人教版八年级数学上册教学课件-12.3 角的平分线的性质（23张）

12.3 角的平分线的性质
第1课时 角平分线的性质
右图是一个平分角的仪器，其中AB =AD，BC =DC，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE，AE 就是∠DAB 的平分线．你能说明它的道理吗？
A
B
D
C
新课导入
E
推进新课
证明：在△ACD和△ACB中，
AD = AB（已知），
DC = BC（已知），
CA = CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）．
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的 对应角相等）.
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）.
A
D
B
C
E
学习目标：
1．学会用尺规作角的平分线.
2．探究并认知角平分线的性质.
3．能运用角平分线的性质解决问题.
学习重、难点：
重点：角的平分线的性质.
难点：运用角平分线的性质解决相关的问题.
从利用平分角的仪器画角的平分线的过程中，你受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？
用尺规作角的平分线
知识点1
利用尺规作角的平分线的具体方法:
A
B
O
M
N
C
　 1．以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
3．画射线OC．
射线OC即为所求．
　 2．分别以点M，N为圆心．大于　 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．
　你能说明为什么射线OC 是∠AOB 的平分线吗？
A
B
O
M
N
C
角的平分线的性质
知识点2
利用尺规我们可以作一个角的平分线，那么角的平分线有什么性质呢？
OC 是∠AOB的平分线，在OC 上任取一点P，过点P 画出OA，OB 的垂线，分别记垂足为D，E，测量 PD，PE 并作比较你得到什么结论？
探究
在OC 上再取几个点试一试．
通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？
已知：∠AOC = ∠BOC，点 P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别为D，E．
求证：PD =PE．
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
证明: ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO = ∠PEO ，
∠AOC = ∠BOC ，
OP = OP ，
∴ △PDO ≌ △PEO（AAS）.
∴PD = PE .
∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点
PD⊥OA，PE⊥OB ，
∴PD=PE．
几何语言：
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
　　角的平分线的性质的作用是什么？
主要是用于判断和证明两条线段是否相等，与以前的方法相比，运用此性质不需要先证两个三角形全等．
A
B
O
P
C
D
E
练习1　判断对错
（1）如图，OC 平分∠AOB，点P 在OC 上，D，E 分别为OA，OB 上的点，则PD =PE．
A
B
O
P
C
D
E
练习1 判断对错
（2）如图，点P 在OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则PD =PE．
练习1　判断对错
（3）如图，OC 平分∠AOB，点P 在OC 上，PD⊥OA，垂足为D．若PD =3，则点P 到OB 的距离为3．
A
B
O
P
C
D
练习2 如图,在△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3㎝，求BE的长
　　在此题的已知条件下，
你还能得到哪些三角形全等？
那些线段相等？
例题：　如图，△ABC中，BD = CD，AD 是∠BAC 的平分线， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：EB =FC．
A
B
C
D
E
F
证明：∵AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE = DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）.
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）.
∴EB = FC.
A
B
C
D
E
F
练习3.如图，点D、B分别在∠MAN的两边上，C是∠MAN内一点，AB =AD，BC = CD，CE⊥AM于E，CF⊥AN于F. 求证：CE = CF.
证明：在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC(SSS).
∴ ∠ DAC =∠BAC.
∴AC平分∠MAN.
∵CE⊥AM，CF⊥AN，
∴CE = CF.
课堂小结
A
B
O
M
N
C
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
课后作业