和内心的定义，先根据三角形内角和定理求出的度数，再由三角形内心定义得到BP、CP分别是和的角平分线，从而得到的度数，最后根据三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】
解：，
，
点P是的内心，
、CP分别是和的角平分线，
，，
，
，
，
故答案为．
12.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，得出≌是解题关键．首先利用正方形的性质得出≌，再利用直角三角形内切圆半径求法得出即可．
【解答】
解：边长为m的正方形ABCD内有一边长为n的内接正方形EFGH，
，，
，
在和中，
≌，
，
，
故的内切圆半径是．
故答案为．
13.【答案】130
【解析】略
14.【答案】4
【解析】
【分析】
本题考查三角形内切圆与内心，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．根据题意作出合适的辅助线，然后根据勾股定理和等积法即可解答本题．
【解答】
解：如图示，作于点D，
设，则，
在中，，，，
，
解得，，
，
设内切圆的半径为r，
则，
即，
解得，，
所以内切圆的半径为4．
故答案为4．
15.【答案】
【解析】解：如图，连接EC．
是的内心，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
故答案为．
如图，连接首先证明，再证明≌即可解决问题；
本题考查三角形的内心、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
16.【答案】证明：连接OB，
为的直径，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
为的切线，
，
，
是的切线；
证明：连接AE，
为的切线，
，
，
，
，
，
，即EA平分，
、PB为的切线，
平分
为的内心；
解：，，
，
，
在中，，
，，
，，
∽，
，
．
【解析】本题考查的是三角形的内心、相似三角形的判定和性质、切线的判定与性质，掌握切线的判定定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
连接OB，根据圆周角定理得到，证明≌，得到，根据切线的判定定理证明；
连接AE，根据切线的性质定理得到，证明EA平分，再证明PD平分，根据三角形的内心的概念证明即可；
求出，根据余弦的定义求出AC，AO，证明∽，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
17.【答案】解：如图，
，，，
，
，
是直角三角形，
由题意可知：
图形G是以O为圆心，a为半径的圆，AB，AC，BC与圆O相切，
设切点分别为F，D，Q，连接OF，OD，OQ，
，，，
四边形AFOD为正方形，
，
根据切线长定理可知：
，，
，
解得；
由题意可知：
点O是的内心，
，
，，
，
；
如图，作于点E，
，
，
，
为圆O的半径，
为圆O的切线，
直线MN与图形G的公共点个数为1．
【解析】根据题意可得三角形ABC是直角三角形，再根据切线长定理即可求出a的值；
根据题意可得点O是三角形ABC的内心，再根据三角形内角和即可得结论；
作于点E，根据角平分线的性质可得，所以得OE为圆O的半径，进而可得MN为圆O的切线，即可得出结论．
本题考查了三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是掌握三角形的内心定义．
18.【答案】证明：如图，连接BE，
点E是的内心，
，，
又，
，
，
即：，
．
【解析】略
19.【答案】解：如图，即为所求作．
在，，，，
，
设的半径为r，则有，
．
【解析】作AM平分，BN平分，AM交BN于点O，作于D，以O为圆心，OD为半径作即可．
利用勾股定理，面积法求解即可．
本题考查作图复杂作图，三角形的内切圆与内心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20.【答案】证明：连接BE，如图，
是的外角，
，
点E是的内心，
平分，BE平分，
即，，
，
，
，
即，
．
【解析】本题考查的是等腰三角形的判定、三角形的内心概念，掌握三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点是解题的关键．
根据内心的概念得到，，根据圆周角定理得到，根据三角形的外角的性质、等腰三角形的判定定理证明即可．
第2页，共2页
第1页，共1页
